高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第1课时学案设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第二册8.2离散型随机变量及其分布列第1课时学案设计，共15页。学案主要包含了离散型随机变量的均值，离散型随机变量均值的性质，均值的实际应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
导语
德·梅累向帕斯卡提出问题：甲乙两人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励．比赛三局过后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平，让双方都能欣然接受？也就是甲和乙的期望所得分别是多少呢？
一、离散型随机变量的均值
问题1 某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg 的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记ξ为这颗糖果的单价(元/kg)，你能写出ξ的概率分布吗？
提示 eq \f(18×3＋24×2＋36×1,3＋2＋1)＝18×eq \f(1,2)＋24×eq \f(1,3)＋36×eq \f(1,6)＝23(元/kg)．
ξ的概率分布为
知识梳理
一般地，若离散型随机变量X的概率分布表为
其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将随机变量X的均值或数学期望记为E(X)或μ，则E(X)＝μ＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.
注意点：
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
(2)离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
例1 某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布和均值．
解 X的可能取值为1,2,3,4，则P(X＝1)＝0.6，
P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28，
P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096，
P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×1＝0.024，
所以在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布为
E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
反思感悟 求随机变量X的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：
(1)确定X的可能取值；
(2)计算出P(X＝k)；
(3)写出概率分布；
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
跟踪训练1 某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的概率分布与均值．
解 根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，
则X的可能取值为－4,1,3,6.
∴P(X＝－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,9)，
P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)
＝eq \f(7,18)，
P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)
＝eq \f(7,18)，
P(X＝6)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,18)＝eq \f(1,9).
∴X的概率分布为
∴E(X)＝(－4)×eq \f(1,9)＋1×eq \f(7,18)＋3×eq \f(7,18)＋6×eq \f(1,9)＝eq \f(16,9).
二、离散型随机变量均值的性质
问题2 若X，Y都是一离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？
提示 X，Y的分布列为
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
例2 已知随机变量X的概率分布为
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
答案 eq \f(17,15)
解析 由随机变量概率分布的性质，得
eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，
解得m＝eq \f(1,6)，
∴E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30).
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,30)))＝eq \f(17,15).
延伸探究 本例条件不变，若Y＝aX＋3，且E(Y)＝－eq \f(11,2)，求a的值．
解 E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－eq \f(17,30)a＋3＝－eq \f(11,2)，所以a＝15.
反思感悟 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
(1)定义法：先列出Y的概率分布，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，求解即可．
跟踪训练2 (1)设ξ的概率分布为
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A.eq \f(7,6) B.eq \f(17,6) C.eq \f(17,3) D.eq \f(32,3)
答案 D
解析 E(ξ)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,3)＋4×eq \f(1,3)＝eq \f(17,6)，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq \f(17,6)＋5＝eq \f(32,3).
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的概率分布如下表，则m的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 因为η＝12ξ＋7，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.
所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，①
又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)，②
由①②可解得m＝eq \f(1,3).
三、均值的实际应用
例3 农机公司出售收割机，一台收割机的使用寿命为五年，在农机公司购买收割机时可以一次性额外购买若干次维修服务，费用为每次100元，每次维修时公司维修人员均上门服务，实际上门服务时还需支付维修人员的餐饮费50元/次；若实际维修次数少于购买的维修次数，则未提供服务的订购费用退还50%；若维修次数超过了购买的次数，农机公司不再提供服务，收割机的维修只能到私人维修店，每次维修费用为400元，无须支付餐饮费．一位农机手在购买收割机时，需决策一次性购买多少次维修服务．为此，他收集、整理出一台收割机在五年使用期内维修次数及相应的频率如下表：
(1)如果农机手在购买收割机时购买了6次维修，在使用期内实际维修的次数为5次，这位农机手的花费总费用是多少？如果实际维修的次数是8次，农机手的花费总费用又是多少？
(2)农机手购买了一台收割机．试在购买维修次数为6次和7次的两个数据中，根据使用期内维修时花费的总费用的均值，帮助农机手进行决策．
解 (1)购买6次维修，而实际维修次数为5次时的维修总费用为6×100－50＋5×50＝800(元)；购买6次维修，而实际维修次数为8次时的维修总费用为6×100＋50×6＋2×400＝1 700(元)．
(2)若购买6次维修，实际维修次数为6次时的维修总费用为6×100＋6×50＝900(元)；实际维修次数为7次时的维修总费用为900＋400＝1 300(元)；实际维修次数为9次时的维修总费用为1 700＋400＝2 100(元)．
综合(1)的计算，订购维修次数6次时的维修总费用概率分布为
E(ξ1)＝800×0.3＋900×0.3＋1 300×0.2＋1 700×0.1＋2 100×0.1＝1 150(元)．
若购买7次维修，
实际维修次数为5次时的总费用为
7×100－2×50＋5×50＝850(元)；
实际维修次数为6次时的总费用为
7×100－50＋6×50＝950(元)；
实际维修次数为7次时的总费用为
7×100＋7×50＝1 050(元)；
实际维修次数为8次时的总费用为
1 050＋400＝1 450(元)；
实际维修次数为9次时的总费用为
1 450＋400＝1 850(元)；
维修总费用的概率分布为
E(ξ2)＝850×0.3＋950×0.3＋1 050×0.2＋1 450×0.1＋1 850×0.1＝1 080(元)．
因为E(ξ1)>E(ξ2)，所以选订购7次维修较划算．
反思感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)建模：即把实际问题概率模型化．
(2)解模：确定概率分布，计算随机变量的均值．
(3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
跟踪训练3 在某项目的选拔比赛中，A，B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分(不存在平局)，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.
