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高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理第3课时学案
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这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册7.4二项式定理第3课时学案，共11页。学案主要包含了二项式系数表，二项式系数的对称性，二项展开式的系数和问题等内容，欢迎下载使用。
导语
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
一、二项式系数表
问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示 1,7,21,35,35,21,7,1.
知识梳理
二项式系数表
此表的规律如下：
(1)每一行中的二项式系数都是“对称”的．
(2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．
(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
解 由题意及二项式系数表的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(Ceq \\al(0,2)＋Ceq \\al(1,2))＋(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3))＋(Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(1,4))＋…＋(Ceq \\al(2,9)＋Ceq \\al(1,9))
＝(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9))＋(2＋3＋…＋9)
＝Ceq \\al(3,10)＋eq \f(8×2＋9,2)
＝164.
反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
答案 C
解析 由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
二、二项式系数的对称性、增减性、最值
问题2 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
提示 当r同理，当r>eq \f(n－1,2)时，Ceq \\al(r＋1,n)知识梳理
二项式系数的对称性、增减性、最值
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)有如下性质：
(1)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；
(2)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)；
(3)当r＜eq \f(n－1,2)时，Ceq \\al(r,n)＜Ceq \\al(r＋1,n)；
当r＞eq \f(n－1,2)时，Ceq \\al(r＋1,n)＜Ceq \\al(r,n).
例2 (1＋2x)n展开式第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
解 T6＝Ceq \\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq \\al(6,n)(2x)6，所以Ceq \\al(5,n)25＝Ceq \\al(6,n)26，
解得n＝8.二项式系数最大项T5＝Ceq \\al(4,8)(2x)4＝1 120x4.
反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2 (1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第n－1项
B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项
D．第n项与第n＋1项
答案 D
解析 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为 分别为第n，n＋1项．
三、二项展开式的系数和问题
问题3 在二项展开式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
提示 Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
知识梳理
二项式系数的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
例3 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
解 (1)令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－r，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝eq \f(1－35,2)＝－121.
延伸探究 在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解 (1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝eq \f(1＋35,2)＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数得
10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
反思感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
跟踪训练3 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，
展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(1)a2＝Ceq \\al(9,10)(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
1．知识清单：
(1)二项式系数表．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法，整体运算．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 B
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
所以4＋a＝10，得a＝6.
2．在(a－b)20的展开式中，与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
答案 B
解析 第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,20)，与它相等的为Ceq \\al(15,20)，即第16项．
3．(多选)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
答案 BC
解析 由于n＝11为奇数，则展开式中第eq \f(11＋1,2)项和第eq \f(11＋1,2)＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．
答案 1 64
解析 令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
课时对点练
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
答案 D
解析 第k项的二项式系数是Ceq \\al(k－1,n)，由于Ceq \\al(k－1,n)＝Ceq \\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相等．
2．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )
A．212 B．211 C．210 D．29
答案 D
解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，
∴n＝10，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
∴展开式中奇数项的二项式系数之和为eq \f(210,2)＝29.
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
答案 D
解析 令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5,6项 D．第6,7项
答案 A
解析 由题意知，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(7,n)，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
5．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
答案 AC
解析 (a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确．
6．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则( )
A．n＝7
B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64
D．展开式的中间项为－35x3和35x4
答案 ABC
解析 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Ceq \\al(3,7)x4·(－1)3＝－35x4，T5＝Ceq \\al(4,7)x3·(－1)4＝35x3，故选ABC.
7．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x3)))n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
答案 10
解析 Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n＝32，
故n＝5.
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x2)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))r＝Ceq \\al(r,5)x10－2r－3r＝Ceq \\al(r,5)x10－5r，
令10－5r＝0，得r＝2.
故展开式中的常数项为T3＝Ceq \\al(2,5)＝10.
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
答案 34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以Ceq \\al(13,n)∶Ceq \\al(14,n)＝2∶3，即eq \f(14,n－13)＝eq \f(2,3)，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解 (1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝(2－3)4－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝313＋312－81＝544.
10．已知(1＋meq \r(x))n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋meq \r(x))n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
解 (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)mr，
∴含x项的系数为Ceq \\al(2,8)m2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为
Ceq \\al(1,8)＋Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(7,8)＝28－1＝128.
(3)∵(1＋2eq \r(x))8(1－x)＝(1＋2eq \r(x))8－x(1＋2eq \r(x))8，
∴含x2项的系数为Ceq \\al(4,8)24－Ceq \\al(2,8)22＝1 008.
11．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为( )
A．10 B．45 C．－9 D．－45
答案 B
解析 x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝Ceq \\al(8,10)＝Ceq \\al(2,10)＝45.
