高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用导学案，共7页。


横看成岭侧成峰，远近高低各不同．不识庐山真面目，只缘身在此山中．
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点．
[问题] 观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？



知识点一 函数的极值
1．极大值：若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．
2．极小值：若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值，函数的极大值、极小值统称为函数的极值．
函数的极大值一定大于极小值吗？
提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值．
知识点二 函数的极值与导数的关系
1．极大值与导数的关系
2．极小值与导数的关系
1．导数为0的点都是极值点吗？
提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
1．(多选)下列函数在x＝0处取得极小值的是( )
A．y＝cs x B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
答案：BC
2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )
A．在(1，2)上函数f(x)为增函数
B．在(3，4)上函数f(x)为减函数
C．在(1，3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点
解析：选D 根据导函数图象知，x∈(1，2)时，f′(x)>0，x∈(2，4)时，f′(x)<0，x∈(4，5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
角度一：求不含参数的函数极值问题
[例1] (链接教科书第199页例4)求函数f(x)＝x2e－x的极值．
[解] 函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′
＝2xe－x－x2·e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
因此当x＝0时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝eq \f(4,e2).
角度二：求含参数的函数极值问题
[例2] 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 由f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)(x>0)知，
(1)当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
(2)当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
eq \a\vs4\al()
求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判定导函数在各个小区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
[跟踪训练]
求函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的极值．
解：f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，
当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝－eq \r(a)或x＝eq \r(a).
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的极大值为f(－eq \r(a))＝2aeq \r(a)＋b，
极小值为f(eq \r(a))＝－2aeq \r(a)＋b.
[例3] 已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)，若函数f(x)在x＝－1处取得极值．
(1)求a的值；
(2)求f(x)的极小值点与极小值，并画出f(x)的大致图象；
(3)若直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同交点，求m的取值范围．
[解] (1)因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图象如图所示：
(3)因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3，1)．
[母题探究]
1．(变条件)若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝eq \f(4,3)处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围．
解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝0，
可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，
则f′(x)＝－3x2＋4x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq \f(4,3)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
作出函数f(x)的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－\f(76,27))).
2．(变条件)若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．
eq \a\vs4\al()
1．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
2．研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
3．事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函数f(x)的极值点，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋2b＋c＝0， ①,3a－2b＋c＝0， ②))
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③得a＝eq \f(1,2)，b＝0，c＝－eq \f(3,2).
(2)由(1)知，f(x)＝eq \f(1,2)x3－eq \f(3,2)x.
∴f′(x)＝eq \f(3,2)x2－eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)(x－1)(x＋1)．
当x<－1或x>1时，f′(x)>0，
当－1∴x＝－1是f(x)的极大值点，极大值为f(－1)＝1.
x＝1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)＝－1.
1. 函数f(x)＝x＋2cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0， \f(π,2)))上的极大值点为( )
A．0 B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
答案：B
2．设函数f(x)＝eq \f(2,x)＋ln x，则( )
A．x＝eq \f(1,2)为f(x)的极大值点
B．x＝eq \f(1,2)为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析：选D 由f′(x)＝－eq \f(2,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x)))＝0可得x＝2.当0＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x＝2为f(x)的极小值点．
3．求函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的极值．
解：函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2).
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝eq \f(1,e)，没有极小值．
新课程标准解读
核心素养
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
数学抽象
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值
直观想象
x
x1左侧
x1
x1右侧
f′(x)
f′(x)eq \a\vs4\al(>)0
f′(x)＝0
f′(x)eq \a\vs4\al(<)0
f(x)

极eq \a\vs4\al(大)值f(x1)

x
x2左侧
x2
x2右侧
f′(x)
f′(x)eq \a\vs4\al(<)0
f′(x)＝0
f′(x)eq \a\vs4\al(>)0
f(x)

极eq \a\vs4\al(小)值f(x2)

求函数的极值
x
(－∞，0)
0
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减
极小值0
单调
递增
极大值4e－2
单调递减
x
(－∞，－eq \r(a))
－eq \r(a)
(－eq \r(a)， eq \r(a))
eq \r(a)
(eq \r(a)，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值f(－eq \r(a))
单调递减
极小值f(eq \r(a))
单调递增
函数极值的简单应用
x
(－∞，0)
0
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(4,3)))
eq \f(4,3)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
单调递减
极小
值－4
单调
递增
极大值
－eq \f(76,27)
单调递减
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)

极大值
