人教版新课标A必修11.1.3集合的基本运算教案

这是一份人教版新课标A必修11.1.3集合的基本运算教案，共19页。教案主要包含了探究·发现，梳理·总结，拓展·变式等内容，欢迎下载使用。

研习教材重难点
研习点1. 并集与交集
1．并集（重点）
定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与集合B的并集（unin set）,记作（读作“并”），即，或
从定义可以看出两个集合的并集还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.
（1）理解并集定义中“或”字的意义：或包括如下三种情况：
①但；②但；③且.
由集合A中元素的互异性可知，集合A与B的公共元素在中只出现一次，因此是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合.例如：，则，而不是
并集用韦氏图（venn）表示为:





由并集的定义及韦氏图不难看出，并集具有以下性质：
eq \\ac(○,1)（吸收律）； eq \\ac(○,2)＝；
eq \\ac(○,3)（交换律）； eq \\ac(○,4)(结合律)..
【探究·发现】 并集与子集之间的关系
由并集的韦氏图表示不难发现，如果集合A是集合B的子集即，就意味着；同相关可以分析，如果集合B是集合A的子集即，就意味着；如果且，则
典例1.（1）设集合，求；
（2）设集合，，求.
【研析】（1）＝＝；
（2）在研究集合的运算时，我们还经常利用数轴工具表示集合之间的运算关系.从数轴上看应有
从而＝＝
2．交集（重点）
定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersectin set）,记作（读作“A交B”），即且
正如并集一样，两个集合的交集仍然是一个集合，所不同的是交集是由两个集合中的共同元素所组成的集合.也就是说，交集是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的.如，由于这两个集合中都有共同元素2、4、5，从而
交集用韦氏图（venn）表示为:
AB
A
B
由交集的定义及韦氏图不难看出，交集具有以下性质：
eq \\ac(○,1)（吸收律）； eq \\ac(○,2)＝；
eq \\ac(○,3)（交换律）； eq \\ac(○,4)(结合律).
【梳理·总结】 交集的定义的理解
我们可以从以下三个方面去理解交集的概念:
(1)中的任一元素都是集合A中的元素,也都是集合B中的元素;
(2) 是由集合A与集合B的的公共元素组成的;
(3)当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是说.
典例2 设集合,且,求实数的值及
【研析】本题的关键在于理解两个集合交集的意义以及元素的互异性.此时包含了两层意思:一方面－1,7是集合A与集合B的公共元素;另一方面集合A与集合B的公共元素也只有－1,7.
由已知且得:
且,在集合A中,解得:或.
当时,在集合中,,又故,但,故不合题意,舍去.
当时, 在集合中,,故有,解得,经检验知满足
综上知,所求
此时,故
研习点2.全集与补集
1．全集
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作
对于全集的理解,我们可以认为是将我们欲研究的问题限定在一个范围内进行,这个范围以外的问题则不在我们研究的范围之内,这时我们就会有理由将我们所研究的这个范围视为全集.
另外,全集并不是一成不变的,它是依据所研究问题的来加以选择的.例如我们在考虑正整数的因式分解时,我们把正整数集作为全集;在解不等式时,我们通常把实数集作为全集;多项式的因式分解,如果没有附加说明,通常把有理数集作为全集;在研究数的问题时,常常把实数集作为全集;在研究图形集合时,常常将所有的空间图形的集合作为全集.事实上,即使有些问题不指明全集,全集也是存在的,这就需要我们根据经验来判断全集什么样的集合了.
2．补集
对于一个集合A,由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集的补集(cmplementanry set),简称为集合A的补集,记作,即且,读作全集中集合A的补集.
补集既是集合之间的一种关系,又是集合的一种运算,利用集合的定义可以发现,求已知集合的补集,其实就是从全集中去掉属于集合A的元素后,由所有剩下的元素组成的集合就是全集中集合A的补集.其韦氏图（venn）表示如下图所示:
3．全集与补集的性质
全集与补集具有以下性质:
(1);
(2) ;;
(3);
(4)*(德摩根(De Mrgan)定律); .
