高中数学3.1 椭圆综合训练题

这是一份高中数学3.1 椭圆综合训练题，共6页。

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))
解析：选D ∵椭圆方程化为标准式为eq \f(y2,6)＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))．
2．(多选)已知椭圆的方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距为6，则实数m的值可以为( )
A．4 B.eq \r(34)
C．6 D.eq \r(33)
解析：选AB ∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).综上可知，实数m的值为4或eq \r(34).
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且过点(4eq \r(5)，0)的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
解析：选D 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1可知，所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝5，故A、C不正确；再将点(4eq \r(5)，0)分别代入B、D检验可知，只有D选项符合题意．
4．(多选)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的长轴，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短轴长与椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25 B．b2＝9
C．a2＝21 D．b2＝16
解析：选AB 因为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
5．已知椭圆E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)与直线y＝b相交于A，B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
解析：选C 不妨设点B在第一象限，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)，b))，由题意知OB的倾斜角是60°，所以eq \f(b,\f(bc,a))＝eq \f(a,c)＝eq \r(3)，则椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故选C.
6．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m的值为________，焦点坐标为________．
解析：∵椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
∴a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
∴焦点坐标为(0，±eq \r(3))．
答案：eq \f(1,4) (0，±eq \r(3))
7．已知椭圆的一个顶点是(0，eq \r(3))，且离心率e＝eq \f(\r(3),2)，则椭圆的标准方程是________．
解析：∵eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，∴a＝2b，
若椭圆的焦点在x轴上，则b＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)；
若椭圆的焦点在y轴上，则a＝eq \r(3)，b＝eq \f(\r(3),2).
∴椭圆的标准方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1.
答案：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1
8.如图所示，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB，则椭圆的离心率为________．
解析：法一：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，则kAB＝－eq \f(b,a)，
∵OP∥AB，∴直线OP的方程为y＝－eq \f(b,a)x.
又PF⊥x轴，∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a))).
而点P也在椭圆上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,a2)＝1.∴2e2＝1，∴e＝eq \f(\r(2),2).
法二：设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F(－c，0)．
∵P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，∴易得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a))).
又OP∥AB，∴Rt△OPF∽Rt△ABO，
∴eq \f(|PF|,|BO|)＝eq \f(|OF|,|AO|)，即eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)，
∴b＝c，∴a＝eq \r(2)c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．求经过点M(1，2)，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
解：设所求椭圆方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，试用m，n，r表示出地球同步转移轨道的离心率．
解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，依意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－c＝n＋r，,a＋c＝m＋r，))
解得a＝eq \f(n＋m＋2r,2)，c＝eq \f(m－n,2)，因此离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m－n,n＋m＋2r).
[B级 综合运用]
11．(多选)若椭圆x2＋my2＝1的离心率为eq \f(\r(3),2)，则m的值可以为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：选AD 化为标准方程为x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，
则有m>0且m≠1.
当eq \f(1,m)<1，即m>1时，a2＝1，b2＝eq \f(1,m)，
依题意有 eq \f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq \f(\r(3),2)，
解得m＝4，满足m>1；
当eq \f(1,m)>1，即0依题意有 eq \f(\r(\f(1,m)－1),\r(\f(1,m)))＝eq \f(\r(3),2)，
解得m＝eq \f(1,4)，满足0综上，m＝eq \f(1,4)或4.
12．设e是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是( )
A．(0，3) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(16,3)))
C．(0，3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)) D．(0，2)
解析：选C 当0＜k＜4时，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(4－k),2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
即eq \f(1,2)＜eq \f(\r(4－k),2)＜1⇒1＜4－k＜4，即0＜k＜3；
当k＞4时，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(k－4),\r(k))∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
即eq \f(1,2)＜eq \f(\r(k－4),\r(k))＜1⇒eq \f(1,4)＜eq \f(k－4,k)＜1⇒eq \f(1,4)＜1－eq \f(4,k)＜1⇒0＜eq \f(4,k)＜eq \f(3,4)⇒k＞eq \f(16,3).
综上，实数k的取值范围为(0，3)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,3)，＋∞)).
13．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，若直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________．
解析：∵x＝1是圆x2＋y2＝1的一条切线，
∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c＝1.
设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，则kOP＝eq \f(1,2).∵OP⊥AB，∴kAB＝－2，则直线AB的方程为y＝－2(x－1)，它与y轴的交点为(0，2)．∴b＝2，a2＝b2＋c2＝5，故椭圆的方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1.
答案：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
14．已知椭圆E的中心为坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解：(1)由题意可得，c＝1，a＝2，
∴b2＝a2－c2＝3.
∴所求椭圆E的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0∈(－2，2))，则eq \f(xeq \\al(2,0),4)＋eq \f(yeq \\al(2,0),3)＝1.①
eq \(MP,\s\up7(―→))＝(t－x0，－y0)，eq \(MH,\s\up7(―→))＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得eq \(MP,\s\up7(―→))·eq \(MH,\s\up7(―→))＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋yeq \\al(2,0)＝0.②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－eq \f(1,4)xeq \\al(2,0)＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝eq \f(1,4)x0－eq \f(3,2).
∵－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
[C级 拓展探究]
15．有一椭圆形溜冰场，其中椭圆的长轴长为100 m，短轴长为60 m．现要在该溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，则应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？
解：分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴，以中心为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
易知矩形ABCD的各顶点都在椭圆上，
由题意知2a＝100，2b＝60，
∴椭圆的方程为eq \f(x2,502)＋eq \f(y2,302)＝1，
设A(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则eq \f(xeq \\al(2,0),502)＋eq \f(yeq \\al(2,0),302)＝1，
即yeq \\al(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)(502－xeq \\al(2,0))．
由矩形的对称性知其面积S＝4x0y0，
∵xeq \\al(2,0)yeq \\al(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)(502－xeq \\al(2,0))·xeq \\al(2,0)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)－\f(502,2)))\s\up12(2)＋\f(504,4))).
∴当xeq \\al(2,0)＝eq \f(502,2)，即x0＝25eq \r(2)，y0＝15eq \r(2)时，
xeq \\al(2,0)yeq \\al(2,0)取最大值，S取最大值，
此时矩形ABCD的周长为L＝4(x0＋y0)＝160eq \r(2)(m)．
∴在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25eq \r(2) m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形的周长为160eq \r(2) m.