


- 2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.1.2 空间向量的数量积 学案 2 次下载
- 2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.1.3 共面向量定理 学案 2 次下载
- 2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.1 空间向量基本定理 学案 2 次下载
- 2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及其线性运算的坐标表示 学案 2 次下载
- 2022年高中数学(新教材)新苏教版选择性必修第二册同步学案第6章 6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式 学案 2 次下载
高中苏教版 (2019)6.1空间向量及其运算导学案
展开6.1.1 空间向量的线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.掌握共线向量定理,会用共线向量定理解决相关问题.
导语
国庆期间,某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江,然后抵达东方明珠(B)游玩,如图1,游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示这个过程?
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景,如图2,那它实际发生的位移是什么?又如何表示呢?
一、空间向量的概念
知识梳理
1.定义:在空间,把既有大小又有方向的量,叫作空间向量.
2.几何表示法:空间向量用有向线段表示.
3.几类特殊的空间向量
注意点:
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等,方向相同.
(3)向量不能比较大小.
例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|>|eq \(CD,\s\up6(→))|,则eq \(AB,\s\up6(→))>eq \(CD,\s\up6(→))
D.相同的向量其方向必相同
答案 D
解析 A中,单位向量长度相等,方向不确定;
B中,|a|=|b|只能说明a,b的长度相等而方向不确定;
C中,向量不能比较大小.
(2)(多选)下列命题为真命题的是( )
A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(A1C1,\s\up6(—→))
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
D.任一向量与它的相反向量不相等
答案 BC
解析 A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模要相等,而且还要方向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同;
B为真命题,eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(A1C1,\s\up6(—→))的方向相同,模也相等,故eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(A1C1,\s\up6(—→));
C为真命题,向量的相等满足传递性;
D为假命题,零向量的相反向量仍是零向量.
反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似,平面向量的其他相关概念,如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
跟踪训练1 如图所示,以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中,
(1)试写出与eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量;
(2)试写出eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量eq \(AC1,\s\up6(→))的模.
解 (1)与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A1B1,\s\up6(—→)),eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D1C1,\s\up6(—→)),共3个.
(2)向量eq \(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq \(A1A,\s\up6(→)),eq \(B1B,\s\up6(→)),eq \(C1C,\s\up6(→)),eq \(D1D,\s\up6(→)).
(3)|eq \(AC1,\s\up6(→))|=eq \r(AC2+CC\\al(2,1))=eq \r(AB2+BC2+CC\\al(2,1))=3.
二、空间向量及其线性运算
问题1 联想平面向量的线性运算,思考空间向量的线性运算包括哪些?其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用?
提示 易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算;线性运算法则也是一样,如:加法满足三角形法则和平行四边形法则;减法是加法的逆运算;数乘运算,分λ>0,λ<0和λ=0三种情况.
问题2 你能借助向量加法的几何意义证明等式:(a+b)+c=a+(b+c)吗?
提示 如图,
因为eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→)))+eq \(CD,\s\up6(→))=(a+b)+c,
eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))=a+(b+c),
所以(a+b)+c=a+(b+c).
知识梳理
1.空间向量的线性运算
已知空间向量a,b,在空间任取一点O,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(OB,\s\up6(→))=b,eq \(AB,\s\up6(→))=c,与平面向量的运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为:eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=a+c;
eq \(BA,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))-eq \(OB,\s\up6(→))=a-b=-c.
若P在直线OA上,则eq \(OP,\s\up6(→))=λa(λ∈R).
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律:
(1)a+b=b+a;
(2)(a+b)+c=a+(b+c);
(3)λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).
例2 如图,已知长方体ABCD-A′B′C′D′,化简下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量.
(1)eq \(AA′,\s\up6(—→))-eq \(CB,\s\up6(→));
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→)).
解 (1)eq \(AA′,\s\up6(——→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))-eq \(DA,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′D′,\s\up6(———→))=eq \(AD′,\s\up6(—→)).
