广东省惠州市重点高中2021-2022学年高二上学期第二次质检 数学试题

这是一份广东省惠州市重点高中2021-2022学年高二上学期第二次质检 数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
总分：150分 完成时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则A∩B＝（ ）
A． B．C． D．
2. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．甲乙两同学进行罚球比赛，罚中得分，罚丢不得分．已知甲乙两同学的罚球命中率分别为和，且两人的投篮结果相互独立．现甲乙两人各罚球一次，则两人得分相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为( )
A． B． C． D．
5．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．设双曲线的半焦距为，直线过，两点．已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
7．直三棱柱中，为等边三角形， ，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如果圆上总存在两个点到原点的距离均为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（ ）
A．B．y＝x2﹣2x+1C．D．
10．已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列结论正确的有（ ）
A．若l∥α，则2m﹣n＝3B．若l⊥α，则2m﹣n＝3
C．若l∥α，则mn+2＝0D．若l⊥α，则mn+2＝0
11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则双曲线C的方程可能为（ ）
A．B．C．D．
12．设椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，且，，，过点的直线交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，则下列结论正确的有（ ）
A．椭圆的方程为 B．椭圆的焦距为
C．椭圆上存在2个点Q，使得 D．直线的方程为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．直线恒过定点，则定点坐标为________．
14．若方程表示椭圆，则实数m的取值范围是 ．
15．如图，平行六面体中，，，，则线段的长度是_______．
16．已知不经过坐标原点O的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+4y＝0交于A，B两点，若锐角△ABC的面积为，则|AB|＝ ，cs∠AOB＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
在中，角，，所对的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若，，求边上的中线的长．
18．（12分）
已知空间三点，，，设，．
（1）设，，求；
（2）求；
（3）若与互相垂直，求．
19.（12分）
已知圆C的圆心在直线上，且圆与轴相切，点在圆上，点在圆外．
（1）求圆的方程；
（2）若过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
20.（12分）
如图，在三棱柱中，四边形为矩形，,,点为棱的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21．（12分）
已知抛物线上的点到焦点的距离为．
（1）求，的值；
（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且，其中为坐标原点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22．（12分）
已知直线与椭圆相交于两点.
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段的长；
（2）若（共中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
2021学年高二第一学期第二次质检
参考答案及评分细则
一、选择题
二、填空题
13. 14 . 15. 16. ;
三、解答题
17【解答】（1）由题意可得， 2分
因为，所以，则，所以． 4分
（2）因为．所以． 5分
因为，所以， 7分
由正弦定理可得，则， 8分
由余弦定理可得， 9分
则． 10分
18【答案】（1）或；（2）；（3）或
【详解】
（1）点，，，∴，
由，设，且， 2分
∴，解得，∴或； 4分
（2）由题，，，
故 8分
（3）若与互相垂直，则，
∴，
即， 10分
化简得，解得或； 12分
19【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）设圆心，半径，
则圆C的方程可设为，因为点在圆C上， 2分
所以，解得或． 4分
因为点在圆C外，经检验不符，舍去．
所以圆C的方程为． 6分
（2）由（1）可知圆C的半径，，所以圆心到直线的距离． 7分
当k不存在时，直线方程，符合题意； 8分
当k存在时，设直线方程为，整理得 9分
所以圆心C到直线l的距离，即，解得， 10分
所以，所以直线l的方程为． 11分
∴综上，直线方程为或． 12分
20【解析】证明：由三棱柱的性质,可知四边形为棱形,又
为等边三角形， 1分
又 3分
又因为四边形为矩形， 4分
又, 5分
又, 6分
(2)解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，,,,,向量, 8分
设平面的法向量为
则， 即
10分
又平面的法向量为, 11分
平面与平面夹角的余弦值为. 12分
21【答案】．（1），．（2）直线过定点．
【详解】（1）由抛物线定义得，，即，
所以抛物线方程为，代入点，可解得． 4分
（2）设直线的方程为，，， 5分
联立，消元得，则，， 7分
由，得，所以或（舍去）， 9分
即，即，所以直线的方程为， 11分
所以直线过定点． 12分
22【答案】（1） （2）
【详解】（1）,,,,则,
椭圆的方为, 2分
联立消去得：,设,,
则
, 5分
（2）设,,
,,即, 6分
由,消去得,
由,整理得,
又,, 8分
,
由,得：,
,
整理得：,,代入上式得 10分
,,,,
,,,
,适合条件,
由此得,,故长轴长的最大值为. 12分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
B
A
A
C
A
ACD
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