2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2﹣x﹣1C．y＝D．y＝x+2
2．（3分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．72°B．36°C．18°D．54°
4．（3分）抛物线y＝x2+5x+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣cB．直线x＝C．直线x＝﹣D．直线x＝﹣5
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，要使四边形OACB为菱形，则需添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠CAD＝∠CBDB．∠OAD＝∠OBDC．AD＝BDD．OA＝BC
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．2a﹣b＜0D．a+b﹣c＜1
7．（3分）已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为（ ）
A．2cmB．cmC．（2﹣）cmD．（2+）cm
8．（3分）已知1≤x≤，那么函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
9．（3分）如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△ABC和正方形BDEC组成，则过A，D，E三点的圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx的图象与一次函数y＝kx的图象交于点A，O，过线段AO上一动点E作直线EF⊥x轴交抛物线于点F，则线段EF的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 ．
12．（4分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝50°，则∠C＝ ．
13．（4分）一抛物线的形状，开口方向与y＝﹣3x+1相同，顶点在（﹣2，3），则此抛物线的解析式为 ．
14．（4分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB＝ ．
15．（4分）定义：给定关于x的函数y，对于函数图象上的任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＞y2，则称该函数为减函数．根据以上定义，下列函数为减函数的有 ．
①y＝﹣2x+1；②y＝3x；③y＝（x＞0）；④y＝5x2（x＜0）（只需填写序号）
16．（4分）如图，直线y＝x+2与x，y轴分别交于A，B两点，C是以D（2，0）为圆心，为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是 平方单位．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）已知：二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证：＝2．
19．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
20．（10分）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求m的值及抛物线与x轴的交点坐标；
（2）x取什么值时，抛物线在x轴下方？
（3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？
21．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
22．（12分）如图1，以斜边AB为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为O，P为弧BC的中点．
（1）只用直尺和笔作图：在弧ACB另一侧的圆上找一点G，连接PG交BC于点D，使D成为BC中点．并说明你的理由．
（2）在（1）小题图形基础上，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK、BK，判断四边形PBKC的形状，并证明你的结论．
（3）如题图2，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：当∠CAB＝60°时，H为AB四等分点．
23．（12分）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，B，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上的一动点，若S△AOB：S△PAB＝8：3，求此时点P的坐标．
（3）点E是抛物线对称轴上的动点，点F是抛物线上的点，判断有几个位置能够使得点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．（3分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝B．y＝2x2﹣x﹣1C．y＝D．y＝x+2
【解答】解：A、该函数右边不是整式，它不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
C、该函数是反比例函数，故本选项错误；
D、该函数是一次函数，故本选项错误；
故选：B．
2．（3分）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．
故选：A．
3．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．72°B．36°C．18°D．54°
【解答】解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝x2+5x+c的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣cB．直线x＝C．直线x＝﹣D．直线x＝﹣5
【解答】解：∵抛物线y＝x2+5x+c＝（x+）2﹣+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣，
故选：C．
5．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB交AB于点D，要使四边形OACB为菱形，则需添加的下列条件中，正确的是（ ）