(2)eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=(eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(AB,\s\up6(→)))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=(eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′B′,\s\up6(———→)))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=eq \(AB′,\s\up6(——→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=eq \(AC′,\s\up6(—→)).向量eq \(AD′,\s\up6(—→)),eq \(AC′,\s\up6(—→))如图所示.
延伸探究 利用本例题图,化简eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′B′,\s\up6(———→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))+eq \(C′A,\s\up6(——→)).
解 结合加法运算,得
eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′B′,\s\up6(———→))=eq \(AB′,\s\up6(—→)),eq \(AB′,\s\up6(—→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))=eq \(AC′,\s\up6(—→)),eq \(AC′,\s\up6(—→))+eq \(C′A,\s\up6(——→))=0.
故eq \(AA′,\s\up6(—→))+eq \(A′B′,\s\up6(———→))+eq \(B′C′,\s\up6(———→))+eq \(C′A,\s\up6(——→))=0.
反思感悟 (1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
跟踪训练2 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:eq \(A1O,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=________;
(2)用eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→)),eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→)),则eq \(OC1,\s\up6(→))=________.
答案 (1)eq \(A1A,\s\up6(→)) (2)eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 (1)eq \(A1O,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(A1O,\s\up6(→))-eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \(A1O,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(A1O,\s\up6(→))-eq \(AO,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(→)).
(2)eq \(OC1,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \(AA1,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→)).
三、共线向量(或平行向量)
问题3 平面向量共线的充要条件是什么?它适用于空间向量吗?
提示 对任意两个平面向量a,b(a≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使b=λa,由于空间向量共线的定义与平面向量相同,因此也适用于空间向量.
知识梳理
1.定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行,记作a∥b,规定零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
例3 如图,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,求证:CE∥MN.
证明 方法一 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \(FN,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)).①
又∵eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(MC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(EB,\s\up6(→))+eq \(BN,\s\up6(→))
=-eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))-eq \(AF,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(FB,\s\up6(→)),②
①+②得2eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(CE,\s\up6(→)),
∴eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(MN,\s\up6(→))共线.
又∵直线CE与MN不重合,
∴CE∥MN.
方法二 ∵M,N分别是AC,BF的中点,且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,
∴eq \(MN,\s\up6(→))=eq \(AN,\s\up6(→))-eq \(AM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→)))-eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AF,\s\up6(→)))-eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))
=eq \f(1,2)(eq \(AF,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)(eq \(BE,\s\up6(→))-eq \(BC,\s\up6(→)))=eq \f(1,2)eq \(CE,\s\up6(→)).
∴eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(CE,\s\up6(→))共线.
又∵直线CE与MN不重合,
∴CE∥MN.
反思感悟 向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(a≠0)共线,就是寻找实数λ,使b=λa成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:是否存在实数λ,使eq \(PA,\s\up6(→))=λeq \(PB,\s\up6(→)).
跟踪训练3 (1)若空间非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k的值为________.
答案 -eq \f(1,2)
解析 由题意知,存在实数λ使得2ke1-e2=λ[e1+2(k+1)e2],即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ=2k,,2λk+1=-1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=-\f(1,2),,λ=-1.))
(2)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为A1C上一点,且eq \(A1O,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(A1C,\s\up6(→)),BD与AC交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,
则eq \(MO,\s\up6(→))=eq \(MC,\s\up6(→))+eq \(CO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(CA1,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \f(1,3)(eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→)))
=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→)))
=eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \f(1,6)a+eq \f(1,6)b+eq \f(1,3)c,
eq \(MC1,\s\up6(→))=eq \(MC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→)))+eq \(AA1,\s\up6(→))
=eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c,
∴eq \(MC1,\s\up6(→))=3eq \(MO,\s\up6(→)),又直线MC1与直线MO有公共点M,
∴C1,O,M三点共线.
1.知识清单:
(1)空间向量的概念.