(1)求A队得分为1分的概率；
(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．
解 (1)设A队得分为1分的事件为E，
则P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(4,7)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,5)×eq \f(4,7)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,7)＝eq \f(41,105).
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(4,7)＝eq \f(12,105)，
P(ξ＝1)＝eq \f(41,105)，
P(ξ＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(4,7)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,7)＋eq \f(1,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,7)
＝eq \f(40,105)，
P(ξ＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,7)＝eq \f(12,105).
所以随机变量ξ的概率分布为
因此随机变量ξ的均值为
E(ξ)＝0×eq \f(12,105)＋1×eq \f(41,105)＋2×eq \f(40,105)＋3×eq \f(12,105)＝eq \f(157,105).
因为ξ＋η＝3，所以η＝3－ξ，
则随机变量η的均值为
E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－eq \f(157,105)＝eq \f(158,105).
所以E(ξ)1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)离散型随机变量的均值的应用．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知离散型随机变量X的概率分布为
则X的均值E(X)等于( )
A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(5,2) D．3
答案 A
解析 E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).
2．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是( )
A．2 000元 B．2 200元
C．2 400元 D．2 600元
答案 B
解析 出海的期望效益E(X)＝5 000×0.6＋(1－0.6)×(－2 000)＝3 000－800＝2 200(元)．
3．若随机变量Y＝aX＋3，且E(Y)＝eq \f(7,3)，E(X)＝－eq \f(1,3)，则a＝________.
答案 2
解析 ∵E(X)＝－eq \f(1,3)，E(Y)＝eq \f(7,3)，Y＝aX＋3，
∴aE(X)＋3＝eq \f(7,3)，解得a＝2.
4．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为eq \f(2,3)，则此人试验次数ξ的均值是________．
答案 eq \f(13,9)
解析 试验次数ξ的可能取值为1,2,3，
则P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)，
P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9).
所以ξ的概率分布为
所以E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9).
课时对点练
1．某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
试估计该商品日平均需求量为( )
A．16 B．16.2 C．16.6 D．16.8
答案 D
解析 估计该商品日平均需求量为14×0.1＋15×0.2＋16×0.3＋18×0.2＋20×0.2＝16.8，故选D.
2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D．－1
答案 A
解析 E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0.
3．已知某一随机变量X的概率分布如表所示，若E(X)＝6.3，则a的值为( )
A.4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 根据概率分布的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(X)＝a·0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，
所以a＝4.
4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．无法求 B．0
C．E(X) D．2E(X)
答案 B
解析 只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．
∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，
∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
5．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)等于( )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
答案 D
解析 设A，B两市受台风袭击的概率均为p，
则A市和B市都不受台风袭击的概率为
(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8 (舍去)，
P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，
P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，
∴E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4，故选D.
6．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于( )
A．2 B.eq \f(3,2)
C.eq \f(4,5) D.eq \f(7,5)
答案 D
解析 由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝eq \f(2,5)，P(X＝1)＝eq \f(1,10)，P(X＝2)＝eq \f(1,5)，
P(X＝3)＝eq \f(3,10).
∴E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(1,10)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(3,10)＝eq \f(7,5).
7．今有两台独立工作的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为X，则E(X)＝________.
答案 1.75
解析 X可能的取值为0,1,2，P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
8．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的概率分布为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为100元；分2期或3期付款，其利润为150元；分4期付款，其利润为200元．若Y表示经销一件该商品的利润，则E(Y)＝________元．
答案 130
解析 由题意可知Y可以取100,150,200，利润Y的概率分布为
∴E(Y)＝100×0.5＋150×0.4＋200×0.1＝130(元)．
9．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求：(1)抽取次数X的概率分布；(2)随机变量X的均值．
解 (1)X的可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×1＝eq \f(1,10).
所以抽取次数X的概率分布为
(2)由均值的定义得
E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2).
