苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第二课时学案

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这是一份苏教版 (2019)5.3 导数在研究函数中的应用第二课时学案，共8页。

[例1] (链接教科书第202页例8)有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，
V(x)＝(a－2x)2x，0即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x，0实际问题归结为求V(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))上的最大值点．为此，先求V(x)的极值点．
在开区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))内，
V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.
解得x1＝eq \f(1,6)a，x2＝eq \f(1,2)a(舍去)．
当00；
当x1因此x1是极大值点，且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2)))内，x1是唯一的极值点，所以x＝eq \f(1,6)a是V(x)的最大值点．
即当截下的小正方形边长为eq \f(1,6)a时，容积最大．
eq \a\vs4\al()
1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．
2．几何中最值问题的求解思路
面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
[跟踪训练]
已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，
S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.
∴h＝eq \f(S－2πr2,2πr)，
又圆柱的体积V＝πr2h＝eq \f(r,2)(S－2πr2)＝eq \f(rS－2πr3,2)，
V′(r)＝eq \f(S－6πr2,2)，
令V′(r)＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的容积最大．
又r＝eq \r(\f(S,6π))，∴h＝2eq \r(\f(S,6π))＝eq \f(\r(6πS),3π).
即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为eq \f(\r(6πS),3π).
答案：eq \f(\r(6πS),3π)
[例2] (链接教科书第203页例9)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq \r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
[解] (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝eq \f(m,x)－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq \r(x))x
＝256eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,x)－1))＋eq \f(m,x)(2＋eq \r(x))x
＝eq \f(256m,x)＋meq \r(x)＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－eq \f(256m,x2)＋eq \f(1,2)mxeq \s\up6(－eq \f(1,2))＝eq \f(m,2x2)(xeq \s\up6(\f(3,2))－512)．令f′(x)＝0，得xeq \s\up6(\f(3,2))＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得极小值且为最小值．
此时n＝eq \f(m,x)－1＝eq \f(640,64)－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
eq \a\vs4\al()
实际生活中用料最省、费用最少、损耗最小、最节省时间等问题一般都需要利用导数求解相应函数的最小值．根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．
[跟踪训练]
已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8解：设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝y1·eq \f(200,v－8)＝eq \f(1 000v2,v－8)，
∴y′＝eq \f(2 000v（v－8）－1 000v2,（v－8）2)＝eq \f(1 000v2－16 000v,（v－8）2).
令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16.
若v0≥16，当v∈(8，16)时，y′<0，y为减函数；当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数．故v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．
故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省.
[例3] (链接教科书第204页例10)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2.其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，
所以eq \f(a,2)＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)·(x－6)2，3＜x＜6.
从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
令f′(x)＝0，解得x＝4或x＝6(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
eq \a\vs4\al()
1．经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．
2．关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[跟踪训练]
某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝eq \f(3x,4x＋32)(x∈N*)．
(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．
因为次品率p＝eq \f(3x,4x＋32)，当每天生产x件时，
有x·eq \f(3x,4x＋32)件次品，有xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3x,4x＋32)))件正品．
所以T＝200xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3x,4x＋32)))－100x·eq \f(3x,4x＋32)
＝25·eq \f(64x－x2,x＋8)(x∈N*)．
(2)T′＝－25·eq \f(（x＋32）（x－16）,（x＋8）2)，
由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．
当0三次函数的极值与零点的关系
利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象，当a＝－4，b＝1，c＝5，d＝－1时，f(x)的图象如图所示．改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
(1)你能归纳函数f(x)的图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？
(2)运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
[问题探究]
1．给定三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求导得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.用Δ表示方程f′(x)＝0的根的判别式，有以下结论：
(1)当Δ＝4(b2－3ac)＞0时，有两个极值点；
当Δ＝4(b2－3ac)≤0时，无极值点．
(2)函数f(x)的图象存在水平切线，则f′(x)＝0有实数解，从而Δ＝4(b2－3ac)≥0.
(3)函数在R上单调递增，则a＞0且Δ＝4(b2－3ac)≤0.
