高中数学2.1 圆的方程当堂检测题

这是一份高中数学2.1 圆的方程当堂检测题，共6页。

1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,36)＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2 D．0
解析：选C 因为直线过定点(3，－1)且eq \f(32,25)＋eq \f(（－1）2,36)＜1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
2．(多选)若直线y＝kx＋2与椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1有一个公共点，则斜率k的值可以为( )
A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)
C.eq \f(\r(3),3) D．－eq \f(\r(3),3)
解析：选AB 把y＝kx＋2代入eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝eq \f(2,3)，∴k＝±eq \f(\r(6),3).
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为eq \f(π,3)的弦AB，则弦AB的长为( )
A.eq \f(6,7) B.eq \f(16,7)
C.eq \f(7,16) D.eq \f(7,6)
解析：选B 易求直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x＋eq \r(2))．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)（x＋\r(2)），,x2＋2y2＝4))消去y并整理，得7x2＋12eq \r(2)x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(12\r(2),7)，x1x2＝eq \f(8,7).
则AB＝eq \r(（y2－y1）2＋（x2－x1）2)
＝ eq \r(（x2－x1）2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2－y1,x2－x1)))\s\up12(2))))
＝ eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(16,7).
4．已知F是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
解析：选D 由题意知，S△ABF＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq \f(1,2)|OF|·2b＝12.
5．(多选)如图所示，一探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是( )
A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2
C．c1a2>a1c2 D.eq \f(c1,a1)解析：选BC 椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF|，即a1－c1＝a2－c2，所以B正确；两椭圆比较有a1>a2，c1>c2，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2)，整理可得c1a2>a1c2，所以C正确，D错误．
6．已知F1为椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1可得A(0，－1)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(1,3)))，
又F1(－1，0)，
∴|F1A|＋|F1B|＝eq \r(2)＋eq \f(5\r(2),3)＝eq \f(8\r(2),3).
答案：eq \f(8\r(2),3)
7.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________ cm，短轴长为______ cm，离心率为________．
解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为eq \f(12,cs 30°)＝8eq \r(3)(cm)，则c2＝(4eq \r(3))2－62＝12，
∴c＝2eq \r(3)，∴离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
答案：8eq \r(3) 12 eq \f(1,2)
8．直线y＝x＋m与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1没有公共点，则m取值范围是________；有一个公共点，则m的值为________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1))消去y，
得eq \f(x2,4)＋(x＋m)2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当Δ<0即m<－eq \r(5)或m>eq \r(5)时直线与椭圆没有公共点；
当Δ＝0即m＝±eq \r(5)时直线与椭圆有一个公共点．
答案：(－∞，－eq \r(5))∪(eq \r(5)，＋∞) ±eq \r(5)
9．某火星探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为eq \r(ab)百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
解：设轨道方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，且c＝ eq \r(a2－b2).
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396，
∴b2＝a2－c2＝35 028，
∴轨道方程为eq \f(x2,191 844)＋eq \f(y2,35 028)＝1.
设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，
则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝ab≈81 975.1，eq \f(xeq \\al(2,0),191 844)＋eq \f(yeq \\al(2,0),35 028)＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7，
∴ eq \r(（x0－c）2＋yeq \\al(2,0))－R≈187.
故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．
10．过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解：由题意知，右焦点的坐标为(1，0)，
直线的方程为y＝2(x－1)，将其与eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0，
所以|AB|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)
＝eq \r(（x2－x1）2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2－y1,x2－x1)))\s\up12(2))))
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq \f(5\r(5),3).
设原点到直线的距离为d，则d＝eq \f(|－2|,\r(12＋22))＝eq \f(2,\r(5)) .
所以S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×eq \f(5\r(5),3)×eq \f(2,\r(5))＝eq \f(5,3).
[B级 综合运用]
11．若直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．0或1
解析：选A 由题意，得eq \f(4,\r(m2＋n2)) >2，所以m2＋n2<4，
所以点P(m，n)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，
所以点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1内，
则过点P(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有2个交点．故选A.
12．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆eq \f(x2,10)＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5eq \r(2) B.eq \r(46)＋eq \r(2)
C．7＋eq \r(2) D．6eq \r(2)
解析：选D 设圆心为点C，则圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为C(0，6)，半径r＝eq \r(2).
设点Q(x0，y0)是椭圆上任意一点，则eq \f(xeq \\al(2,0),10)＋yeq \\al(2,0)＝1，
即xeq \\al(2,0)＝10－10yeq \\al(2,0).
由xeq \\al(2,0)≥0，解得y0∈[－1，1]．
|CQ|＝eq \r(xeq \\al(2,0)＋（y0－6）2)＝eq \r(10－10yeq \\al(2,0)＋（y0－6）2)＝eq \r(－9yeq \\al(2,0)－12y0＋46)
＝ eq \r(－9\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(2,3)))\s\up12(2)＋50)，
当y0＝－eq \f(2,3)时，|CQ|有最大值5eq \r(2)，则P，Q两点间的最大距离为5eq \r(2)＋r＝6eq \r(2).故选D.
13．已知动点P(x，y)在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，若A点坐标为(3，0)，|eq \(AM,\s\up7(―→))|＝1，且eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(AM,\s\up7(―→))＝0，则|eq \(PM,\s\up7(―→))|的最小值是________．
解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点．
∵eq \(PM,\s\up7(―→))·eq \(AM,\s\up7(―→))＝0，∴eq \(AM,\s\up7(―→))⊥eq \(PM,\s\up7(―→)).
∴|eq \(PM,\s\up7(―→))|2＝| eq \(AP,\s\up7(―→))|2－|eq \(AM,\s\up7(―→))|2＝|eq \(AP,\s\up7(―→))|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故|eq \(AP,\s\up7(―→))|min＝2，∴|eq \(PM,\s\up7(―→))|min＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
14．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(2),2)，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，2c＝2，解得a＝eq \r(2)，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1.
故椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋m＝0，,\f(x2,2)＋y2＝1，))
消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0.
则Δ＝16m2－12(2m2－2)>0⇒－eq \r(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4m,3)，
则y1＋y2＝eq \f(2m,3).
所以MN的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,3)，\f(m,3)))，
因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2m,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,3)))eq \s\up12(2)≥1⇒m≥eq \f(3\r(5),5)或m≤－eq \f(3\r(5),5)，
综上，可知－eq \r(3)[C级 拓展探究]
15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，求小球经过的路程．
解：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；
(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c)；
(3)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.
综上可知，三种情况均有可能．