四川省凉山州2021届高三一模数学（理）试题

这是一份四川省凉山州2021届高三一模数学（理）试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回，中，，则，为正项等差数列的前项和，，则，抛物线等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的实部和虚部分别为，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．方程的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．中，，则（ ）
A．B．C．2D．
5．为正项等差数列的前项和，，则（ ）
A．3B．C．2D．
6．电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜（thin—film）集成电路，集成电路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势．从存放有编号分别为1，2，3，…，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号．统计结果如下：
则取到号码为奇数的频率为（ ）
A．0.5B．0.49C．0.51D．0.48
7．直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
8．抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．已知为等边三角形，，设点，满足，，与交于点，则（ ）
A．B．C．1D．2
10．日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒．某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形（如图），矩形的长为12cm，矩形的宽和正方形的边长均为8cm．若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：交椭圆于点，，若的周长的最大值为12，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为（，）．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中的常数项是______．（用数字作答）
14．定义在上的函数满足．当时，，则不等式的解集用区间表示为______．
15．设为数列的前项和，，，且，则______．
16．在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记作：．
关于两个不同的平面，有如下四个命题：
①若，则存在点满足．
②若，则存在点满足．
③若，则不存在点满足．
④若对空间任意一点，恒有，则．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）
17．（12分）2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种．6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者．为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人．
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？
（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低的所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为，求的分布列和数学期望．
运算公式：，
对照表：
18．（12分）已知函数（，，）的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积．
（1）求的角的大小；
（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值．
19．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，，且，，分别为，的中点．
（1）若，求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值．
20．（12分）椭圆：的左焦点为，且椭圆经过点，直线与交于，两点（异于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值．
21．（12分）设函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：．
请考生在第22、23两题中选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程;
（2）若直线与曲线交于，两点，设点，求．
23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知，，，恒成立．
（1）若，，求+的最小值；
（2）求的取值范围．
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数学（理科）参考答案及评分意见
评分说明：
1．本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分
3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题不给中间分。
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-12．BAACB BABDA BB
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．135 14． 15．509 16．②③④
三、解答题（共70分）
17．解：（1）列联表如下：
∴
所以，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关．
（2）由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人；
的可能取值为0,1,2,3．
∴，
，
故X的分布列为
18．解：（1）∵
∴由余弦定理得，
又
∴，即
∵
∴
（2）由题意得，，，
∴由余弦定理，得，即
设边与轴的交点为，则为正三角形
∴且
∴函数的最小正周期为2
∴
∴
又点在函数的图像上
∴
即，即
∴，，即，
又
∴
19．解：（1）∵平面且平面
∴
∵在底面中，，
∴
而
∴平面，
∵平面
∴
又在中，，是的中点
∴
∵
∴平面
（2）底面的面积
∴四棱锥的体积，
∴
以点为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，
∴，
设平面的法向量，则
，即，
取，则，
∴
又平面的法向量
∴
所以，二面角的余弦值为
20．解：（1）由题意得：，，则
∴椭圆方程为
（2）解法一（常规方法）：设，，
联立化简可得：
∵直线与椭圆交于、两点
∴即 解得：
由韦达定理得：，
∴
∴直线、得斜率和为定值1
解法二（构造齐次式）：由题直线恒过定点
①当直线不过原点时，设直线为，
则即有
由有
则
整理成关于，的齐次式：，
进而两边同时除以，则 令则
∴
②当直线过原点时，设直线的方程为，，，
∴
综合①②可得：直线与直线的斜率之和为定值1
21．解：（1）的定义域为
当时，
若，则，若，则
∴在上单调递减，在上单调递增
∴，没有极大值
（2）
当时，若，则，若，则
∴在上单调递减，在上单调递增
当，即时，
若，则或，若，则
∴在上单调递减，在，上单调递增
当，即时，恒成立，
∴在上单调递增
当，即时，
若，则或；若，则
∴在上单调递减，在，上单调递增
综上所述：当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（3）由（1）知在上为减函数
∴时，
∴
令，得
∴，即
∴，，……
将以上各式左右两边相加得
∴
22（1）解：将直线：（为参数）化为直角坐标系方程为：
∴直线的斜率为1，即直线的倾斜角
由曲线的极坐标方程：变形得，
∴
∴曲线得直角坐标系方程为。
（2）将直线化为标准参数方程为：（为参数）
代入：中，整理得：
，设、所对应的参数分别是，
，，
∴，
∴
23．解：（1）∵，，
∴
（当即时，等号成立）
∴的最小值为3
（2）∵恒成立
由（1）知∴
∴或或
解得：或
∴的取值范芯片编号
1
2
3
4
5
6
7
8
取到的次数
127
141
110
118
150
123
109
大龄受试者
年轻受试者
合计
舒张压偏高或偏低
舒张压正常
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
大龄受试者
年轻受试者
合计
舒张压偏高或偏低
10
10
20
舒张压正常
20
60
80
合计
30
70
100
0
1
2
3