高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案

这是一份高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案，共15页。学案主要包含了空间向量的概念，空间向量及其线性运算，共线向量等内容，欢迎下载使用。

6.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题．
导语
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
一、空间向量的概念
知识梳理
1．定义：在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量．
2．几何表示法：空间向量用有向线段表示．
3．几类特殊的空间向量
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量．
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
(3)向量不能比较大小．
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
D．相同的向量其方向必相同
答案 D
解析 A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小．
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))
C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D．任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
B为真命题，eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))的方向相同，模也相等，故eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1C1,\s\up6(—→))；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量．
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量；
(2)试写出eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq \(AC1,\s\up6(→))的模．
解 (1)与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A1B1,\s\up6(—→))，eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D1C1,\s\up6(—→))，共3个．
(2)向量eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq \(A1A,\s\up6(→))，eq \(B1B,\s\up6(→))，eq \(C1C,\s\up6(→))，eq \(D1D,\s\up6(→)).
(3)|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(AC2＋CC\\al(2,1))＝eq \r(AB2＋BC2＋CC\\al(2,1))＝3.
二、空间向量及其线性运算
问题1 联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？
提示 易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；线性运算法则也是一样，如：加法满足三角形法则和平行四边形法则；减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ＝0三种情况．
问题2 你能借助向量加法的几何意义证明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)吗？
提示 如图，
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c，
eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＝a＋(b＋c)，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识梳理
1．空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋c；
eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝a－b＝－c.
若P在直线OA上，则eq \(OP,\s\up6(→))＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝b＋a；
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→)).
解 (1)eq \(AA′,\s\up6(——→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))－eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′D′,\s\up6(———→))＝eq \(AD′,\s\up6(—→)).
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→)))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AB′,\s\up6(——→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→)).向量eq \(AD′,\s\up6(—→))，eq \(AC′,\s\up6(—→))如图所示．
延伸探究 利用本例题图，化简eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＋eq \(C′A,\s\up6(——→)).
解 结合加法运算，得
eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→))＝eq \(AB′,\s\up6(—→))，eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＝eq \(AC′,\s\up6(—→))，eq \(AC′,\s\up6(—→))＋eq \(C′A,\s\up6(——→))＝0.
故eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(A′B′,\s\up6(———→))＋eq \(B′C′,\s\up6(———→))＋eq \(C′A,\s\up6(——→))＝0.
反思感悟 (1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
跟踪训练2 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
(2)用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________.
答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→)).
(2)eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
三、共线向量(或平行向量)
问题3 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示 对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量．
知识梳理
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
例3 如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明 方法一 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)).①
又∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(AF,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→))，②
①＋②得2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(MN,\s\up6(→))共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
方法二 ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up6(→)).
∴eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→))共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b＝λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
(2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→)).
跟踪训练3 (1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
答案 －eq \f(1,2)
解析 由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2k，,2λk＋1＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,λ＝－1.))
(2)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且eq \(A1O,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(A1C,\s\up6(→))，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则eq \(MO,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,6)b＋eq \f(1,3)c，
eq \(MC1,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
∴eq \(MC1,\s\up6(→))＝3eq \(MO,\s\up6(→))，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
1．知识清单：
(1)空间向量的概念．
(2)空间向量的线性运算．
(3)共线向量(或平行向量)．
2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合．
3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析 与eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq \(A1D1,\s\up6(———→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(B1C1,\s\up6(———→))，共3个．
2．在三棱锥O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))，故选C.
3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
答案 A
解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
4．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝9a＋mb，eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq \(DC,\s\up6(→))＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
答案 －3
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝－2a－b，eq \(DC,\s\up6(→))＝a－2b.
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))
＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9＝－3λ，,m＝λ，))
解得m＝λ＝－3.
课时对点练
1．(多选)下列命题中，真命题是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量．
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
答案 D
解析 向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
3.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线是直线AB∥CD的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 B
解析 根据向量共线的定义，可知若eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B.
