八年级勾股定理复习+各个题型针对训练

这是一份八年级勾股定理复习+各个题型针对训练，共17页。试卷主要包含了利用勾股定理求第三边，勾股定理的证明，等面积法求斜边上的高，勾股数，利用勾股定理求最短距离，利用勾股定理列方程，求三角形的高等内容，欢迎下载使用。
 勾股定理知识点一  直角三角形的判定1.勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么这个三角形就死直角三角形，斜边为c2.直角三角形的定义：有一个角是90°的三角形是直角三角形，90°的角所对的边是斜边。 【例1】下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是(     )(A)         三个角的比为1:2:3              （B）三条边满足关系a2=b2-c2   (C)三条边的比为1:2:3                  （D）三个角满足关系∠B+∠C=∠A 【练习1.1】满足下列条件的三角形中,是直角三角形的是(   )A .三边长的平方之比为3: 4: 5B .三内角之比为3 :4: 5C.三边长之比为5: 12 : 13D.三内角之比为5 : 12 : 13 【练习1.2】三角形的三边分别为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是(    )A. B.C.=(b+c) (b-c)D.a:b:c=13:5:12   【练习1.3】古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩钉成-一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(    )A.直角三角形两个锐角互余B.三角形内角和等于180°C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边D .如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形   知识点二 利用勾股定理求第三边【例2】已知一个直角三角形的两条边长分别是3,4，那么它的第三边的长为___________ 【练习2.1】若a , b是Rt△ABC的两直角边长,若a: b=3 : 4 , ABC的面积24 ,则斜边c长为(     )A.5       B.10      C.15       D.20【练习2.2】已知等腰三角形的一条腰长是15 , 底边长是18 ,则它底边上的高为(       )A.9     B.12     C.15     D.18 【练习2.3】在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北向东驶去,若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5米、6米，则10秒后两车相距(      ) 米.A.55    B.65    C.75    D.85 【练习2.4】已知直角三角形的两边长分别为4，5那么它的斜边的长的平方是___________ 【练习2.5】已知直角三角形的三边长分别为a，b，c，且c=7，那么=_______【练习2.6】如图，已知,且AB=CD=3，BC=4,DE=EF=2，求AF的长。 知识点三 勾股定理的证明（面积法）     【例1】如图,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知大正方形面积为49 ,小正方形面积为4 ,若用x, y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法:①=49;②x-y=2 ;③x+y= ;④2xy+4=49 ;其中说法正确的是(      )A.①②B.①②③C.①②④D .①②③④ 【练习1】如图,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE=10, BE=24 ,则EF的长是(   )A.14              B.13C.14D.14    【练习2】图1是我国著名的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形所围成将四个直角三角形的较短边(如AF)向外延长1倍得到点A', B',C', D',并连结得到图2.已知正方形EFGH与正方形A'B'C'D'的面积分别为1 和85 ,则图2中阴影部分的面积是（   ）A.15    B.30     C.36     D.60【练习3】如图，是“赵爽弦图”，OABH、 OBCG、 OCDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGHH都是正方形,如果EF=4，AH=12 ,那么AB等于(     )A.30B .25C.20D.15 【练习4】如图, 这是用面积为24的四个全等的直角三角形△ABE,△BCF, △CDG 和△DAII拼成的“赵爽弦图”,如果AB=10 ,那么正方形EFGH的边长为(      )A.1B.2C.3D.4 【练习5】我国是最早了解勾股定理的国家之一。下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（     ） 【练习6】如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60 ,则S2的值是(    )A.12B.15C.20D.30 【练习7】如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2 ,直角三角形较长的直角边为m ,较短的直角边为n,那么(m+n)的值为(   )A.23B.24C.25D.无答案 知识点四 等面积法求斜边上的高 直角三角形ABC中，AD是斜边上的高，则有AB×AC=BC×AD假如用a，b，c表示直角三角形的三边长（c为斜边），h为斜边长的高：h=（两直角边长乘积除以斜边）【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（    ）A．     B．        C．9         D．6  【练习4.1】如图，每个小正方形的边长为1，则边AC上的高BD的长为__________       知识点五 勾股数满足的三个整数叫做勾股数。（注意：整数）常见的勾股数：3,4,55,12,137,24,259,40,418,15,17把勾股数同时扩大缩小相同的倍数仍然可以构成直角三角形的三边. 【例5】下列各组数中，是勾股数的为（   ） （A）1，2，3，      （B）0.3，0.4，0.5，   （C），，，    （D）8，15，17， 【练习5.1】若把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新三角形是（　　　　　）A．