典例3. 已知，全集U={x|－5≤x≤3}，A={x|－5≤x<－1}，B={x|－1≤x<1},求，，
()∩()，()∪()，，，并指出其中相等的集合.
【研析】={x|－1≤x≤3}；={x|－5≤x<－1或1≤x≤3}；
()∩()= {x|1≤x≤3}；()∪()= {x|－5≤x≤3}=U；
=U；= {x|1≤x≤3}.
相等集合有()∩()=；()∪()= ,这一结论也可以用韦氏图来验证.
研习点3.交集、并集之间的关系（难点）
(1)
如下图所示,不难得到.
(2)
如下图所示,不难得到.
【探究·发现】 分类标准的确立
解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此对于BA这种关系，B =时也满足BA．所以BA中就应考虑与B≠两种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论．
典例3.已知集合
(1)若,求实数的取值范围; (2)若,求实数的取值范围.
【研析】因为的含义是;的含义是且另外在讨论的过程中,还需注意是的一种情况,不要漏掉.
(1)因为,所以
eq \\ac(○,1)当时,,解得;
eq \\ac(○,2)当或时,,解得,此时;
eq \\ac(○,3)当时,是方程的两个根,
则有,解得
综上所述,实数的取值范围是或
(2)因为,所以.因为且集合中至多有两个元素,所以.
由(1)知
探究解题新思路
基础思维探究
题型一 并集与交集的概念的考查
典例1. 集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
【研析】∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3或x>0}．
如图所示：
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}=R．
或
或
探索发现 集合问题大都比较抽象，解题时应先将相关的两个集合分别表示出来，然后尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
典例2. 设A={x|－21}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1【研析】如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动，
显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1－2}，且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋x＋b=0的两根，由韦达定理得：
∴ =－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3．
推广引申 类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．
【拓展·变式】
1. 已知集合,且，，求,b的值.
2. 集合A={（x,y）},集合B={（x,y）}，又A，求实数m的取值范围.
题型二 全集与补集概念的考查
典例3. 已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由.
【研析】〖解法一〗∵；∴，即＝0，解得.
当时，，为A中元素；
当时，
当时，
∴这样的实数x存在，是或.
〖解法二〗∵，∴，，∴＝0且
∴或.
反思领悟 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.本题考察了集合间的关系以及集合的性质，分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性，此题的关键是理解符号是两层含义：.
【拓展·变式】
3. 设全集，，求的值．
题型三 对交集、并集之间关系的考查
典例4. 已知集合
①若，求实数m的取值范围；
②若，求实数m的取值范围.
【研析】
①
②
交流探讨 在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率．
【拓展·变式】
4. 已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，求实数的值.
综合思维探究
题型一 学科内综合题
典例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,(2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，求实数的值．
【研析】∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或= ±1．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
方法探究 由A∩B={2，5}求得=2或= ±1时,针对于集合B中的元素是什么，需要分类进行讨论,并且对于集合B中的元素是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
【拓展·变式】
5. 已知，求a的值.
题型二 实际应用题
典例6. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【研析】赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，
如右图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全
体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.
设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的
学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B
而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,
解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人
方法探究 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系.
【拓展·变式】
6. 求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？
题型三 易错辨析题
典例7. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．
【研析】从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
由A∩=又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，
或△=(m＋2)2－4<0．解得m≥0或－4－4．
思维指南 空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
【拓展·变式】
7. 已知，，若，则的值为 ．
创新思维探究
题型一 开放探究题
典例8 设集合A = {(x，y)|y－x－1= 0 }，集合B ={(x，y)| 4x＋2x－2y＋5 = 0 }，集合C ={(x，y)| y = kx＋b }，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
【研析】因为，即，所以且．
将y = kx＋b代入y－x－1= 0，得kx＋(2kb－1)x＋b－1= 0，
因为，所以△= (2kb－1)－4k( b－1)＜0，即4k－4kb＋1＜0，若此不等式有解，应有16b－16＞0，即b＞1．①
又将y = kx＋b代入4x＋2x－2y＋5 = 0，得：4x＋(2－2k)x＋(5－2b) = 0，
因为，所以△= (2－2k)－4k(5－2b)＜0，即k－2k＋8b－19＜0，若此不等式有解，应有4－4(8b－19)＞0，解得b＜．②
由不等式①、②及bN，得b = 2．
将b = 2代入由△＜0和△＜0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k = 1．
故存在自然数k = 1，b = 2使得．
理念链接 在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证．“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．
【拓展·变式】
8. 已知集合，，是否存在实数使得，若存在求出实数的值，若不在，说明理由
题型二 奇思妙解题
典例9 已知集合,若,求实数的取值范围.
