北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式课时练习

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.1 二倍角公式课时练习，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1. eq \r(1＋cs 36°)＝( )
A． eq \r(2)sin 18° B． eq \r(2)cs 18°
C．cs 18°－sin 18°D．sin 18°－cs 18°
B [ eq \r(1＋cs 36°)＝ eq \r(2cs218°)＝ eq \r(2)cs 18°.]
2．sin4 eq \f(π,12)－cs4 eq \f(π,12)等于( )
A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
B [原式＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)＋cs2\f(π,12)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin2\f(π,12)－cs2\f(π,12)))＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,12)－sin2\f(π,12)))＝－cs eq \f(π,6)＝－ eq \f(\r(3),2).]
3．已知α为第三象限角，且cs α＝－ eq \f(\r(5),5)，则tan 2α的值为( )
A．－ eq \f(4,3) B． eq \f(4,3) C．－ eq \f(3,4) D．－2
A [由题意可得，sin α＝－ eq \r(1－cs2α)＝－ eq \f(2\r(5),5)，∴tanα＝2，∴tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－ eq \f(4,3).]
4．已知sin2α＝ eq \f(2,3)，则cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3)
A [因为cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(1＋cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))),2)＝ eq \f(1＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝ eq \f(1－sin 2α,2)，
所以cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(1－sin2α,2)＝ eq \f(1－\f(2,3),2)＝ eq \f(1,6).故选A.]
5．若f(x)＝2tan x－ eq \f(2sin2\f(x,2)－1,sin\f(x,2)cs \f(x,2))，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))的值为( )
A．4 eq \r(3) B． eq \f(8\r(3),3) C．4 D．8
D [∵f(x)＝ eq \f(2sin x,cs x)＋ eq \f(2cs x,2sin \f(x,2)cs \f(x,2))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin x,cs x)＋\f(cs x,sin x)))＝ eq \f(4,2sin x cs x)＝ eq \f(4,sin 2x)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝ eq \f(4,sin \f(π,6))＝ eq \f(4,\f(1,2))＝8.故选D.]
二、填空题
6．已知tan x＝2，则tan 2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝________．
eq \f(3,4) [∵tan x＝2，∴tan 2x＝ eq \f(2tan x,1－tan2x)＝－ eq \f(4,3).
tan2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))＝ eq \f(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))),cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))))＝ eq \f(－cs 2x,sin 2x)＝－ eq \f(1,tan 2x)＝ eq \f(3,4).]
7．已知sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝ eq \f(2\r(3),3)，那么sin θ＝________，cs 2θ＝________．
eq \f(1,3) eq \f(7,9) [∵sin eq \f(θ,2)＋cs eq \f(θ,2)＝ eq \f(2\r(3),3)，
∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(θ,2)＋cs \f(θ,2))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(4,3)，
即1＋2sin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝ eq \f(4,3)，
∴sin θ＝ eq \f(1,3)，
∴cs 2θ＝1－2sin2θ＝1－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(7,9).]
8．求值： eq \f(1,sin\f(π,18))－ eq \f(\r(3),cs \f(π,18))＝________．
4 [原式＝ eq \f(cs \f(π,18)－\r(3)sin \f(π,18),sin \f(π,18)·cs \f(π,18))＝ eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs \f(π,18)－\f(\r(3),2)sin \f(π,18))),\f(1,2)sin \f(π,9))＝ eq \f(4·sin \f(π,9),sin \f(π,9))＝4.]
三、解答题
9．化简：(1) eq \f(1,cs 2θ)－tan θtan 2θ；
(2)sin2αsin2β＋cs2αcs2β－ eq \f(1,2)cs2αcs 2β.
[解] (1) eq \f(1,cs 2θ)－tan θtan 2θ＝ eq \f(1,cs 2θ)－ eq \f(sin θsin 2θ,cs θcs 2θ)
＝ eq \f(cs θ－2sin2θcsθ,cs θcs 2θ)＝ eq \f(1－2sin2θ,cs2θ)＝ eq \f(cs 2θ,cs 2θ)＝1.
(2)原式＝sin2αsin2β＋cs2αcs2β－ eq \f(1,2)(2cs2α－1)·(2cs2β－1)
＝sin2αsin2β＋cs2αcs2β－ eq \f(1,2)(4cs2αcs2β－2cs2α－2cs2β＋1)
＝sin2αsin2β－cs2αcs2β＋cs2α＋cs2β－ eq \f(1,2)
＝sin2αsin2β＋cs2αsin2β＋cs2β－ eq \f(1,2)
＝sin2β＋cs2β－ eq \f(1,2)＝1－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2).
10．若tanα＋ eq \f(1,tan α)＝ eq \f(10,3)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cs eq \f(π,4)cs2α的值．
[解] 由tanα＋ eq \f(1,tan α)＝ eq \f(10,3)，得tan α＝ eq \f(1,3)或tan α＝3.
又∵α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tan α＝3.
∴sin α＝ eq \f(3\r(10),10)，cs α＝ eq \f(\r(10),10) .