锐角三角形　　B．直角三角形　　C．钝角三角形　　D．不能确定 【练习5.2】已知直角三角形两边地长为3和4，则此三角形地周长为(      )A．12　　　B．7＋　　C．12或7＋　　D．以上都不对     【练习5.3】观察下面的表格给出的三个数a，b，c，其中a<b<c.（1）试找出他们的共同点，并说明你的结论？（2）当a=17时，求b，c的值。  【知识点六】勾股树   【例6】2.如图是一株美丽的“勾股树”，图中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，试问:正方形⑦的面积等于哪几个正方形的面积和? 【练习6.1】.图中有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别是5和10,则b的面积是_______【练习6.2】如图以Rt△ABC的三边为斜边作三个等腰直角三角形①，②，③，三角形①，②的面积分别为4和9，则三角形③的面积为___【练习6.3】如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，面积分别为S1 ,S2,S3 ,若S2=4,S3 =7,则S1 =_______ 【练习6.4】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，......，按照此规律继续下去，则S9的值为（  ）   【知识点七】利用勾股数解决实际问题【例7】小亮将升旗的绳子拉到旗杆末端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，求旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计） 【练习7.1】将一根长24cm的筷子放入底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是____________【练习7.2】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离为0.7m，顶端距地面2.4m。如果保持梯子底端不动，将梯子斜靠右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为______【练习7.3】在一棵大树的10m高处有两只猴子，其中一只胆小的猴子爬下树后走向离树20m的池塘，而另一个猴子但比较大，爬到树顶后直扑池塘（设它从树顶到池塘经过的是一条直线），如果两只猴子所经过的距离相等，问这棵树有多高？ 【练习7.4】小明准备测量一段河水的宽度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为________  知识点八 利用勾股定理求最短距离【例8】如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径为_______cm【练习8.1】在一个长20m，宽18m的长方形场地上，放着一个长方体木块，已知该木块的较长边和场地的宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A出发，爬过木块到达点C处，蚂蚁需要走的最短路程长________m  【练习8.2】如图，一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面爬行到点B处的最短路程为_______dm  【练习8.3】如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是多少？     【练习8.4】如图，圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短处的最短距离为_______cm【练习8.5】有一个如图所示的长方体透明水杠，其长AD=8cm，高AB=6cm，水深AE=4cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG=6cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃食物。（1）小虫应该怎么样爬才能使路线最短？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注。（2）求出小虫爬行的最短路线长（不计水缸厚度）    【练习8.6】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周到达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕圆柱而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，问葛藤的最短长度是_______尺。  知识点九 利用勾股定理列方程（折叠问题）【例9】在矩形ABCD中，AC=10cm，AB=4cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=______cm    【练习9.1】如图所示，折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为______cm。  【练习9.2】如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为(    )A.3B.4C.5D.6 【练习9.3】如图，在长方形ABCD中，BC=6, CD=3, 将沿对角线BD翻折，点C落在点c’处，BC'交AD于点E,则线段DE的长为(  )A.3B.C.5D.  【练习9.4】如图，在RtABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上与点B’ 重合，AE为折痕，则EB=_______   【练习9.5】如图，E为长方向ABCD的边AB上一点，将长方形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为（    ）A.6B.5C.4D.3 知识点十 求三角形的高方法一：等面积法（适用于能够求出面积，且知道底长）方法二；作高利用勾股定理（多用于等腰三角形）方法三：搭建中间桥梁建立方程（适用于知道三边长任意三角形）【例1】已知等腰三角形有两边长分别为10和8，求底边上的高的长度。  【例2】在三角形ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求三角形ABC的面积。  知识点十一 分类讨论【例11】在中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，求的面积。【练习11.1】已知等腰三角形的一腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为________