12．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．－1
答案 D
解析 (1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝0，得a0＝1，令x＝eq \f(1,2)，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(1,2)))2 022＝a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝0，
所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝－1.
13．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )
A．462 B．400
C．390 D．300
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))n展开式的各项系数为其二项式系数．
∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，
∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为Ceq \\al(5,11)＝Ceq \\al(6,11)＝462.
14．(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形，设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)x3－\f(1,x)))8，则( )
A．f(x)的展开式中的常数项是56
B．f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C．f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D．f(i)＝－16，其中i为虚数单位
答案 BC
解析 设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，
∴m＝eq \f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝eq \f(3,2)，
则eq \f(m,n)＝1，∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))8.
对于A，f(x)展开式通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)x24－3r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq \\al(r,8)x24－4r，
令24－4r＝0，解得r＝6，
∴f(x)展开式的常数项为(－1)6Ceq \\al(6,8)＝28，A错误；
对于B，f(1)＝0，即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确；
对于C，f(x)展开式中二项式系数最大值为Ceq \\al(4,8)＝70，C正确；
对于D，f(i)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(i3－\f(1,i)))8＝(－i＋i)8＝0，D错误．
15．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为eq \f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：eq \f(1,1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)，eq \f(1,3)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,12)，…，则第n(n≥3)行第3个数字是________．
答案 eq \f(2,nn－1n－2)(n∈N*，n≥3)
解析 杨辉三角形中的每一个数Ceq \\al(k,n)都换成分数eq \f(1,n＋1C\\al(k,n))，就得到一个如题图所示的分数三角形，
∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是Ceq \\al(2,n－1)，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是eq \f(1,nC\\al(2,n－1))＝eq \f(2,nn－1n－2).
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
解 (1)Ceq \\al(3,20)＝1 140.
(2)Ceq \\al(m－1,m－1)＋Ceq \\al(m－1,m)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq \\al(m,m＋k－1).
证明如下：
左边＝Ceq \\al(m,m)＋Ceq \\al(m－1,m)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝Ceq \\al(m,m＋1)＋Ceq \\al(m－1,m＋1)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝…＝Ceq \\al(m,m＋k－2)＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝Ceq \\al(m,m＋k－1)
＝右边．
导语
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
一、二项式系数表
问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示 1,7,21,35,35,21,7,1.
知识梳理
二项式系数表
此表的规律如下：
(1)每一行中的二项式系数都是“对称”的．
(2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．
(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
解 由题意及二项式系数表的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(Ceq \\al(0,2)＋Ceq \\al(1,2))＋(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3))＋(Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(1,4))＋…＋(Ceq \\al(2,9)＋Ceq \\al(1,9))
＝(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋…＋Ceq \\al(2,9))＋(2＋3＋…＋9)
＝Ceq \\al(3,10)＋eq \f(8×2＋9,2)
＝164.
反思感悟 解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1 如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
答案 C
解析 由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
二、二项式系数的对称性、增减性、最值
问题2 怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
提示 当r
二项式系数的对称性、增减性、最值
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)有如下性质：
(1)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；
(2)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)；
(3)当r＜eq \f(n－1,2)时，Ceq \\al(r,n)＜Ceq \\al(r＋1,n)；
当r＞eq \f(n－1,2)时，Ceq \\al(r＋1,n)＜Ceq \\al(r,n).
例2 (1＋2x)n展开式第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
解 T6＝Ceq \\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq \\al(6,n)(2x)6，所以Ceq \\al(5,n)25＝Ceq \\al(6,n)26，
解得n＝8.二项式系数最大项T5＝Ceq \\al(4,8)(2x)4＝1 120x4.
反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2 (1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第n－1项
B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项
D．第n项与第n＋1项
答案 D
解析 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为 分别为第n，n＋1项．
三、二项展开式的系数和问题
问题3 在二项展开式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
提示 Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
知识梳理
二项式系数的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
例3 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
解 (1)令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－r，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝eq \f(1－35,2)＝－121.
延伸探究 在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解 (1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝eq \f(1＋35,2)＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数得
10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
反思感悟 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
跟踪训练3 已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解 ∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，
展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(1)a2＝Ceq \\al(9,10)(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
1．知识清单：
(1)二项式系数表．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法，整体运算．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
答案 B
解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
所以4＋a＝10，得a＝6.
