2020-2021学年1.2.2函数的表示法教案

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习回顾

引入课题

1．回顾函数的有关概念.

2．函数的表示方法.

解析式：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

师：函数的概念中的关键词是什么？

生：集合A中任何一个元素在B中都有唯一元素与之对应.

师生：共同回顾函数三种表示形式.

将新、旧知识有机整合

示例剖析

例1  某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5})个笔记本需要y元. 试用函数的三种表示法表示函数y = f (x).

解析：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}.

用解析法可将函数y = f (x)表示为

y = 5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.

用列表法可将函数y = f (x)表示为

用图象法可将函数y = f (x)表示为下图.

知识总结：

①解析法的优点：（1）简明，全面地概括了变量间的关系；（2）通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.

②图象法的优点：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于通过图象来研究函数的某些性质.

③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量的值相对应的函数值.

例2  下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

师：同一函数用三种形式表示，它们各自有何特点.

师生合作总结三种形式的特点即优点.

师：举例说明在我们的日常生活中用三种形式表示的函数

生：（1）年级日誌表——列表法；（2）工厂生产图——图象法；（3）银行利率表——列表法；（4）医务室的各年级身高统计图——不是图象法.

一元一次函数  图象—图象法

一元二次函数  解析式—解析法

反比例函数

师：是否所有函数均能用三种方法表示呢？自示例2

生：例2不方便使用解析法表示.

例2  解析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况. 如果将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，如下图，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 这对我们的分析很有帮助.

从上图我们看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀. 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大. 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.

师生合作总结三种方法的优点.

通过范例分析体会三种表示法的优点，感知不是所有函数均能用三种形式表示.

应用举例

例3  画出函数y = |x|的图象.

例4  某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场销售与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.

（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）

（1）写出图一表示的市场售价间接函数关系P = f (t). 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t).

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

师生合作、讨论、探究函数的图象法与解析法的互相转化途径，并能利用图象求值域.

例3解：由绝对值的概念，我们有

所以，函数y = |x|的图象如图所示.

例4解：（1）由图一可得市场售价间接函数关系为，

f (t) =

由图二可得种植成本间接函数关系式为

g (t) =(t – 150)2 + 100，(0≤t≤300)

（2）设t时刻的纯收益为h (t)，则由题意得： h (t) = f (t) – g (t).

即h (t) =

当0≤t≤200时，得h (t) = (t – 50)2 + 100.

∴当t = 50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100；

当200＜t≤300时，得h (t) =(t – 350)2 + 100.

∴当t = 300时，h (t)取得在t∈(200, 300]上的最大值87.5.

综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0, 300]上可以取得最大值是100，此时t = 50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.

能力提升(表示法的转化及函数图象的应用) 培养形与数的转化能力和数形结合思想应用意识.

形成映射的概念

映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.

例5  以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？

（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.

师：讲授映射的定义.

生：由映射观点定义函数.

师生合作解答例5.

例5解析：（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.

（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.

（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.

（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.

了解映射的含义.

通过例题分析加深映射概念的理解.

归纳

总结

1．函数的表示法：解析式、图象法、列表法.

2．解析式与图象法能进行相互转化.

3．优点：解析式简明、全面、实用、图象法和列表法直观、直接、方便

函数与映射的关系：函数是实数集到实数集的特殊映射.

师生合作完成

学生回顾总结，老师引导点评、阐述.

反思总结提升对函数表示的理解与掌握

课后作业

1.2第三课时习案

学生独立完成

巩固知识，提升能力