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cs eq \f(π,4)cs2α＝sin2αcs eq \f(π,4)＋cs 2αsin eq \f(π,4)＋2cs eq \f(π,4)cs2α
＝ eq \f(\r(2),2)×2sinαcs α＋ eq \f(\r(2),2)(2cs2α－1)＋ eq \r(2)cs2α
＝ eq \r(2)sinαcs α＋2 eq \r(2)cs2α－ eq \f(\r(2),2)
＝ eq \r(2)× eq \f(3\r(10),10)× eq \f(\r(10),10)＋2 eq \r(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10))) eq \s\up8(2)－ eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(5\r(2),10)－ eq \f(\r(2),2)＝0.
11．(多选题)下列选项中，值为 eq \f(1,4)的是( )
A．cs72°cs 36° B．sin eq \f(π,12)sin eq \f(5π,12)
C． eq \f(1,sin 50°)＋ eq \f(\r(3),cs 50°) D． eq \f(1,3)－ eq \f(2,3)cs215°
AB [对于A，cs 36°cs 72°＝ eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝ eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝ eq \f(sin144°,4sin 36°)＝ eq \f(1,4)，故A正确；
对于B，sin eq \f(π,12)sin eq \f(5π,12)＝sin eq \f(π,12)cs eq \f(π,12)＝ eq \f(1,2)·2sin eq \f(π,12) cs eq \f(π,12)＝ eq \f(1,2) sin eq \f(π,6)＝ eq \f(1,4)，故B正确；
对于C，原式＝ eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)
＝ eq \f(2（\f(\r(3),2)sin 50°＋\f(1,2)cs 50°）,\f(1,2)sin 100°)＝ eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝ eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4，故C错误；
对于D， eq \f(1,3)－ eq \f(2,3)cs215°＝－ eq \f(1,3)(2cs215°－1)＝
－ eq \f(1,3)cs 30°＝－ eq \f(\r(3),6)，故D错误．故选AB.]
12．已知α为第二象限角，sin α＋cs α＝ eq \f(\r(3),3)，则cs 2α等于( )
A．－ eq \f(\r(5),3) B．－ eq \f(\r(5),9) C． eq \f(\r(5),9) D． eq \f(\r(5),3)
A [由题意，得(sin α＋cs α)2＝ eq \f(1,3)，∴1＋sin 2α＝ eq \f(1,3)，sin 2α＝－ eq \f(2,3).
∵α为第二象限角，∴cs α<0，sin α>0，且cs α－sin α<0.
又∵sin α＋cs α>0，∴|cs α|<|sin α|，∴cs 2α＝cs2α－sin2α<0，
∴cs2α＝－ eq \r(1－sin22α)＝－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))\s\up8(2))＝－ eq \r(1－\f(4,9))＝－ eq \f(\r(5),3)，故选A.]
13．等腰三角形一个底角的余弦值为 eq \f(2,3)，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
eq \f(4\r(5),9) [设A是等腰△ABC的顶角，B为等腰三角形的底角，则csB＝ eq \f(2,3)，sin B＝ eq \r(1－cs2B)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up8(2))＝ eq \f(\r(5),3).
所以sin A＝sin (180°－2B)＝sin 2B＝2sin B cs B＝2× eq \f(\r(5),3)× eq \f(2,3)＝ eq \f(4\r(5),9).]
14．已知角α，β为锐角，且1－cs 2α＝sin αcs α，tan (β－α)＝ eq \f(1,3)，则β＝________．
eq \f(π,4) [由1－cs 2α＝sin αcs α，得1－(1－2sin2α)＝sinαcs α，即2sin2α＝sinαcs α.
∵α为锐角，∴sin α≠0，
∴2sin α＝cs α，即tan α＝ eq \f(1,2).
法一：由tan (β－α)＝ eq \f(tan β－tan α,1＋tan βtan α)＝ eq \f(tan β－\f(1,2),1＋\f(1,2)tan β)＝ eq \f(1,3)，得tan β＝1.
∵β为锐角，∴β＝ eq \f(π,4).
法二：tan β＝tan (β－α＋α)＝ eq \f(tan （β－α）＋tan α,1－tan （β－α）tan α)＝ eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.
∵β为锐角，∴β＝ eq \f(π,4).]
15．已知函数f(x)＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝ eq \f(6,5)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，求f(2α)的值．
[解] (1)f(π)＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－2cs eq \f(π,6)＝－2× eq \f(\r(3),2)＝－ eq \r(3).
(2)因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)))＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2π,3)－\f(π,6)))＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))
＝－2sin α＝ eq \f(6,5)，所以sin α＝－ eq \f(3,5).
又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
故cs α＝ eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))\s\up8(2))＝ eq \f(4,5).
所以sin 2α＝2sin αcs α＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))× eq \f(4,5)＝－ eq \f(24,25)，
cs 2α＝2cs2α－1＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))) eq \s\up8(2)－1＝ eq \f(7,25).
所以f(2α)＝2cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝2cs 2αcs eq \f(π,6)＋2sin 2αsin eq \f(π,6)
＝2× eq \f(7,25)× eq \f(\r(3),2)＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))× eq \f(1,2)＝ eq \f(7\r(3)－24,25).