【研析】设全集或
方程的两根均非负等价于
即时,实数的取值范围是.
故时,实数的取值范围为集合关于集合的补集,即
方法探究 本题中意味着方程的根有三种不同的情况:(1)两个负根;(2)一个负根一个零根;(3)一个负根一个正根.此三种情况虽然可概括为较小的根小于零,即利用求根公式,但是求解此不等式也并不轻松.但是如果考虑的反面,则可先求出方程两根非负时的取值范围,然后再利用补集思想求解时的的取值范围,就显得比较容易了.
【拓展·变式】
9. 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0,x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的取值范围．
题型3 奥赛欣赏题
典例10已知集合,,其中,.
若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.
【研析】,且,,又,所以
又,可得,并且或
若,即,则有解得或(舍)
此时有
若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.
综上可得,
品思感悟 本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.
【拓展·变式】
10. 已知A为有限集,且,满足集合A中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.
高考思维探究
本节内容联系面广，多与高中数学其它知识相结合，方法灵活多变,除了能利用基本概念与方法外,还应该注意采用逆向思维,从问题的反而入手,利用补集思想解决问题.在高考试题中多有体现.多以选择题与填空题的形式出现,有时也可以出解答题.
典例11（2007年北京卷）已知集合，．
若，则实数的取值范围是．
【研析】集合={x| a－1≤x≤a+1}，={x| x≥4或x≤1 }．又，∴ ，解得2品思感悟 这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目.主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法.在解题过程中要注意应先确定已知集合，再利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法.
【拓展·变式】
11（2007年安徽卷文）若，则=（ ）
A．{3}B．{1}C．D．{－1}
开拓学习新视野
其实只有一个你
好友最近为情所困，茶饭不思，心情极其低落.网上QQ一露脸，便顿足捶胸，呼天抢地地大喊：“我为什么这么命苦啊，为什么找不到合适的男人，为什么得不到成功的爱情！”
我好言相劝，不料刚开导几句就被她无情地打击.范围之广，令人汗颜：“你们男人都不是好东西！”我刚想直陈其失，却见其眼泪汪汪很是可怜.忽又记得古训曰：“凡劝人，不可遽指其过，必须先美其长；盖人喜则言易入，怒则言难入也.”
于是，我转念一想，道：“你其实是万里挑一的好女子！”
友惊，竟然停止哭泣，问道：“真的？”
我答：“那还有假！且听我慢慢算来.”
我继续解释：“目前，地球上有50亿人口，中国人有13亿，大概占20%.其中男女大致各半，我们以此为基础，从这‘半边天’的6亿多女人中算起.”
友急迫之心可见：“快说快说，愿闻其详.”
“这6亿多中国女人中，像你这样身高165以上，身材匀称，皮肤白皙，气质动人的电眼美女也就10%左右.”
友略有些腮红——脸红的QQ头像迅速发来.
我继续分析：“家在直辖市的美丽女性只有1%，而其中考上中国Tp10重点大学的最多只占0.1%，你自然属于这一类.”
友赶紧点头.
“而从这些重点大学中保送上重点大学的研究生的只占0.01%.”
友打出一个微笑的脸庞，说：“的确如此！”
“这其中家庭幸福、朋友众多、身体健康的女子也就十分之一，占总数0.001%.瞧，这已经是千万里挑一了！”
友做幸福状，鲜红的心闪得我眼晕.
我答道：“但是事情远远还没有结束.”