4．(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列各式运算结果是eq \(AC1,\s\up6(→))的为( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)) B.eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(——→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 选项A中，
eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
选项B中，
eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(——→))＋eq \(A1D1,\s\up6(————→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋(eq \(A1B1,\s\up6(——→))＋eq \(A1D1,\s\up6(———→)))
＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1C1,\s\up6(———→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
选项C中，
eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AC1,\s\up6(→))；
选项D中，
eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC1,\s\up6(→))≠eq \(AC1,\s\up6(→)).
5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq \(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq \(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)
＝6e1＋6e2.
又因为A，B，D三点共线，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．
因为e1，e2是不共线向量，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝6λ，,k＝6λ，))故k＝1.
6．若空间中任意四点O，A，B，P满足eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P∉AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
答案 A
解析 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝n(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝neq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线．
又eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
7．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))化简的结果为______．
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F，
则有eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，
故eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0.
8．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若eq \(AC1,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(BC,\s\up6(→))＋3zeq \(C1C,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝________.
答案 eq \f(7,6)
解析 ∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3).))
∴x＋y＋z＝eq \f(7,6).
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．
(1)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA1,\s\up6(→))；
(2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))；
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA1,\s\up6(→))＝eq \(CA1,\s\up6(→)).
(2)因为M是BB1的中点，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→)).
又eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA1,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(BA1,\s\up6(→)).
向量eq \(CA1,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))，eq \(BA1,\s\up6(→))如图所示．
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq \(A1E,\s\up6(→))＝2eq \(ED1,\s\up6(→))，F在对角线A1C上，且eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)).
求证：E，F，B三点共线．
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
因为eq \(A1E,\s\up6(→))＝2eq \(ED1,\s\up6(→))，eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→))，
所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up6(——→))，eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up6(→))，
所以eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，
eq \(A1F,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→)))＝eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,5)a＋eq \f(2,5)b－eq \f(2,5)c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(A1F,\s\up6(→))－eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)a－eq \f(4,15)b－eq \f(2,5)c
＝eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c)).
又eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EA1,\s\up6(→))＋eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)b－c＋a＝a－eq \f(2,3)b－c，
所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up6(→))，
又eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(EB,\s\up6(→))有公共起点E，
所以E，F，B三点共线．
11．(多选)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
B．2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＋3eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))
答案 BD
解析 A中，eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋2eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
B中，2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋3eq \(CD,\s\up6(→))＋3eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(AC,\s\up6(→))＋3eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝0；
C中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；
D中，eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0.
12.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq \(A1B1,\s\up6(—→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(—→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(→))共线的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 AC
解析 因为eq \(B1M,\s\up6(→))＝eq \(B1B,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝c＋eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)c＝
－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))，所以与eq \(B1M,\s\up6(→))共线的向量是
－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c和eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b－eq \f(1,3)c.
13．(多选)有下列命题，其中真命题有( )
A．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点共线
B．若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线
C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝－e1＋eq \f(1,10)e2，则a∥b
D．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
答案 BC
解析 根据共线向量的定义，若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，
则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误；
因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，
所以B正确；
由于a＝4e1－eq \f(2,5)e2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－e1＋\f(1,10)e2))＝－4b，
所以a∥b，故C正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或
|a＋b|＝||a|－|b||，故D错误．
14.如图，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若eq \(EF,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))，则λ＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，且eq \(EA,\s\up6(→))＝－eq \(ED,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝－eq \(CF,\s\up6(→))，得2eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，即eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))，故λ＝eq \f(1,2).
15．已知A，B，C三点共线，对空间任一点O，若eq \(OA,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，则μ＝__________，若存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 －1 0
解析 ∵A，B，C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
又由λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，
得eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(m,λ)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(n,λ)eq \(OC,\s\up6(→))，
由A，B，C三点共线知－eq \f(m,λ)－eq \f(n,λ)＝1，则λ＋m＋n＝0.
16．如图，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).求证：四边形EFGH是梯形．
证明 ∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→)).
又∵eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))
＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，
∴eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up6(→))，∴eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))，|eq \(EH,\s\up6(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|.
又∵点F不在线段EH上，
∴四边形EFGH是梯形．名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量称为零向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量
相反向量
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
相同的向量
所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等.