(2)空间向量的线性运算.
(3)共线向量(或平行向量).
2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合.
3.常见误区:混淆向量共线与线段共线、点共线.
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,与向量eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案 C
解析 与eq \(AD,\s\up6(→))相等的向量有eq \(A1D1,\s\up6(———→)),eq \(BC,\s\up6(→)),eq \(B1C1,\s\up6(———→)),共3个.
2.在三棱锥O-ABC中,eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 C
解析 eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(OC,\s\up6(→)),故选C.
3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且eq \(AO,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(DO,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)),则四边形ABCD是( )
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
答案 A
解析 ∵eq \(AO,\s\up6(→))+eq \(OB,\s\up6(→))=eq \(DO,\s\up6(→))+eq \(OC,\s\up6(→)),
∴eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→)).
∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(DC,\s\up6(→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形.
4.设a,b是空间中两个不共线的向量,已知eq \(AB,\s\up6(→))=9a+mb,eq \(BC,\s\up6(→))=-2a-b,eq \(DC,\s\up6(→))=a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m=________.
答案 -3
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))=-2a-b,eq \(DC,\s\up6(→))=a-2b.
所以eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))-eq \(DC,\s\up6(→))
=-2a-b-(a-2b)=-3a+b,
因为A,B,D三点共线,
所以存在实数λ,使得eq \(AB,\s\up6(→))=λeq \(BD,\s\up6(→)),
即9a+mb=λ(-3a+b).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9=-3λ,,m=λ,))
解得m=λ=-3.
课时对点练
1.(多选)下列命题中,真命题是( )
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相同的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 容易判断D是假命题,共线的单位向量是相同的向量或相反向量.
2.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是( )
A.a=b B.a+b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|=3
答案 D
解析 向量a,b互为相反向量,则a,b模相等,方向相反,故选D.
3.eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线是直线AB∥CD的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 B
解析 根据向量共线的定义,可知若eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线,则它们所在的直线可能平行,也可能重合;若AB∥CD,则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线;根据充分条件和必要条件的概念,可知eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线是直线AB∥CD的必要不充分条件,故选B.
4.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列各式运算结果是eq \(AC1,\s\up6(→))的为( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→)) B.eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(A1B1,\s\up6(——→))+eq \(A1D1,\s\up6(——→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 选项A中,
eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \(AC1,\s\up6(→));
选项B中,
eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(A1B1,\s\up6(——→))+eq \(A1D1,\s\up6(————→))=eq \(AA1,\s\up6(→))+(eq \(A1B1,\s\up6(——→))+eq \(A1D1,\s\up6(———→)))
=eq \(AA1,\s\up6(→))+eq \(A1C1,\s\up6(———→))=eq \(AC1,\s\up6(→));
选项C中,
eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))=eq \(AC1,\s\up6(→));
选项D中,
eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→)))
=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC1,\s\up6(→))≠eq \(AC1,\s\up6(→)).
5.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知eq \(AB,\s\up6(→))=e1+ke2,eq \(BC,\s\up6(→))=5e1+4e2,eq \(DC,\s\up6(→))=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,则实数k的值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 A
解析 因为eq \(BC,\s\up6(→))=5e1+4e2,eq \(DC,\s\up6(→))=-e1-2e2,
所以eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=(5e1+4e2)+(e1+2e2)
=6e1+6e2.
又因为A,B,D三点共线,所以eq \(AB,\s\up6(→))=λeq \(BD,\s\up6(→)),
所以e1+ke2=λ(6e1+6e2).
因为e1,e2是不共线向量,
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1=6λ,,k=6λ,))故k=1.
6.若空间中任意四点O,A,B,P满足eq \(OP,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))+neq \(OB,\s\up6(→)),其中m+n=1,则( )
A.P∈AB
B.P∉AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
答案 A
解析 因为m+n=1,所以m=1-n,
所以eq \(OP,\s\up6(→))=(1-n)eq \(OA,\s\up6(→))+neq \(OB,\s\up6(→)),
即eq \(OP,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))=n(eq \(OB,\s\up6(→))-eq \(OA,\s\up6(→))),
即eq \(AP,\s\up6(→))=neq \(AB,\s\up6(→)),所以eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线.
