高中数学6.1.4 数乘向量课后练习题

这是一份高中数学6.1.4 数乘向量课后练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))等于( )
A．a－eq \f(1,4)b＋2c B．5a－eq \f(1,4)b＋2c
C．a＋eq \f(5,4)b＋2cD．5a＋eq \f(5,4)b
A [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A．]
2．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up7(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up7(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，DB．A，B，C
C．A，B，DD．A，C，D
C [eq \(AB,\s\up7(→))＝a＋2b，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝2a＋4b＝2eq \(AB,\s\up7(→))，又eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(BD,\s\up7(→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．]
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，则eq \(AF,\s\up7(→))＝( )
A．eq \f(1,3)a＋bB．eq \f(1,2)a＋b
C．a＋eq \f(1,3)bD．a＋eq \f(1,2)b
A [由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝eq \f(1,3)AB，所以eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(DF,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)a＋b.]
4．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(CD,\s\up7(→))＝b
AB [由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．]
5．设P是△ABC所在平面内一点，且eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＝2eq \(BP,\s\up7(→))，则( )
A．eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＝0B．eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(PA,\s\up7(→))＝0
C．eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝0D．eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＝0
B [因为eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(BA,\s\up7(→))＝2eq \(BP,\s\up7(→))，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．]
二、填空题
6．化简：2(a－3b)＋3(2b－a)＝________.
－a [2(a－3b)＋3(2b－a)＝2a－6b＋6b－3a＝－a.]
7．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
－4 [∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
∴ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0⇒k＜0)．]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC．若eq \(DE,\s\up7(→))＝λ1eq \(AB,\s\up7(→))＋λ2eq \(AC,\s\up7(→))(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
eq \f(1,2) [由eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))，得λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，从而λ1＋λ2＝eq \f(1,2).]
三、解答题
9．计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3)eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b)).
[解] (1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(3)原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))
＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b.
10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足eq \(AB,\s\up7(→))＝e＋2f，eq \(BC,\s\up7(→))＝－4e－f，eq \(CD,\s\up7(→))＝－5e－3f.
(1)用e，f表示eq \(AD,\s\up7(→))；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
[解] (1)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为eq \(AD,\s\up7(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \(BC,\s\up7(→))，所以eq \(AD,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))方向相同，且eq \(AD,\s\up7(→))的长度为eq \(BC,\s\up7(→))长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
11．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝0，则( )
A．eq \(AO,\s\up7(→))＝2eq \(OD,\s\up7(→)) B．eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))
C．eq \(AO,\s\up7(→))＝3eq \(OD,\s\up7(→))D．2eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→))
B [因为D为BC的中点，所以eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝2eq \(OD,\s\up7(→))，所以2eq \(OA,\s\up7(→))＋2eq \(OD,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(OA,\s\up7(→))＝－eq \(OD,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OD,\s\up7(→)).]
12．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [因为eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MB,\s\up7(→))＋eq \(MC,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝0，
从而有eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝－3eq \(MA,\s\up7(→))＝3eq \(AM,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，
故有m＝3.]
13．(一题两空)在等腰梯形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝2eq \(DC,\s\up7(→))，点E是线段BC的中点，若eq \(AE,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))，则λ＝________，μ＝________.
eq \f(3,4) eq \f(1,2) [取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD．
∵eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(FC,\s\up7(→))－eq \(FB,\s\up7(→)))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up7(→))))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，
∴λ＝eq \f(3,4)，μ＝eq \f(1,2).]
14．若eq \(OA,\s\up7(→))＝3e1，eq \(OB,\s\up7(→))＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量eq \(OP,\s\up7(→))用e1，e2可表示为eq \(OP,\s\up7(→))＝________.
2e1＋e2 [如图，
eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))
＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)×3e2＋eq \f(2,3)×3e1＝2e1＋e2.]
15．已知O，A，M，B为平面上四点，且eq \(OM,\s\up7(→))＝λeq \(OB,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up7(→))(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．
[解] (1)证明：∵eq \(OM,\s\up7(→))＝λeq \(OB,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up7(→))，
∴eq \(OM,\s\up7(→))＝λeq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OA,\s\up7(→))－λeq \(OA,\s\up7(→))，
eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝λeq \(OB,\s\up7(→))－λeq \(OA,\s\up7(→))，
∴eq \(AM,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．
又eq \(AM,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))有公共点A，
∴A，B，M三点共线．
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))，
若点B在线段AM上，
则eq \(AM,\s\up7(→))与eq \(AB,\s\up7(→))同向且|eq \(AM,\s\up7(→))|＞|eq \(AB,\s\up7(→))|(如图所示)．
∴λ＞1．