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苏教版 (2019)选择性必修第二册第7章 计数原理本章综合与测试导学案
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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册第7章 计数原理本章综合与测试导学案，共5页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！为检验脱贫成果，某地安排7名干部(3男4女)到三个脱贫村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有( )
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
答案 C
解析 ∵每个村男、女干部各1名，∴可先安排男干部，共Aeq \\al(3,3)＝6(种)，再安排女干部，共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)＝24(种)，
∴共有6×24＝144(种)不同的安排方案．
2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案 A
解析 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝12(种)安排方案．
3．某市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
答案 C
解析 根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有Ceq \\al(2,4)＝6(种)选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有Aeq \\al(3,3)种放法，所以不同的摆放方法共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝6×6＝36(种)．
4．十三届全国人大四次会议于2021年3月5日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12
C．16 D．18
答案 B
解析 如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.
5．小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( )
A．345 B．465
C．1 620 D．1 860
答案 B
解析 根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春．
1冬3春的不同情况有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(3,6)＝120(种)．
2冬2春的不同情况有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,6)＝225(种)．
3冬1春的不同情况有Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,6)＝120(种)．
所以小明选取节气的不同情况有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,6)＝465(种)．
6．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗．现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为( )
A．8 B．1 680 C．140 D．70
答案 D
解析 若8盏灯笼任意挂，不同的挂法有Aeq \\al(8,8)种，
又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有eq \f(A\\al(8,8),A\\al(4,4)A\\al(4,4))＝70(种)．
二、多项选择题
7．某市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共43种
答案 ABC
解析 对于选项A，若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16(种)，
若C企业派1名医生，则有Ceq \\al(1,4)·23＝32(种)，
所以共有16＋32＝48(种)；
对于选项B，若每家企业至少分派1名医生，
则有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)；
对于选项C，若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，
若A企业分2人，则有Aeq \\al(3,3)＝6(种)；
若A企业分1 人，则有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)，
所以共有6＋6＝12(种)；
对于选项D，所有不同分派方案共有34种．
8．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A．若A，B两人站在一起有24种方法
B．若A，B不相邻共有72种方法
C．若A在B左边有60种排法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
答案 BCD
解析 对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步计数原理可知共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48(种)，A不正确；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(种)，B正确；
对于C,5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)＝60(种)，C正确；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有Aeq \\al(4,4)种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类计数原理可知，共有Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝78(种)，所以D正确．
三、填空题
9．若Aeq \\al(3,m)＝8Ceq \\al(2,m)，则m＝________.
答案 6
解析 ∵Aeq \\al(3,m)＝8Ceq \\al(2,m)，
∴m(m－1)(m－2)＝8×eq \f(mm－1,2)，m≥3，m∈N*.
∴m－2＝4，解得m＝6.
10．小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
答案 48
解析 当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24(种)不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24(种)不同的种法，故共有48种不同的种植方案．
11．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．
答案 58
解析 正方体的8个顶点可构成Ceq \\al(4,8)个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有Ceq \\al(4,8)－12＝58(个)．
12．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图)，现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有________种．
答案 288
解析 根据题意知，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有4×3＝12(种)选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有4×3×2＝24(种)选法，则不同的摆放方式有12×24＝288(种)．
四、解答题
13．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解 (1)44＝256(种)．
(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有Ceq \\al(3,4)种，再放到2个小盒中有Aeq \\al(2,4)种放法，共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)种放法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)＝84(种)放法．
14．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？
解 分两种情况讨论：
(1)4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝24(种)不同的情况．
(2)4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，
有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝12(种)不同的情况．
综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．
15．从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
解 (1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，可有Ceq \\al(3,4)种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，可有Ceq \\al(4,5)种情况；
第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有Aeq \\al(7,7)种情况，所以符合题意的七位数有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(7,7)＝100 800(个)．
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)＝14 400(个)．
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)＝5 760(个)．
(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，
共有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(3,5)＝28 800(个)．
1．经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！为检验脱贫成果，某地安排7名干部(3男4女)到三个脱贫村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有( )
A．72种 B．108种 C．144种 D．210种
答案 C
解析 ∵每个村男、女干部各1名，∴可先安排男干部，共Aeq \\al(3,3)＝6(种)，再安排女干部，共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(3,3)＝24(种)，
∴共有6×24＝144(种)不同的安排方案．
2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案 A
解析 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)＝12(种)安排方案．
3．某市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．72种
答案 C
解析 根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，
先选出两个垃圾桶，有Ceq \\al(2,4)＝6(种)选法，
之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有Aeq \\al(3,3)种放法，所以不同的摆放方法共有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝6×6＝36(种)．
4．十三届全国人大四次会议于2021年3月5日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A，B两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为( )
A．6 B．12
C．16 D．18
答案 B
解析 如果仅有A，B入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)安排数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.