A．∠CAD＝∠CBDB．∠OAD＝∠OBDC．AD＝BDD．OA＝BC
【解答】解：OA＝BC．理由如下：
∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，
∴AD＝DB，∠ADO＝∠ADC＝90°，AC＝BC，
∵OA＝BC＝AC，AD＝AD，
∴△ADO≌△ADC（SAS），
∴OD＝DC，
∵AD＝DB，AB⊥OC，OD＝DC
∴四边形OACB为菱形．
故选：D．
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．2a﹣b＜0D．a+b﹣c＜1
【解答】解：由二次函数的图象开口向上，与y轴的交点为（0，﹣1）知a＞0，c＝﹣1＜0，
由对称轴直线x＝﹣＜﹣1可知b＞2a，
∴2a﹣b＜0，b＞0，
∴abc＜0，故A错误，C正确；
由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故B错误；
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b+1＞1
∵c＝﹣1，
∴a+b﹣c＞1，故D错误．
故选：C．
7．（3分）已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为2cm，则这条弦的中点到弦所对优弧中点的距离为（ ）
A．2cmB．cmC．（2﹣）cmD．（2+）cm
【解答】解：连接OA，
∵D为AB中点，OD过圆心O，C为的中点，
∴由垂径定理得：CD过O，AD＝BD＝1cm，OD⊥AB，
∵在△ODA中，OA＝2cm，AD＝1cm，
由勾股定理得：OD＝cm，
∴CD＝OC+OD＝（2+）cm，
故选：D．
8．（3分）已知1≤x≤，那么函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．
【解答】解：∵函数y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴当1≤x≤时，在x＝2时，该函数取得最大值，此时y＝1，
故选：C．
9．（3分）如图，多边形ABDEC是由边长为2的正△ABC和正方形BDEC组成，则过A，D，E三点的圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：如图1所示，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又∵DE是圆的弦，
∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中，
∵AB2＝BF2+AF2，
∴AF＝＝．
∴OH＝AF+FH﹣OA＝2+﹣r．
在Rt△ODH中，OH2+DH2＝OD2．
∴（2+﹣r）2+12＝r2．
解得r＝2．
∴该圆的半径长为2．
故选：B．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx的图象与一次函数y＝kx的图象交于点A，O，过线段AO上一动点E作直线EF⊥x轴交抛物线于点F，则线段EF的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设E（x，kx），则F（x，ax2+bx），
∴EF＝kx﹣（ax2+bx）＝﹣ax2+（k﹣b）x＝﹣a（x﹣）2+，
∴EF有最大值为：；
故选：A．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是 5 ．
【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，
则事件A平均每100次发生的次数为：100×＝5．
故答案为：5．
12．（4分）圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝50°，则∠C＝ 130° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°．
13．（4分）一抛物线的形状，开口方向与y＝﹣3x+1相同，顶点在（﹣2，3），则此抛物线的解析式为 y＝+3 ．
【解答】解：∵抛物线的形状，开口方向与y＝﹣3x+1相同，
∴a＝，
∵顶点为（﹣2，3），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2+3．
故答案为y＝（x+2）2+3．
14．（4分）如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则∠ACB＝ 90° ．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝90°．
故答案为：90°．
15．（4分）定义：给定关于x的函数y，对于函数图象上的任意两点（x1，y1），（x2，y2），当x1＜x2时，都有y1＞y2，则称该函数为减函数．根据以上定义，下列函数为减函数的有 ①③④ ．
①y＝﹣2x+1；②y＝3x；③y＝（x＞0）；④y＝5x2（x＜0）（只需填写序号）
【解答】解：①y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，故①正确；
②y＝3x，k＝3＞0，y随x的增大而增大，故②错误；
③y＝（x＞0）位于第一象限，y随x的增大而减小，故③正确；
④y＝5x2，a＝5＞0开口向上，x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确；
故答案为：①③④．
16．（4分）如图，直线y＝x+2与x，y轴分别交于A，B两点，C是以D（2，0）为圆心，为半径的圆上一动点，连接AC，BC，则△ABC的面积的最大值是 6 平方单位．
【解答】解：如图所示：过点D作DH⊥AB，垂足为H，延长HD交圆D与点C．此时△ABC的面积取最大值．
∵将x＝0代入y＝x+2得y＝2，
∴点B的坐标为（0，2）．
∴OB＝2．
∵将y＝0代入y＝x+2得x＝﹣2．
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∴OA＝2．
∴在Rt△ABO中，AB＝＝2，∠BAO＝45°．
∵点D的坐标为（2，0），
∴AD＝4．
∵HD⊥AB，
∴∠DHA＝90°．
又∵∠BAO＝45°，
∴△AHD为等腰直角三角形，DH＝2．
∵圆D的半径为，
∴CH＝3．
∴S△ABM＝AB•CH＝＝6．
故答案为：6．
三、解答题：本题有7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）已知：二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，
