苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案

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这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用导学案，共8页。

如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x10，即eq \f(Δy,Δx)>0.这表明，函数的平均变化率与其单调性密切相关．进一步猜想，函数的瞬时变化率(即导数)与其单调性也密切相关．
[问题] 导数与函数的单调性有什么联系？

知识点函数的单调性与其导数正负的关系
对于函数y＝f(x)：
(1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的eq \a\vs4\al(增)函数；
(2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的eq \a\vs4\al(减)函数．
eq \a\vs4\al()
对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明
(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)；
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
答案：D
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减
D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增
答案：A
3.如图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？
解：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2，1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1，3]．
角度一：根据原函数图象确定导函数图象
[例1] 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的( )
[解析] 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈[－1，b)时，在x轴下方；当x∈[b，a)时，在x轴上方；当x∈[a，1]时，在x轴下方．故选C.
[答案] C
eq \a\vs4\al()
对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在该区间内导数值大于零．在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图象．
角度二：由导函数图象确定原函数图象
[例2] (1)已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是图中的( )
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
[解析] (1)由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：
由表可知f(x)在(－∞，0]内单调递增，在(0，2]内单调递减，在(2，＋∞)内单调递增，故满足条件的只有C，故选C.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))内，导数递增；在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))内，导数递减．即函数f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))内越来越陡峭，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))内越来越平缓．
[答案] (1)C (2)D
eq \a\vs4\al()
通过观察导函数图象，确定导数值正负所在区间，也就确定了增减区间；根据导函数图象的变化，可确定原函数增减快慢．
[跟踪训练]
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
解析：选C 原函数的单调性是当x<0时，增；当x>0时，单调性变化依次为增、减、增．故当 x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.
2．已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
解析：选C 当 0∴f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增．故选C.
角度一：不含参数的函数求单调区间
[例3] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解] (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f′(x)＝6x－eq \f(2,x)＝eq \f(2（3x2－1）,x)＝eq \f(2（\r(3)x－1）（\r(3)x＋1）,x).
令f′(x)>0得x>eq \f(\r(3),3)，
令f′(x)<0得0∴函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，＋∞))，单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))).
(2)∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2·(e－x)′
＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)．
令f′(x)>0得0令f′(x)<0得x>2或x<0.
故增区间为(0，2)，减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．
eq \a\vs4\al()
利用导数求函数的单调区间的思路方法
求可导函数f(x)的单调区间一般有两种方法：
(1)解不等式法：步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，并写出解集；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．
(2)列表法：步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0；④列表；⑤得出结论．
角度二：含参数的函数求单调区间
[例4] 试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－eq \f(1,x)＝eq \f(kx－1,x).
当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k>0时，由f′(x)<0，即eq \f(kx－1,x)<0，解得0由f′(x)>0，即eq \f(kx－1,x)>0，解得x>eq \f(1,k).
∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，＋∞)).
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,k)))，单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k)，＋∞)).
eq \a\vs4\al()
含参数的函数求单调区间的2点注意
(1)讨论参数要全面，做到不重不漏；
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．
[跟踪训练]
设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞ )上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
[例5] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
[解析] 由于f′(x)＝k－eq \f(1,x)，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增可得f′(x)＝k－eq \f(1,x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥eq \f(1,x)，而0即k的取值范围为[1，＋∞)．
[答案] [1，＋∞)
[母题探究]
1．(变条件)若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．
解：∵f′(x)＝k－eq \f(1,x)，
且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)＝k－eq \f(1,x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≤eq \f(1,x)，∵0即k的取值范围为(－∞，0]．
2．(变条件)若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．
解：f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－eq \f(1,x).
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq \f(1,k)，
只需eq \f(1,k)∈(1，＋∞)，即eq \f(1,k)>1，则0∴k的取值范围是(0，1)．
eq \a\vs4\al()
1．利用导数求参数范围的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；
(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
[跟踪训练]
已知函数f(x)＝eq \f(ax＋1,x＋2)在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝eq \f(ax＋1,x＋2)，所以f′(x)＝eq \f(2a－1,（x＋2）2).
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，
知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即eq \f(2a－1,（x＋2）2)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤eq \f(1,2).
当a＝eq \f(1,2)时，f(x)＝eq \f(1,2)，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝eq \f(1,2)不符合题意，舍去．
故实数a的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
1．函数f(x)＝2x＋cs x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．单调性不确定 D．是奇函数
解析：选A ∵f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是下列各选项中的( )
解析：选C ∵导数的正负确定了函数的单调性，
∴从函数f′(x)的图象可知，令f′(x)＝0，
得x＝0或x＝a(a>0)，
∴函数在(－∞，0)上递减，在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，故选C.
3．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0解：(1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)<0解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3，2)．
(2)f′(x)＝cs x－1.
因为0故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．新课程标准解读
核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系
数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性
逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间
数学运算
导数与单调性的关系
x
[－1，b)
[b，a)
[a，1]
f(x)
单调递减
单调递增
单调递减
f′(x)
－
＋
－
x
(－∞，0]
(0，2]
(2，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
求函数的单调区间
已知函数的单调性求参数的范围

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