2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，为了描述方便简洁，这里只给出a＞0的情形．令x1，x2为f(x)的极值点，用Δ表示f′(x)＝3ax2＋2bx＋c对应方程的根的判别式，则结合零点存在性定理，有如下结论：
(1)y＝f(x)有一个零点⇔Δ≤0或f(x1)·f(x2)＞0；
(2)y＝f(x)有两个零点⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,f（x1）·f（x2）＝0；))
(3)y＝f(x)有三个零点⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0，,f（x1）·f（x2）＜0.))
3．相应函数图象的情况如下：
(1)三次函数有一个零点意味着函数单调或者极大值和极小值同号，如图①所示；
(2)三次函数有两个零点意味着函数有两个极值点，且其中一个极值点为零点，如图②所示；
(3)三次函数有三个零点，则函数的极大值和极小值异号，如图③所示；
[迁移应用]
1．已知函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是( )
A．[－2，2] B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，2) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：选B ∵f(x)＝x3－3x＋m，∴f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＞0，得x＞1或x＜－1，此时函数单调递增；
由f′(x)＜0，得－1＜x＜1，此时函数单调递减．
即当x＝－1时，函数f(x)取得极大值；
当x＝1时，函数f(x)取得极小值．
要使函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则需满足f(－1)·f(1)＞0，即(m＋2)(m－2)＞0，解得m＞2或m＜－2.
综上，实数m的取值范围是m＜－2或m＞2.
2．若eq \f(1,3)x3＋ax＋1＝0有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax＋1，则f′(x)＝x2＋a.
由f(x)＝0有两个不同的实数根，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0（Δ是方程f′（x）＝0的根的判别式），,f（x1）·f（x2）＝0（x1，x2是f（x）的极值点）.))
由Δ＞0，得a＜0，令f′(x)＝0，得x1＝eq \r(－a)，x2＝－eq \r(－a)，
所以f(x1)＝eq \f(1,3)(eq \r(－a))3＋aeq \r(－a)＋1＝－eq \f(2,3)(－a)eq \s\up6(\f(3,2))＋1，
f(x2)＝eq \f(1,3)(－eq \r(－a))3－aeq \r(－a)＋1＝eq \f(2,3)(－a)eq \s\up6(\f(3,2))＋1，
则f(x1)·f(x2)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)（－a）\s\up6(\f(3,2))))·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,3)（－a）\s\up6(\f(3,2))))＝1－eq \f(4,9)(－a)3＝0，解得a＝－eq \r(3,\f(9,4)).
综上，实数a的取值为－eq \r(3,\f(9,4)).
3．若2x3＋3(1－2a)x2＋6a(a－1)x＝0有三个不同的实数根，求实数a的取值范围．
解：令f(x)＝2x3＋3(1－2a)x2＋6a(a－1)x，则f′(x)＝6x2＋6(1－2a)x＋6a(a－1)＝6(x－a)(x－a＋1)．
由f(x)＝0有三个不同的实数根，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ＞0（Δ是方程f′（x）＝0的根的判别式），,f（x1）·f（x2）＜0（x1，x2是f（x）的极值点）.))
Δ＝36＞0，显然成立，令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝a－1，
所以f(x1)＝2a3－3a2＝a2(2a－3)，f(x2)＝(a－1)2·(2a－2＋3－6a＋6a)＝(a－1)2(1＋2a)，
则f(x1)·f(x2)＝a2(2a－3)(a－1)2(1＋2a)＜0，解得－eq \f(1,2)＜a＜0或0＜a＜1或1＜a＜eq \f(3,2).
综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.eq \f(20,3)
C．－1 D．－8
解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0，5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.
2．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq \f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝eq \f(40,3x＋5).
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq \f(40,3x＋5)＋6x
＝eq \f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－eq \f(2 400,（3x＋5）2)，
令f′(x)＝0，即eq \f(2 400,（3x＋5）2)＝6，
解得x＝5或x＝－eq \f(25,3)(舍去)．
当00，
故x＝5是f(x)的极小值同时为最小值点，对应的最小值为
f(5)＝6×5＋eq \f(800,15＋5)＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
几何中的最值问题
用料、费用最少问题
利润最大问题
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减