当x＝﹣4和x＝0时，y＝3，
∴该函数过点（﹣3，0），（﹣1，0），（﹣4，3），（0，3），顶点坐标为（﹣2，﹣1），
函数图象如右图所示．
18．（8分）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证：＝2．
【解答】解：连接OE、CE，
∵OC⊥AB，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∵D是OC中点，
∴CE＝OE，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠COE＝60°，∠AOE＝30°，
∴．
19．（8分）某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．
（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 ；
（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【解答】解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，
∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；
故答案为：；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，
∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．
20．（10分）抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交于点（0，3）．
（1）求m的值及抛物线与x轴的交点坐标；
（2）x取什么值时，抛物线在x轴下方？
（3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？
【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得m＝3，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；
（2）当x＜﹣1或x＞3时，抛物线在x轴下方；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以当x≤1时，y随着x的增大而增大．
21．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【解答】解：（1）连接OB，
∵∠OAB＝α＝40°，
∴∠OBA＝40°，
∴∠AOB＝100°，
∴β＝∠AOB＝50°；
（2）结论：α+β＝90°．
理由：∵∠AOB＝180°﹣2α，
∴β＝∠AOB＝90°﹣α，
∴α+β＝90°．
22．（12分）如图1，以斜边AB为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为O，P为弧BC的中点．
（1）只用直尺和笔作图：在弧ACB另一侧的圆上找一点G，连接PG交BC于点D，使D成为BC中点．并说明你的理由．
（2）在（1）小题图形基础上，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK、BK，判断四边形PBKC的形状，并证明你的结论．
（3）如题图2，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：当∠CAB＝60°时，H为AB四等分点．
【解答】解：（1）连接PO并延长交圆于点G，
理由如下：∵P是弧BC的中点，
∴OP⊥BC，
∴CD＝BD，即D是BC中点；
（2）四边形PBKC是菱形，
由（1）知，CD＝BD，
∵CD＝BD，PD＝DK，
∴四边形PBKC是平行四边形，
∵P是弧BC的中点，
∴PC＝PB，
∴平行四边形PBKC是菱形；
（3）∵CE＝PE，CD＝BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB，
∵∠G＝∠OBP＝∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG＝∠OHD，
∵OA＝OG，
∴∠OAG＝∠G，
∴∠ODH＝∠OHD，
∴OD＝OH，
∵∠CAB＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△ODB中，∠OBD＝30°，
∴OD＝OB，
∴OH＝OB，
∴H为OB中点即AB四等分点．
23．（12分）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点A，B，点A在y轴上，点B在x轴上．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上的一动点，若S△AOB：S△PAB＝8：3，求此时点P的坐标．
（3）点E是抛物线对称轴上的动点，点F是抛物线上的点，判断有几个位置能够使得点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴A（0，4），
令y＝0，得﹣x+4＝0，解得：x＝4，∴B（4，0）
将A（0，4），B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+4；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于G交AB于H，作PK⊥AB于K，设P（t，+t+4），
则H（t，﹣t+4），PH＝+t+4﹣（﹣t+4）＝+2t，∠PKH＝∠PGB＝∠AOB＝90°
∵∠PHK＝∠BHG
∴△PHK∽△BHG∽△BAO
∴＝
∵OA＝OB＝4
∴AB＝4
∴PK＝PH＝t2+t
∵S△AOB：S△PAB＝8：3，
∴＝
∴PK＝，即t2+t＝，解得：t1＝1，t2＝3
∴点P的坐标为（1，）或（3，）；
（3）如图2，当OB为平行四边形的边时，EF∥OB，EF＝OB＝4，
设点F的横坐标为m，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴＝4，解得m＝5或﹣3
∴F1（5，），F2（﹣3，）；
当OB为平行四边形对角线时，设F3（n，n2+n+4）
则＝，解得n＝3
∴F3（3，）
综上所述，点F的坐标为：F1（5，），F2（﹣3，），F3（3，）．
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日期：2021/11/3 9:28:47；用户：初中数学；邮箱：hzjf111@xyh.cm；学号：24117471