苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算学案，共7页。


假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且y＝f(u)＝60u－u2，u＝g(x)＝60－3x.
那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有y＝60u－u2＝60(60－3x)－(60－3x)2＝180x－9x2.
上式也可这样得到：f(g(x))＝60g(x)－[g(x)]2＝180x－9x2.
[问题] (1)函数f(g(x))与f(x)和g(x)是什么关系？
(2)设y＝f(g(x))＝180x－9x2，求y′，并观察f′(u)和u′＝g′(x)的关系．



知识点 复合函数
1．概念：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．求导法则：一般地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则yx′＝yu′·ux′，即yx′＝yu′·a.
eq \a\vs4\al()
求复合函数的导数的注意点
(1)分解的函数通常为基本初等函数；
(2)求导时分清是对哪个变量求导；
(3)计算结果尽量简洁，最后要把中间变量换成自变量x的函数．
1．已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．这三个函数都是复合函数吗？
提示：函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．
2．试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
1．函数y＝cs 2x的导数为( )
A．y′＝sin 2x B．y′＝－sin 2x
C．y′＝－2sin 2x D．y′＝2sin 2x
解析：选C y′＝(cs 2x)′＝－2sin 2x.
2．函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为________．
解析：f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.
答案：10
[例1] (链接教科书第191页例4)求下列函数的导数：
(1)y＝ecs x＋1；(2)y＝lg2(2x＋1)；
(3)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))；(4)y＝eq \f(1,\r(1－2x)) .
[解] (1)设y＝eu，u＝cs x＋1，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝eu·(－sin x)
＝－ecs x＋1sin x.
(2)设y＝lg2u，u＝2x＋1，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,（2x＋1）ln 2).
(3)设y＝2sin u，u＝3x－eq \f(π,6)，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝2cs u×3＝6cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6))).
(4)设y＝ueq \s\up7(－eq \f(1,2))，u＝1－2x，
则y′ x＝y′ u·u′ x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ueq \s\up7(－eq \f(1,2)))))′·(1－2x)′
＝－eq \f(1,2)ueq \s\up7(－eq \f(3,2))×(－2)＝(1－2x) eq \s\up7(－eq \f(3,2)).
eq \a\vs4\al()
复合函数求导数的步骤