又eq \(AP,\s\up6(→)),eq \(AB,\s\up6(→))有公共起点A,
所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.
7.在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))-eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))化简的结果为______.
答案 0
解析 延长DE交边BC于点F,
则有eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)),eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DF,\s\up6(→))=eq \(AF,\s\up6(→)),
故eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))-eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))=0.
8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若eq \(AC1,\s\up6(→))=xeq \(AB,\s\up6(→))+2yeq \(BC,\s\up6(→))+3zeq \(C1C,\s\up6(→)),则x+y+z=________.
答案 eq \f(7,6)
解析 ∵eq \(AC1,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CC1,\s\up6(→)),
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,2y=1,,3z=-1,))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=\f(1,2),,z=-\f(1,3).))
∴x+y+z=eq \f(7,6).
9.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
(1)eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BA1,\s\up6(→));
(2)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→));
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)).
解 (1)eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BA1,\s\up6(→))=eq \(CA1,\s\up6(→)).
(2)因为M是BB1的中点,
所以eq \(BM,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→)).
又eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \(BB1,\s\up6(→)),
所以eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→))+eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(AM,\s\up6(→)).
(3)eq \(AA1,\s\up6(→))-eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(CA1,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))=eq \(BA1,\s\up6(→)).
向量eq \(CA1,\s\up6(→)),eq \(AM,\s\up6(→)),eq \(BA1,\s\up6(→))如图所示.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1D1上,且eq \(A1E,\s\up6(→))=2eq \(ED1,\s\up6(→)),F在对角线A1C上,且eq \(A1F,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)).
求证:E,F,B三点共线.
证明 设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,eq \(AA1,\s\up6(→))=c,
因为eq \(A1E,\s\up6(→))=2eq \(ED1,\s\up6(→)),eq \(A1F,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(FC,\s\up6(→)),
所以eq \(A1E,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(A1D1,\s\up6(——→)),eq \(A1F,\s\up6(→))=eq \f(2,5)eq \(A1C,\s\up6(→)),
所以eq \(A1E,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))=eq \f(2,3)b,
eq \(A1F,\s\up6(→))=eq \f(2,5)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(→)))=eq \f(2,5)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AA1,\s\up6(→)))
=eq \f(2,5)a+eq \f(2,5)b-eq \f(2,5)c,
所以eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(A1F,\s\up6(→))-eq \(A1E,\s\up6(→))=eq \f(2,5)a-eq \f(4,15)b-eq \f(2,5)c
=eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a-\f(2,3)b-c)).
又eq \(EB,\s\up6(→))=eq \(EA1,\s\up6(→))+eq \(A1A,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=-eq \f(2,3)b-c+a=a-eq \f(2,3)b-c,
所以eq \(EF,\s\up6(→))=eq \f(2,5)eq \(EB,\s\up6(→)),
又eq \(EF,\s\up6(→))与eq \(EB,\s\up6(→))有公共起点E,
所以E,F,B三点共线.
11.(多选)若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(BC,\s\up6(→))+2eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))
B.2eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(BC,\s\up6(→))+3eq \(CD,\s\up6(→))+3eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))
D.eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))
答案 BD
解析 A中,eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(BC,\s\up6(→))+2eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))
=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→));
B中,2eq \(AB,\s\up6(→))+2eq \(BC,\s\up6(→))+3eq \(CD,\s\up6(→))+3eq \(DA,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))=2eq \(AC,\s\up6(→))+3eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))=0;
C中,eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→));
D中,eq \(AB,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路,结果必为0.
