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一、选择题
1.(2021天津津南模拟)sin 45°+cs 45°的值为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
2.(2021广东阳江江城期末)在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,则tan C的值是( )
A.12 B.33 C.1 D.3
3.(2020安徽阜阳期末)在直角三角形中,sin A的值为12,则cs A的值等于( )
A.12 B.22 C.32 D.3
4.(2021河南洛阳汝阳一模)李红同学遇到了这样一道题:3tan(α+20°)=1,你猜想锐角α的度数应是( )
A.40° B.30° C.20° D.10°
5.(2020山东德州德城一模)在△ABC中,已知∠A、∠B都是锐角,且sinA-12+(1-tan B)2=0,那么∠C的度数为( )
A.75° B.90° C.105° D.120°
6.(2021浙江宁波鄞州期末)α,β满足0°<α<β<45°,下列是关于α,β的命题,其中错误的是( )
A.07.(2021安徽安庆怀宁模拟)若锐角α满足cs α<22且tan α<3,则α的取值范围是( )
A.30°<α<45° B.45°<α<60° C.60°<α<90° D.30°<α<60°
二、填空题
8.(2020福建漳州外国语学校一模)计算:2tan 60°+tan 45°-4cs 30°= .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=32;②cs B=12;③tan A=33;④tan B=3,其中正确的结论是 (填上正确结论的序号).
三、解答题
10.计算下列各式的值:
(1)(2021江苏盐城东台期末)tan 60°-2cs 30°+sin 45°;
(2)(2021湖南株洲攸县期末)cs 60°-2sin245°+32tan230°-sin 30°.
11.如图所示,在一次数学课外实践活动中,小文在点C处测得树的顶端A的仰角为30°,BC=40 m,求树的高度AB.(计算过程和结果均不取近似值)
12.定义:在△ABC中,∠C=30°,我们把∠A的对边与∠C的对边的比叫做∠A的邻弦,记作thi A,即thi A=∠A的对边∠C的对边=BCAB.已知在△ABC中,∠C=30°,请解答下列问题:
(1)若∠A=45°,求thi A的值;
(2)若thi A=3,求∠A的度数;
(3)若∠A是锐角,探究thi A与sin A的数量关系.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 C 原式=22+22=2.故选C.
2.答案 B ∵在△ABC中,∠A=105°,∠B=45°,∴∠C=30°,∴tan C=33.故选B.
3.答案 C ∵在直角三角形中,sin A的值为12,∴∠A=30°.∴cs A=cs 30°=32.故选C.
4.答案 D ∵3tan(α+20°)=1,∴tan(α+20°)=33,∵α为锐角,∴α+20°=30°,∴α=10°.
故选D.
5.答案 C ∵sinA-12+(1-tan B)2=0,∴sinA-12=0,(1-tan B)2=0,
∴sin A=12,tan B=1,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C的度数为180°-30°-45°=105°.
故选C.
6.答案 C 当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).∵0°<α<β<45°,
∴0sin α,选项C是假命题,符合题意;易得07.答案 B ∵α是锐角,cs α<22,∴45°<α<90°.
∵α是锐角,tan α<3,∴0°<α<60°.
故45°<α<60°.故选B.
二、填空题
8.答案 1
解析原式=2×3+1-4×32=23+1-23=1.
9.答案 ②③④
解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,∴sin A=BCAB=12,∴①错误;
由sin A=12可得∠A=30°,∴∠B=60°,∴cs B=cs 60°=12,∴②正确;
∵tan A=tan 30°=33,∴③正确;
∵tan B=tan 60°=3,∴④正确.故正确的结论是②③④.
三、解答题
10.解析 (1)原式=3-2×32+22=3-3+22=22.
(2)原式=12-2×222+32×332-12=12-2×12+32×13-12=12-1+12-12=-12.
11.解析在Rt△ABC中,tan C=ABBC,BC=40 m,∠C=30°,
∴AB=BC·tan C=40×tan 30°=4033 m.
答:树的高度AB为4033 m.
12.解析 (1)如图1,作BH⊥AC,垂足为H.
图1
在Rt△BHC中,∠C=30°,∴sin C=BHBC=12,即BC=2BH.
在Rt△BHA中,∠A=45°,∴sin A=BHAB=22,即AB=2BH.
∴thi A=BCAB=2BH2BH=2.
(2)当∠A为锐角时,如图2,过点B作BH⊥AC于H,
图2
∵thi A=3,∴BCAB=3,∴BC=3AB,
在Rt△BHC中,∠C=30°,∴sin C=BHBC=12,即BC=2BH.
∴3AB=2BH,∴BHAB=32.
在Rt△ABH中,sin A=BHAB=32,∴∠A=60°.
当∠A为钝角时,同上可得∠A=120°.
故∠A的度数为60°或120°.
(3)如图1,在△ABC中,thi A=BCAB,在Rt△BHA中,sin A=BHAB,在Rt△BHC中,sin C=BHBC=12,即BC=2BH.
∴thi A=2sin A.