高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.2 向量数量积的坐标表示同步测试题，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3 B．－3 C． eq \f(5,3) D．－ eq \f(5,3)
A [a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.]
2．已知a＝(－ eq \r(3)，－1)，b＝(1， eq \r(3))，那么a，b的夹角θ＝( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
D [cs θ＝ eq \f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－ eq \f(\r(3),2)，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]
3．已知向量a＝(－5，6)，b＝(6，5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
A [∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.]
4．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是( )
A．x＝－ eq \f(1,2) B．x＝1 C．x＝5 D．x＝0
D [a⊥b⇔(x－1)·2＋2×1＝0⇔x＝0，故选D.]
5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B． eq \r(2) C．2 D．4
C [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝± eq \r(3).∴|a|＝ eq \r(12＋n2)＝2.]
二、填空题
6．已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝_____________________.
2 [由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.]
7．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影数量是________．
eq \f(\r(65),5) [a·b＝13，|b|＝ eq \r(65)，
|a|cs θ＝ eq \f(a·b,|b|)＝ eq \f(13,\r(65))＝ eq \f(13\r(65),65)＝ eq \f(\r(65),5).]
8．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．
8 eq \r(2) [∵a＝(2，4)，b＝(－1，2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－6b，
∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8 eq \r(2).]
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝ eq \r(42＋32)＝5，|b|＝ eq \r(（－1）2＋22)＝ eq \r(5)，
∴cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(2,5\r(5))＝ eq \f(2\r(5),25).
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝ eq \f(52,9).
10.在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).
(1)求| eq \(OA,\s\up8(→))|，| eq \(AB,\s\up8(→))|；
(2)求∠OAB.
[解] (1)由 eq \(OA,\s\up8(→))＝(16，12)， eq \(AB,\s\up8(→))＝(－5－16，15－12)＝(－21，3)，
得| eq \(OA,\s\up8(→))|＝ eq \r(162＋122)＝20，
| eq \(AB,\s\up8(→))|＝ eq \r(（－21）2＋32)＝15 eq \r(2).
(2)cs ∠OAB＝ eq \f(\(AO,\s\up8(→))·\(AB,\s\up8(→)),|\(AO,\s\up8(→))||\(AB,\s\up8(→))|).
其中 eq \(AO,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝－ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cs ∠OAB＝ eq \f(300,20×15\r(2))＝ eq \f(\r(2),2).∴∠OAB＝45°.
11．设A(a，1)、B(2，b)、C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 eq \(OA,\s\up8(→))与 eq \(OB,\s\up8(→))在 eq \(OC,\s\up8(→))方向上的投影数量相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3 B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14 D．5a＋4b＝14
A [依定义知， eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OC,\s\up8(→)),|\(OC,\s\up8(→))|)＝ eq \f(\(OB,\s\up8(→))·\(OC,\s\up8(→)),|\(OC,\s\up8(→))|)，
∴ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))－ eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))＝0，∴ eq \(BA,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
∴4(a－2)＋5(1－b)＝0，即4a－5b＝3.]
12．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
A [∵ eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，1)， eq \(AC,\s\up8(→))＝(－3，3)，
∴ eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴ eq \(AB,\s\up8(→))⊥ eq \(AC,\s\up8(→))，∴∠BAC＝90°.即△ABC为直角三角形．]
13．设向量a＝(0，－1)，b＝(cs x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________．(注：cs2x＋sin2x＝1)
[0，2] [∵a＝(0，－1)，b＝(csx，sin x)，
∴a＋b＝(cs x，－1＋sin x)，
∴|a＋b|＝ eq \r(（cs x）2＋（－1＋sin x）2)，
＝ eq \r(cs2x＋1－2sinx＋sin2x)
＝ eq \r(2－2sinx)
＝ eq \r(2（1－sin x）)，
∵－1≤sin x≤1，∴0≤|a＋b|≤2.]
14．在平面直角坐标系xOy中，已知 eq \(OA,\s\up8(→))＝(－1，t)， eq \(OB,\s\up8(→))＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
5 [∵∠ABO＝90°，∴ eq \(AB,\s\up8(→))⊥ eq \(OB,\s\up8(→))，∴ eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝0.
又 eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \(OB,\s\up8(→))－ eq \(OA,\s\up8(→))＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，
∴(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0.∴t＝5.]
15．已知平面向量a＝( eq \r(3)，－1)，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t).
[解] (1)证明：∵a·b＝ eq \r(3)× eq \f(1,2)－1× eq \f(\r(3),2)＝0，∴a⊥b.
(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d.
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，
∴k＝f(t)＝ eq \f(t3－3t,4)(t≠0).