高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理课堂检测

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课后素养落实(十七)　平面向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：① eq \o(AD,\s\up8(→))与 eq \o(AB,\s\up8(→))；② eq \o(DA,\s\up8(→))与 eq \o(BC,\s\up8(→))；③ eq \o(CA,\s\up8(→))与 eq \o(DC,\s\up8(→))；④ eq \o(OD,\s\up8(→))与 eq \o(OB,\s\up8(→))，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是(　　)A．①② B．①③ C．①④ D．③④B　[由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．]2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点， eq \o(BC,\s\up8(→))＝5e1， eq \o(DC,\s\up8(→))＝3e2，则 eq \o(OC,\s\up8(→))等于(　　)A． eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B． eq \f(1,2)(5e1－3e2)C． eq \f(1,2)(3e2－5e1) D． eq \f(1,2)(5e2－3e1)A　[ eq \o(OC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(BC,\s\up8(→))－ eq \o(BA,\s\up8(→)))＝ eq \f(1,2)(5e1＋3e2).]3．设一直线上三点A，B，P满足 eq \o(AP,\s\up8(→))＝m eq \o(PB,\s\up8(→))(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则 eq \o(OP,\s\up8(→))用 eq \o(OA,\s\up8(→))， eq \o(OB,\s\up8(→))表示为(　　)A． eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(OA,\s\up8(→))＋m eq \o(OB,\s\up8(→)) B． eq \o(OP,\s\up8(→))＝m eq \o(OA,\s\up8(→))＋(1－m) eq \o(OB,\s\up8(→))C． eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(\o(OA,\s\up8(→))＋m\o(OB,\s\up8(→)),1＋m) D． eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(1,m) eq \o(OA,\s\up8(→))＋ eq \f(1,1－m) eq \o(OB,\s\up8(→))C　[由 eq \o(AP,\s\up8(→))＝m eq \o(PB,\s\up8(→))得 eq \o(OP,\s\up8(→))－ eq \o(OA,\s\up8(→))＝m( eq \o(OB,\s\up8(→))－ eq \o(OP,\s\up8(→)))，∴ eq \o(OP,\s\up8(→))＋m eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(OA,\s\up8(→))＋m eq \o(OB,\s\up8(→))，∴ eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(\o(OA,\s\up8(→))＋m\o(OB,\s\up8(→)),1＋m).]4．已知AD是△ABC的中线， eq \o(AB,\s\up8(→))＝a， eq \o(AD,\s\up8(→))＝b，以a，b为基表示 eq \o(AC,\s\up8(→))，则 eq \o(AC,\s\up8(→))＝(　　)A． eq \f(1,2)(a－b) B．2b－aC． eq \f(1,2)(b－a) D．2b＋aB　[如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而 eq \o(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(AB,\s\up8(→))＋ eq \o(AC,\s\up8(→)))，则 eq \o(AC,\s\up8(→))＝2 eq \o(AD,\s\up8(→))－ eq \o(AB,\s\up8(→))＝2b－a.]5．如图， eq \o(OC,\s\up8(→))＝2 eq \o(OP,\s\up8(→))， eq \o(AB,\s\up8(→))＝2 eq \o(AC,\s\up8(→))， eq \o(OM,\s\up8(→))＝m eq \o(OB,\s\up8(→))， eq \o(ON,\s\up8(→))＝n eq \o(OA,\s\up8(→))，若m＝ eq \f(3,8)，那么n＝(　　)A. eq \f(3,4) B． eq \f(2,3)C. eq \f(4,5) D． eq \f(5,8)A　[法一：由 eq \o(OC,\s\up8(→))＝2 eq \o(OP,\s\up8(→))， eq \o(AB,\s\up8(→))＝2 eq \o(AC,\s\up8(→))，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以 eq \o(OC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \o(OA,\s\up8(→))＋ eq \o(OB,\s\up8(→)))，则 eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(1,4)( eq \o(OA,\s\up8(→))＋ eq \o(OB,\s\up8(→)))，又 eq \o(OM,\s\up8(→))＝ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))， eq \o(ON,\s\up8(→))＝n eq \o(OA,\s\up8(→))，从而 eq \o(MN,\s\up8(→))＝ eq \o(ON,\s\up8(→))－ eq \o(OM,\s\up8(→))＝n eq \o(OA,\s\up8(→))－ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))， eq \o(MP,\s\up8(→))＝ eq \o(OP,\s\up8(→))－ eq \o(OM,\s\up8(→))＝ eq \f(1,4)( eq \o(OA,\s\up8(→))＋ eq \o(OB,\s\up8(→)))－ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up8(→))－ eq \f(1,8) eq \o(OB,\s\up8(→))，又点M，P，N共线，所以存在实数λ，使 eq \o(MN,\s\up8(→))＝λ eq \o(MP,\s\up8(→))成立，即n eq \o(OA,\s\up8(→))－ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))＝λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\o(OA,\s\up8(→))－\f(1,8)\o(OB,\s\up8(→))))，又因为 eq \o(OA,\s\up8(→))， eq \o(OB,\s\up8(→))不共线，所以有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝\f(1,4)λ，,－\f(3,8)＝－\f(1,8)λ))，解得n＝ eq \f(3,4)，故选A.法二：设 eq \o(MP,\s\up8(→))＝λ eq \o(MN,\s\up8(→))，∵ eq \o(OM,\s\up8(→))＝ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))， eq \o(ON,\s\up8(→))＝n eq \o(OA,\s\up8(→))，∴ eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(OM,\s\up8(→))＋ eq \o(MP,\s\up8(→))＝ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))＋λ( eq \o(ON,\s\up8(→))－ eq \o(OM,\s\up8(→)))＝ eq \f(3,8) eq \o(OB,\s\up8(→))＋λ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n\o(OA,\s\up8(→))－\f(3,8)\o(OB,\s\up8(→))))＝ eq \f(3,8)(1－λ) eq \o(OB,\s\up8(→))＋nλ eq \o(OA,\s\up8(→))，又知 eq \o(OC,\s\up8(→))＝2 eq \o(OP,\s\up8(→))，∴ eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up8(→))＋ eq \f(1,4) eq \o(OB,\s\up8(→))，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)（1－λ）＝\f(1,4)，,nλ＝\f(1,4)，)) 解得λ＝ eq \f(1,3)，n＝ eq \f(3,4)，故选A.]二、填空题6.如图所示，向量 eq \o(OA,\s\up8(→))可用向量e1，e2表示为________．4e1＋3e2　[由题图可知， eq \o(OA,\s\up8(→))＝4e1＋3e2.]7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb得λ≠4.]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝ eq \f(1,2)AB，BE＝ eq \f(2,3)BC，若 eq \o(DE,\s\up8(→))＝λ1 eq \o(AB,\s\up8(→))＋λ2 eq \o(AC,\s\up8(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． eq \f(1,2)　[易知 eq \o(DE,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3)( eq \o(AC,\s\up8(→))－ eq \o(AB,\s\up8(→)))＝－ eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up8(→))，所以λ1＋λ2＝ eq \f(1,2).]三、解答题9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基；(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解]　(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共线得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3)，))∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基．(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3，))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ、μ的值分别为3和1.10.如图所示，P是△ABC内一点，且满足 eq \o(AP,\s\up8(→))＋2 eq \o(BP,\s\up8(→))＋3 eq \o(CP,\s\up8(→))＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证： eq \o(CQ,\s\up8(→))＝2 eq \o(CP,\s\up8(→)).[证明]　∵ eq \o(AP,\s\up8(→))＝ eq \o(AQ,\s\up8(→))＋ eq \o(QP,\s\up8(→))， eq \o(BP,\s\up8(→))＝ eq \o(BQ,\s\up8(→))＋ eq \o(QP,\s\up8(→))，∴( eq \o(AQ,\s\up8(→))＋ eq \o(QP,\s\up8(→)))＋2( eq \o(BQ,\s\up8(→))＋ eq \o(QP,\s\up8(→)))＋3 eq \o(CP,\s\up8(→))＝0，∴ eq \o(AQ,\s\up8(→))＋3 eq \o(QP,\s\up8(→))＋2 eq \o(BQ,\s\up8(→))＋3 eq \o(CP,\s\up8(→))＝0，又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，∴ eq \o(AQ,\s\up8(→))＝λ eq \o(BQ,\s\up8(→))， eq \o(CP,\s\up8(→))＝μ eq \o(QP,\s\up8(→))，∴λ eq \o(BQ,\s\up8(→))＋3 eq \o(QP,\s\up8(→))＋2 eq \o(BQ,\s\up8(→))＋3μ eq \o(QP,\s\up8(→))＝0，∴(λ＋2) eq \o(BQ,\s\up8(→))＋(3＋3μ) eq \o(QP,\s\up8(→))＝0.