[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)y＝103x－2；
(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝sin4x＋cs4x.
解：(1)令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y′ x＝y′ u·u′ x＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′ x＝y′ u·u′ x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′
＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).
(3)因为y＝sin4x＋cs4x
＝(sin2x＋cs2x)2－2sin2x·cs2x
＝1－eq \f(1,2)sin22x＝1－eq \f(1,4)(1－cs 4x)
＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)cs 4x，
所以y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)＋\f(1,4)cs 4x))′＝－sin 4x.
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(ln 3x,ex)；
(2)y＝xeq \r(1＋x2)；
(3)y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))).
[解] (1)∵(ln 3x)′＝eq \f(1,3x)×(3x)′＝eq \f(1,x)，
∴y′＝eq \f(（ln 3x）′ex－（ln 3x）（ex）′,（ex）2)
＝eq \f(\f(1,x)－ln 3x,ex)＝eq \f(1－xln 3x,xex).
(2)y′＝(xeq \r(1＋x2))′
＝x′eq \r(1＋x2)＋x(eq \r(1＋x2))′
＝eq \r(1＋x2)＋eq \f(x2,\r(1＋x2))
＝eq \f(（1＋2x2） \r(1＋x2),1＋x2).
(3)∵y＝xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
＝x(－sin 2x)cs 2x＝－eq \f(1,2)xsin 4x，
∴y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)xsin 4x))′
＝－eq \f(1,2)sin 4x－eq \f(x,2)cs 4x·4
＝－eq \f(1,2)sin 4x－2xcs 4x.
eq \a\vs4\al()
1．在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的．
2．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
[跟踪训练]
求下列函数的导数：
(1)y＝sin2eq \f(x,3)；(2)y＝sin3x＋sin x3.
解：(1)∵y＝eq \f(1－cs \f(2,3)x,2)，
∴y′＝(eq \f(1,2)－eq \f(cs\f(2,3)x,2))′＝eq \f(1,3)sineq \f(2,3)x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcs x＋cs x3·3x2
＝3sin2xcs x＋3x2cs x3.
[例3] 设f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝eq \f(3,2)x在(0，0)点相切，求a，b的值．
[解] 由曲线y＝f(x)过(0，0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋eq \r(x＋1)＋ax＋b，得
f′(x)＝eq \f(1,x＋1)＋eq \f(1,2\r(x＋1))＋a，
则f′(0)＝1＋eq \f(1,2)＋a＝eq \f(3,2)＋a，
此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．
由题意，得eq \f(3,2)＋a＝eq \f(3,2)，故a＝0.
eq \a\vs4\al()
本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
[跟踪训练]
曲线y＝esin x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(2)，求直线l的方程．
解：设u＝sin x，
则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cs xesin x，
故曲线在点(0，1)处的斜率k＝cs 0esin 0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(2))＝eq \r(2)，解得c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
导函数的奇偶性及周期性探究
1．若f(x)＝xα(x∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1，
如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，g(x)＝x4，g′(x)＝4x3.
2．若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cs x.
3．若f(x)＝cs x，则f′(x)＝－sin x.
[问题探究]
由上述导数公式可以归纳猜想以下命题成立．
命题(1)奇函数的导数是偶函数；
(2)偶函数的导数是奇函数；
(3)周期函数的导数还是周期函数．
提示：(1)设f(x)是可导的奇函数，则有f(－x)＝－f(x)，两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，f′(－x)＝f′(x)，从而f′(x)为偶函数，故原命题成立．
(2)设f(x)是可导的偶函数，则f(－x)＝f(x)，两边对x求导，得f′(－x)×(－x)′＝f′(x)，即－f′(－x)＝f′(x)，从而f′(x)是奇函数，故原命题成立．
(3)设f(x)为可导的周期函数，T为f(x)的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，两边同时对x求导得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，从而f′(x)也是以T为周期的周期函数，故原命题成立．
[迁移应用]
1.证明：可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
证明：必要性：由函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称，得f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)，于是[f(x)＋f(2a－x)]′＝[2f(a)]′，又[f(2a－x)]′＝f′(2a－x)×(－1)＝－f′(2a－x)，
因此f′(x)－f′(2a－x)＝0，即f′(x)＝f′(2a－x)．
所以导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称．
充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝a对称，则f′(x)＝f′(2a－x)，
即[f(x)＋f(2a－x)]′＝0，于是f(x)＋f(2a－x)＝C(C为常数)．
令x＝a，则有2f(a)＝C.所以f(x)＋f(2a－x)＝2f(a)．
因此可导函数y＝f(x)的图象关于点(a，f(a))中心对称．
2．证明：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
证明：必要性：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)，于是f′(x)＝[f(2a－x)]′，故f′(x)＝－f′(2a－x)，
即f′(x)＋f′(2a－x)＝0.
因此导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称．
充分性：导函数y＝f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则f′(x)＋f′(2a－x)＝0.
即[f(x)－f(2a－x)]′＝0，因此f(x)－f(2a－x)＝C(C为常数)．
令x＝a，得C＝0.所以f(x)＝f(2a－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
1．设f(x)＝sin 2x，则f′(x)＝( )
A．cs 2x B．2cs 2x
C．－cs 2x D．－2cs 2x
解析：选B f′(x)＝(sin 2x)′(2x)′＝2cs 2x.
2．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)＝( )
A．1 B.eq \f(3,2)
C．－1 D．－2
解析：选B f′(x)＝eq \f(3,3x＋2)－6x，故f′(0)＝eq \f(3,2)－0＝eq \f(3,2).
3．函数y＝eq \f(1,（3x－1）2)的导数y′＝________．
解析：y＝(3x－1)－2，
设y＝u－2，u＝3x－1，
yx′＝yu′·ux′＝(u－2)′·(3x－1)′
＝－2u－3·3＝－6(3x－1)－3＝－eq \f(6,（3x－1）3) .
答案：－eq \f(6,（3x－1）3)
4．已知f(x)＝ln(3x－1), 则f′(1)＝________．
解析：∵f′(x)＝eq \f(1,3x－1)·(3x－1)′＝eq \f(3,3x－1)，
∴f′(1)＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
5．设曲线f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
解析：由题意知f′(x)＝aeax，∴f′(0)＝a＝2.
答案：2
新课程标准解读
核心素养
能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数
数学运算
简单复合函数求导
复合函数与导数的运算法则的综合应用
复合函数的导数与导数几何意义的综合应用