友兴致高昂，大手一挥：“继续！”
“你没毕业就拿到华为的ffer，可谓‘千里挑一’，那么只有0.000001%.算起来，真是超出万里挑一，简直凤毛麟角，你还不知足吗？”
友听完大笑不止，似乎又有了快乐活下去的勇气和动力.她喃喃自语说：“咦，我怎么就没有发现呢？”而后对我千恩万谢，似乎我就是传说中的伯乐，而她则是隐匿多年，才得以重见天日的千里马驹！
其实，我本想说万里挑一足矣，却没料到一发不可收拾.我掐指仔细一算，这竟然是十亿分之一.换句话说，只要没有克隆的好友出现，偌大中国甚至整个星球上仅她自己而已.
的确如此，这便是人存在的独特性与相对性之意义所在，每一个人都是十亿里挑一：在整个世界上，其实只有一个你！
优化考题新演练
理解与应用
1. （2007年天津卷）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2. 图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B∩［CU(A∪C)］ B. (A∪B) ∪(B∪C)
C. (A∪C)∩(CUB) D. ［CU(A∩C)］∪B
3. 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1A.－3≤m≤4B. －33．
4. 已知全集且则等于 A. B. C. D.
二、拓展与创新
5. 某班有学生人，其中体育爱好者人，音乐爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.
6. （2007年湖南卷） 设集合，
（1）的取值范围是 .
（2）若且的最大值为9，则的值是 .
三、综合与探究
7. 已知,求A∩B.
8. 设，若，求所有满足条件的a的集合.
答案与解析研读
【拓展·变式】
1.解： ∵. ∴中元素必是B的元素.
又∵, ∴中的元素属于B,
故.
而. ∴－1,4是方程的两根，
∴a=－3,b=－4.
2.由AB知方程组得x2+(m－1)x=0，
即m3或m－1.因此{m,或m－1}.
3. 解：，且，，
或
（1）当时，，此时满足．
（2）当时，，应舍去，．
4. 解：∵ A∪B=A，
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得∈；
若B={1}，则令△=0得=2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得=2，此时2不是方程的根，∴∈；
若B={1，2}则令△>0得∈R且≠2，把x=1代入方程得∈R，把x=2代入方程得=3．
综上的值为2或3．
5. 解：
检验：
_
3的倍数
_
2
的倍数
_
5的倍数
6. 解： “正难则反”，先求出200个数不满足条件的，即能被2或3或5整除的自然数个数，再从200中减去.设不能被2、3、5整除的数的集合分别是A、B、C，则符合条件的数的集合为A∩B∩C,不符全条件的数的集合为：
，
如图先画出文氏图，不难看出不符合的数共有：
（200÷2）＋[200÷3]＋(200÷5)－(200÷10)－[200÷6]－[200÷15]＋[200÷30]＝146(式中[x]为不超过x的最大整数)
所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
7. 解：当时，由 得，由 得或

，或3，或
当时，．
综上所述，得的值为．
8. 解：存在满足题意，因为，，而，
则至少有一个元素在中，又，∴，，即，
得而矛盾，
∴.
9. 解:设全集={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥}．
若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、x2均非负，
因此，{m|m≥}关于补集{m|m≤－1}即为所求．
10. 解：设集合A=且,由,
,得,即
或(事实上,当时,有.
当时,,而
当时,,
由,解得
综上可知,
11. 解：D 提示：从而选D.
优化考题新演练
1．B 提示：方法一（直接法）：,,故.
方法二(排除法)：由可知中的元素比0要大, 而C、D项中有元素0，故排除C、D项，且中含有元素比1，故排除A项.故答案为B.
2. A
3. D 提示：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,∴，即2＜m≤4
4．C 提示：集合，所以，集合，所以为.
5. 26 提示：图出韦氏图，根据韦氏图进行计算.
2
2
b
6．（1）（2） 解析：（1）如图所示，可知的取值范围是；（2）若则（x，y）在图中的四边形内，t=在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b=.
7. 解：

8. 解：M={－1，3}
①当时，ax－1=0无解，∴a=0
②
综①②得：所求集合为{－1，0，}.