而 eq \o(BQ,\s\up8(→))， eq \o(QP,\s\up8(→))为不共线向量，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2＝0，,3＋3μ＝0.))∴λ＝－2，μ＝－1.∴ eq \o(CP,\s\up8(→))＝－ eq \o(QP,\s\up8(→))＝ eq \o(PQ,\s\up8(→)).故 eq \o(CQ,\s\up8(→))＝ eq \o(CP,\s\up8(→))＋ eq \o(PQ,\s\up8(→))＝2 eq \o(CP,\s\up8(→)).11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　　)A．3 B．4 C．－ eq \f(1,4) D．－ eq \f(3,4)B　[因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋7＝0，,10－y－2x＝0，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4，))故选B.]12.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界).设 eq \o(OP,\s\up8(→))＝m eq \o(OP,\s\up8(→))1＋n eq \o(OP,\s\up8(→))2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足(　　)A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0B　[由题意及平面向量基本定理易得在 eq \o(OP,\s\up8(→))＝m eq \o(OP,\s\up8(→))1＋n eq \o(OP,\s\up8(→))2中，m＞0，n＜0.]13．若D点在三角形ABC的边BC上，且 eq \o(CD,\s\up8(→))＝4 eq \o(DB,\s\up8(→))＝r eq \o(AB,\s\up8(→))＋s eq \o(AC,\s\up8(→))，则3r＋s的值为________． eq \f(8,5)　[∵ eq \o(CD,\s\up8(→))＝4 eq \o(DB,\s\up8(→))＝r eq \o(AB,\s\up8(→))＋s eq \o(AC,\s\up8(→))，∴ eq \o(CD,\s\up8(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(CB,\s\up8(→))＝ eq \f(4,5)( eq \o(AB,\s\up8(→))－ eq \o(AC,\s\up8(→)))＝r eq \o(AB,\s\up8(→))＋s eq \o(AC,\s\up8(→))，∴r＝ eq \f(4,5)，s＝－ eq \f(4,5).∴3r＋s＝ eq \f(12,5)－ eq \f(4,5)＝ eq \f(8,5).]14．在△ABC所在平面上有一点P，满足 eq \o(PA,\s\up8(→))＋ eq \o(PB,\s\up8(→))＋4 eq \o(PC,\s\up8(→))＝ eq \o(AB,\s\up8(→))，则△PBC与△PAB的面积比为________．1∶2　[ eq \o(PA,\s\up8(→))＋ eq \o(PB,\s\up8(→))＋4 eq \o(PC,\s\up8(→))＝ eq \o(AB,\s\up8(→))＝ eq \o(AP,\s\up8(→))＋ eq \o(PB,\s\up8(→))，所以4 eq \o(PC,\s\up8(→))＝2 eq \o(AP,\s\up8(→))，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.]15.如图所示，在△OAB中， eq \o(OA,\s\up8(→))＝a， eq \o(OB,\s\up8(→))＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且 eq \o(OM,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3)a， eq \o(ON,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)b，设 eq \o(AN,\s\up8(→))与 eq \o(BM,\s\up8(→))交于点P，以a、b为基表示 eq \o(OP,\s\up8(→)).[解]　∵ eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(OM,\s\up8(→))＋ eq \o(MP,\s\up8(→))， eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(ON,\s\up8(→))＋ eq \o(NP,\s\up8(→))，设 eq \o(MP,\s\up8(→))＝m eq \o(MB,\s\up8(→))， eq \o(NP,\s\up8(→))＝n eq \o(NA,\s\up8(→))，则 eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(OM,\s\up8(→))＋m eq \o(MB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3)a＋m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,3)a))＝ eq \f(1,3)(1－m)a＋mb， eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \o(ON,\s\up8(→))＋n eq \o(NA,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)(1－n)b＋na.∵a与b不共线，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（1－m）＝n，,\f(1,2)（1－n）＝m))⇒n＝ eq \f(1,5)，m＝ eq \f(2,5)，∴ eq \o(OP,\s\up8(→))＝ eq \f(1,5)a＋ eq \f(2,5)b.