10．某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？
解 设购买股票的盈利为X，投资房地产的盈利为Y，
则E(X)＝10×0.3＋3×0.5＋(－10)×0.2＝3＋1.5－2＝2.5，
E(Y)＝8×0.3＋4×0.5＋(－4)×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6，
因为E(Y)＞E(X)，所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产．
11．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元进行处理．根据前四年的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量ξ(单位：束)的概率分布如下表所示，若进这种鲜花500束，则利润的均值是( )
A.706元 B．690元 C．754元 D．720元
答案 A
解析 由概率分布可以得到需求量的均值是E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340.故利润的均值是(340×5＋160×1.6)－500×2.5＝706(元)．
12．(多选)设p为非负实数，随机变量X的概率分布为
则下列说法正确的是( )
A．p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
B．E(X)最大值为eq \f(3,2)
C．p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
D．E(X)最大值为eq \f(5,2)
答案 AB
解析 由表可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤\f(1,2)－p≤1，,0≤p≤1，))
从而得p∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，
均值E(X)＝0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－p))＋1·p＋2×eq \f(1,2)＝p＋1，
当且仅当p＝eq \f(1,2)时，E(X)最大值＝eq \f(3,2).
13．某人有资金10万元，准备用于投资经营甲、乙两种商品，根据统计资料：
那么他应该选择经营________种商品．
答案 甲
解析 投资甲项目获利的均值
E甲＝2×0.4＋3×0.3＋(－1)×0.3＝1.4，
投资乙项目获利的均值
E乙＝1×0.6＋4×0.2＋(－2)×0.2＝1.
因为E甲＞E乙．故他应该选择经营甲种商品．
14．毕业生小冉参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq \f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝eq \f(1,12)，则随机变量X的均值E(X)＝________.
答案 eq \f(5,3)
解析 ∵P(X＝0)＝eq \f(1,12)＝(1－p)2×eq \f(1,3)，
∴p＝eq \f(1,2)，随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(1,12)，
P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))2＋2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，
P(X＝2)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))×eq \f(1,2)×2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(5,12)，
P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,6)，
因此E(X)＝0×eq \f(1,12)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(5,12)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3).
15．(多选)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，则p的取值可以为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(7,12)
答案 AB
解析 根据题意知，X的所有的可能取值为1,2,3，且
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，
P(X＝3)＝(1－p)2，
则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，
依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，
解得p>eq \f(5,2)或p结合p的实际意义，可得0结合选项可知AB正确．
16．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该品种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的概率分布与均值．
解 (1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,12)＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为eq \f(8,36)＝eq \f(2,9).
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．
因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，
P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，
所以只需求出P(X＝k)(k＝1,2,3,4)即可．
记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1,2,3,4)，
则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3.
由P(X＝k)＝eq \f(nk,N)，得
P(X＝1)＝eq \f(2,15)，
P(X＝2)＝eq \f(4,15)，
P(X＝3)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)，
P(X＝4)＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
故所求Y的概率分布为
因此，所求年收获量Y的均值为
E(Y)＝51×eq \f(2,15)＋48×eq \f(4,15)＋45×eq \f(2,5)＋42×eq \f(1,5)＝46. ξ
18
24
36
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
X
－4
1
3
6
P
eq \f(1,9)
eq \f(7,18)
eq \f(7,18)
eq \f(1,9)
X
x1
x2
…
xi
…
xn
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
－2
－1
0
1
2
P
eq \f(1,4)
eq \f(1,3)
eq \f(1,5)
m
eq \f(1,20)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
n
eq \f(1,12)
维修次数
5
6
7
8
9
频率
0.3
0.3
0.2
0.1
0.1
维修次数
5
6
7
8
9
维修总费用ξ1
800
900
1 300
1 700
2 100
P
0.3
0.3
0.2
0.1
0.1
维修次数
5
6
7
8
9
维修总费用ξ2
850
950
1 050
1 450
1 850
P
0.3
0.3
0.2
0.1
0.1
对阵队员
A队队员胜
A队队员负
A1～B1
eq \f(2,3)
eq \f(1,3)
A2～B2
eq \f(2,5)
eq \f(3,5)
A3～B3
eq \f(3,7)
eq \f(4,7)
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(12,105)
eq \f(41,105)
eq \f(40,105)
eq \f(12,105)
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
ξ
1
2
3
P
eq \f(2,3)
eq \f(2,9)
eq \f(1,9)
日需求量n
14
15
16
18
20
频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
X
a
7
9
P
b
0.1
0.4
X
1
2
3
4
P
0.5
0.2
0.2
0.1
Y
100
150
200
P
0.5
0.4
0.1
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
自然
状况
方案
盈利(万元)
概率
购买股票
投资房地产
巨大成功
0.3
10
8
一般成功
0.5
3
4
失败
0.2
－10
－4
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
X
0
1
2
P
eq \f(1,2)－p
p
eq \f(1,2)
投资甲获利(万元)
2
3
－1
概率
0.4
0.3
0.3
投资乙获利(万元)
1
4
－2
概率
0.6
0.2
0.2
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
Y
51
48
45
42
P
eq \f(2,15)
eq \f(4,15)
eq \f(2,5)
eq \f(1,5)