12.(多选)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若eq \(A1B1,\s\up6(—→))=a,eq \(A1D1,\s\up6(—→))=b,eq \(A1A,\s\up6(→))=c,则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(→))共线的向量是( )
A.-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c B.eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c
C.eq \f(1,6)a-eq \f(1,6)b-eq \f(1,3)c D.-eq \f(1,2)a-eq \f(1,2)b+c
答案 AC
解析 因为eq \(B1M,\s\up6(→))=eq \(B1B,\s\up6(→))+eq \(BM,\s\up6(→))=eq \(A1A,\s\up6(→))+eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→)))=c+eq \f(1,2)(-a+b)=-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c,eq \f(1,6)a-eq \f(1,6)b-eq \f(1,3)c=
-eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)a+\f(1,2)b+c)),所以与eq \(B1M,\s\up6(→))共线的向量是
-eq \f(1,2)a+eq \f(1,2)b+c和eq \f(1,6)a-eq \f(1,6)b-eq \f(1,3)c.
13.(多选)有下列命题,其中真命题有( )
A.若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→)),则A,B,C,D四点共线
B.若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)),则A,B,C三点共线
C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-eq \f(2,5)e2,b=-e1+eq \f(1,10)e2,则a∥b
D.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
答案 BC
解析 根据共线向量的定义,若eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→)),
则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故A错误;
因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→)),且eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A,
所以B正确;
由于a=4e1-eq \f(2,5)e2=-4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-e1+\f(1,10)e2))=-4b,
所以a∥b,故C正确;
若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或
|a+b|=||a|-|b||,故D错误.
14.如图,已知空间四边形ABCD中,F为BC的中点,E为AD的中点,若eq \(EF,\s\up6(→))=λ(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))),则λ=________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(EA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)),eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(ED,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→)),且eq \(EA,\s\up6(→))=-eq \(ED,\s\up6(→)),eq \(BF,\s\up6(→))=-eq \(CF,\s\up6(→)),得2eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→)),即eq \(EF,\s\up6(→))=eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))),故λ=eq \f(1,2).
15.已知A,B,C三点共线,对空间任一点O,若eq \(OA,\s\up6(→))=2eq \(OB,\s\up6(→))+μeq \(OC,\s\up6(→)),则μ=__________,若存在三个不为0的实数λ,m,n,使λeq \(OA,\s\up6(→))+meq \(OB,\s\up6(→))+neq \(OC,\s\up6(→))=0,那么λ+m+n的值为________.
答案 -1 0
解析 ∵A,B,C三点共线,∴2+μ=1,∴μ=-1,
又由λeq \(OA,\s\up6(→))+meq \(OB,\s\up6(→))+neq \(OC,\s\up6(→))=0,
得eq \(OA,\s\up6(→))=-eq \f(m,λ)eq \(OB,\s\up6(→))-eq \f(n,λ)eq \(OC,\s\up6(→)),
由A,B,C三点共线知-eq \f(m,λ)-eq \f(n,λ)=1,则λ+m+n=0.
16.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且eq \(CF,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→)),eq \(CG,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→)).求证:四边形EFGH是梯形.
证明 ∵E,H分别是边AB,AD的中点,
∴eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AH,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)),
∴eq \(EH,\s\up6(→))=eq \(AH,\s\up6(→))-eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))-eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→)).
又∵eq \(FG,\s\up6(→))=eq \(CG,\s\up6(→))-eq \(CF,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))-eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up6(→))=eq \f(2,3)(eq \(CD,\s\up6(→))-eq \(CB,\s\up6(→)))
=eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→)),
∴eq \(EH,\s\up6(→))=eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up6(→)),∴eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→)),|eq \(EH,\s\up6(→))|=eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up6(→))|.
又∵点F不在线段EH上,
∴四边形EFGH是梯形.名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量称为零向量,记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量,叫作单位向量
相反向量
与向量a长度相等,方向相反的向量,叫作a的相反向量,记作-a
相同的向量
所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量,向量a与b是相同的向量,也称a与b相等.
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