5．小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( )
A．345 B．465
C．1 620 D．1 860
答案 B
解析 根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春．
1冬3春的不同情况有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(3,6)＝120(种)．
2冬2春的不同情况有Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,6)＝225(种)．
3冬1春的不同情况有Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,6)＝120(种)．
所以小明选取节气的不同情况有Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(1,6)＝465(种)．
6．贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗．现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为( )
A．8 B．1 680 C．140 D．70
答案 D
解析 若8盏灯笼任意挂，不同的挂法有Aeq \\al(8,8)种，
又因为左右两边4盏灯顺序一定，故有eq \f(A\\al(8,8),A\\al(4,4)A\\al(4,4))＝70(种)．
二、多项选择题
7．某市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A．若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共43种
答案 ABC
解析 对于选项A，若C企业没有派医生去，每名医生有2种选择，则共用24＝16(种)，
若C企业派1名医生，则有Ceq \\al(1,4)·23＝32(种)，
所以共有16＋32＝48(种)；
对于选项B，若每家企业至少分派1名医生，
则有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36(种)；
对于选项C，若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A企业，
若A企业分2人，则有Aeq \\al(3,3)＝6(种)；
若A企业分1 人，则有Ceq \\al(2,3)Aeq \\al(2,2)＝6(种)，
所以共有6＋6＝12(种)；
对于选项D，所有不同分派方案共有34种．
8．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有( )
A．若A，B两人站在一起有24种方法
B．若A，B不相邻共有72种方法
C．若A在B左边有60种排法
D．若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法
答案 BCD
解析 对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步计数原理可知共有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝48(种)，A不正确；
对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,4)＝72(种)，B正确；
对于C,5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有eq \f(1,2)Aeq \\al(5,5)＝60(种)，C正确；
对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有Aeq \\al(4,4)种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类计数原理可知，共有Aeq \\al(4,4)＋Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝78(种)，所以D正确．
三、填空题
9．若Aeq \\al(3,m)＝8Ceq \\al(2,m)，则m＝________.
答案 6
解析 ∵Aeq \\al(3,m)＝8Ceq \\al(2,m)，
∴m(m－1)(m－2)＝8×eq \f(mm－1,2)，m≥3，m∈N*.
∴m－2＝4，解得m＝6.
10．小张正在玩一款种菜的游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物)，若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有________种．
答案 48
解析 当第一块地种茄子时，有4×3×2＝24(种)不同的种法；当第一块地种辣椒时，有4×3×2＝24(种)不同的种法，故共有48种不同的种植方案．
11．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．
答案 58
解析 正方体的8个顶点可构成Ceq \\al(4,8)个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有Ceq \\al(4,8)－12＝58(个)．
12．我市VR大会展厅前广场改造，在人行道(斑马线)两侧划分5块区域(如图)，现有四种不同颜色的花卉，要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的区域)所选花卉颜色不能相同，则不同的摆放方式共有________种．
答案 288
解析 根据题意知，对于区域①②，可以在4种颜色中任选2种，有4×3＝12(种)选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜色中任选3种，有4×3×2＝24(种)选法，则不同的摆放方式有12×24＝288(种)．
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(1)共有几种放法？
(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
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(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：
第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有Ceq \\al(3,4)种，再放到2个小盒中有Aeq \\al(2,4)种放法，共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)种放法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)＝84(种)放法．
14．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？
解 分两种情况讨论：
(1)4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,2)＝24(种)不同的情况．
(2)4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，
有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,2)＝12(种)不同的情况．
综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．
15．从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？
解 (1)分步完成：
第一步，在4个偶数中取3个，可有Ceq \\al(3,4)种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，可有Ceq \\al(4,5)种情况；
第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，可有Aeq \\al(7,7)种情况，所以符合题意的七位数有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(7,7)＝100 800(个)．
(2)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(5,5)＝14 400(个)．
(3)在(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)＝5 760(个)．
(4)在(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空，
共有Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(4,5)Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(3,5)＝28 800(个)．
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苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试导学案： 这是一份苏教版 (2019)选择性必修第二册第6章 空间向量与立体几何本章综合与测试导学案，共7页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