2．在(a－b)20的展开式中，与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
答案 B
解析 第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,20)，与它相等的为Ceq \\al(15,20)，即第16项．
3．(多选)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
答案 BC
解析 由于n＝11为奇数，则展开式中第eq \f(11＋1,2)项和第eq \f(11＋1,2)＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．
答案 1 64
解析 令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
课时对点练
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
答案 D
解析 第k项的二项式系数是Ceq \\al(k－1,n)，由于Ceq \\al(k－1,n)＝Ceq \\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相等．
2．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为( )
A．212 B．211 C．210 D．29
答案 D
解析 ∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，
∴n＝10，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
∴展开式中奇数项的二项式系数之和为eq \f(210,2)＝29.
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为( )
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
答案 D
解析 令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
A．第6项 B．第5项
C．第5,6项 D．第6,7项
答案 A
解析 由题意知，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(7,n)，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
5．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
答案 AC
解析 (a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确．
6．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则( )
A．n＝7
B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64
D．展开式的中间项为－35x3和35x4
答案 ABC
解析 由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Ceq \\al(3,7)x4·(－1)3＝－35x4，T5＝Ceq \\al(4,7)x3·(－1)4＝35x3，故选ABC.
7．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x3)))n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
答案 10
解析 Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n＝32，
故n＝5.
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x2)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x3)))r＝Ceq \\al(r,5)x10－2r－3r＝Ceq \\al(r,5)x10－5r，
令10－5r＝0，得r＝2.
故展开式中的常数项为T3＝Ceq \\al(2,5)＝10.
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
答案 34
解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以Ceq \\al(13,n)∶Ceq \\al(14,n)＝2∶3，即eq \f(14,n－13)＝eq \f(2,3)，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解 (1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝(2－3)4－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝313＋312－81＝544.
10．已知(1＋meq \r(x))n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋meq \r(x))n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
解 (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)mr，
∴含x项的系数为Ceq \\al(2,8)m2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为
Ceq \\al(1,8)＋Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(5,8)＋Ceq \\al(7,8)＝28－1＝128.
(3)∵(1＋2eq \r(x))8(1－x)＝(1＋2eq \r(x))8－x(1＋2eq \r(x))8，
∴含x2项的系数为Ceq \\al(4,8)24－Ceq \\al(2,8)22＝1 008.
11．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为( )
A．10 B．45 C．－9 D．－45
答案 B
解析 x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝Ceq \\al(8,10)＝Ceq \\al(2,10)＝45.
12．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)的值为( )
A．2 B．0
C．－2 D．－1
答案 D
解析 (1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝0，得a0＝1，令x＝eq \f(1,2)，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(1,2)))2 022＝a0＋eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝0，
所以eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝－1.
13．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是( )
A．462 B．400
C．390 D．300
答案 A
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(1,x))＋\r(3,\f(1,x5))))n展开式的各项系数为其二项式系数．
∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，
∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为Ceq \\al(5,11)＝Ceq \\al(6,11)＝462.
14．(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形，设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)x3－\f(1,x)))8，则( )
A．f(x)的展开式中的常数项是56
B．f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C．f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D．f(i)＝－16，其中i为虚数单位
答案 BC
解析 设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，
∴m＝eq \f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(2πr2＋2πr·2r,4πr2)＝eq \f(3,2)，
则eq \f(m,n)＝1，∴f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))8.
对于A，f(x)展开式通项公式为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)x24－3r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq \\al(r,8)x24－4r，
令24－4r＝0，解得r＝6，
∴f(x)展开式的常数项为(－1)6Ceq \\al(6,8)＝28，A错误；
对于B，f(1)＝0，即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确；
对于C，f(x)展开式中二项式系数最大值为Ceq \\al(4,8)＝70，C正确；
对于D，f(i)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(i3－\f(1,i)))8＝(－i＋i)8＝0，D错误．
15．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为eq \f(1,n)(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：eq \f(1,1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)，eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)，eq \f(1,3)＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,12)，…，则第n(n≥3)行第3个数字是________．
答案 eq \f(2,nn－1n－2)(n∈N*，n≥3)
解析 杨辉三角形中的每一个数Ceq \\al(k,n)都换成分数eq \f(1,n＋1C\\al(k,n))，就得到一个如题图所示的分数三角形，
∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是Ceq \\al(2,n－1)，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是eq \f(1,nC\\al(2,n－1))＝eq \f(2,nn－1n－2).
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
解 (1)Ceq \\al(3,20)＝1 140.
(2)Ceq \\al(m－1,m－1)＋Ceq \\al(m－1,m)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)＝Ceq \\al(m,m＋k－1).
证明如下：
左边＝Ceq \\al(m,m)＋Ceq \\al(m－1,m)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝Ceq \\al(m,m＋1)＋Ceq \\al(m－1,m＋1)＋…＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝…＝Ceq \\al(m,m＋k－2)＋Ceq \\al(m－1,m＋k－2)
＝Ceq \\al(m,m＋k－1)
＝右边．
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