高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆课后测评

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1．椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝2，结合椭圆定义|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8.
2．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2eq \r(3)，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1
B.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1
D.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,45)＝1或eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,48)＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2eq \r(3)，∴c＝eq \r(3).
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4eq \r(3)，
∴a＝2eq \r(3).∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1或eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,12)＝1.
3．(多选)若椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值可以为( )
A．5 B．3
C．6 D．8
解析：选AB 由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m＋1，m＝3，故选A、B.
4．(多选)下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段
B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选AC A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为eq \r(（5＋4）2＋32)＋eq \r(（5－4）2＋32)＝4eq \r(10)>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.
5．“1＜m＜3”是“方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,3－m)＝1表示椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当方程eq \f(x2,m－1)＋eq \f(y2,3－m)＝1表示椭圆时，必有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1＞0，,3－m＞0，,m－1≠3－m，))所以1＜m＜3且m≠2；
当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．故选B.
6．设F1，F2是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦点，则焦距为________；若P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为________．
解析：由椭圆的方程知a＝5，b＝3，c＝eq \r(25－9)＝4，故焦距为8，
△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18.
答案：8 18
7．已知P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为________．
解析：设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(xP,2)，,y＝\f(yP,2)，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xP＝2x，,yP＝2y，))
又点P在椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,8)＝1上，所以eq \f(（2x）2,4)＋eq \f(（2y）2,8)＝1，
即x2＋eq \f(y2,2)＝1.
答案：x2＋eq \f(y2,2)＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．
解析：如图，当P在y轴上时
△PF1F2的面积最大，
∴eq \f(1,2)×8b＝12，∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
答案：eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1
9．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由已知条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,c＝2，))
所以b2＝a2－c2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
法二：设所求的椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4.
在方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1中，令x＝±c，得|y|＝eq \f(b2,a)；
在方程eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1中，令y＝±c，得|x|＝eq \f(b2,a).
依题意有eq \f(b2,a)＝3，得b2＝12.
于是所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1或eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1.
10.如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求：
(1)线段AB的中点M的坐标；
(2)|AB|的值．
解：由题意知椭圆C的左焦点F1的坐标为(－1，0)，直线AB的方程为y＝－2(x＋1)．
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－2（x＋1），,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝－2，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝－\f(5,3)，,y2＝\f(4,3).))
因此A(0，－2)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，\f(4,3))).
(1)设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则
x＝eq \f(0＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3))),2)＝－eq \f(5,6)，y＝eq \f(－2＋\f(4,3),2)＝－eq \f(1,3).
所以线段AB的中点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,6)，－\f(1,3))).
(2)|AB|＝ eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)))))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－\f(4,3)))\s\up12(2))＝eq \f(5\r(5),3).
[B级 综合运用]
11．(多选)过已知圆内一个定点作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹可能是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．射线
解析：选AB 如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r.若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则|AC|＝R－r，由于r＝|BC|，
∴|AC|＝R－|BC|即|CA|＋|CB|＝R.
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R.
∵B为圆内的定点，∴|AB|∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．
12．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.
13．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________．
解析：依题意可知光线经椭圆壁两次反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
答案：12
14．已知点P(6，8)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝(a>b>0)上一点，F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆的两焦点，若eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0.试求：
(1)椭圆的方程；
(2)sin∠PF1F2的值．
解：(1)因为eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－c－6，－8)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(c－6，－8)，
且eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，
所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，
所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝ eq \r(（6＋10）2＋82)＋ eq \r(（6－10）2＋82)＝12eq \r(5)，
所以a＝6eq \r(5)，b2＝a2－c2＝80.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,180)＋eq \f(y2,80)＝1.
(2)因为eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝0，
所以PF1⊥PF2，
由(1)知，|PF2|＝eq \r(（6－10）2＋82)＝4eq \r(5)，
|F1F2|＝2c＝20，
所以sin∠PF1F2＝eq \f(|PF2|,|F1F2|)＝eq \f(4\r(5),20)＝eq \f(\r(5),5).
[C级 拓展探究]
15.用圆规画一个圆O，然后在圆内标记点A，并把圆周上的点P1折叠到点A，连接OP1，标记出OP1与折痕l1的交点M1(如图)，若不断在圆周上取新的点P2，P3，…进行折叠并得到标记点M2，M3，…，则点M1，M2，M3，…形成的轨迹是什么？并说明理由．
解：把圆周上的点P1折叠到点A，折痕即为线段AP1的垂直平分线，所以|M1A|＝|M1P1|，
所以|M1O|＋|M1A|＝|OP1|＝r(r为圆O的半径)，
当点P1在圆周上运动时，即是在圆周上不断取点P2，P3，…，
所以总有|M1O|＋|M1A|＝|OP1|＝r成立．
又点A是圆内的一点，所以|OA|所以点M1，M2，M3，…形成的轨迹为以点O，A为焦点，以2a＝r的椭圆．