高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用本章综合与测试课时练习

章末综合测评(二)　平面向量及其应用

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列命题正确的是(　　)

A．若∀λ∈R，a≠λb，则a，b不共线

B．若|a|＝|b|，则a＝±b

C．若a和b都是单位向量，则a∥b

D．若m＝3a＋2b，n＝a＋b，则m∥n

D　[由m＝2n，得m∥n.]

2．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影数量为(　　)

A．    B．－    C．4    D．－4

D　[a在e方向上的投影为|a|cos ＝8×＝－4.]

3．若向量＝(1，2)，＝(－4，2)，则||＝(　　)

A．2    B. 5    C. 20    D. 25

B　[因为＝＋＝(－3，4)，所以||＝＝5.]

4．已知向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a⊥(a－b)，则|b－2a|＝(　　)

A. 2    B．2    C．4    D．4

A　[|b－2a|＝|2a－b|＝|(a－b)＋a|＝＝＝2.]

5．若向量＝(3，4)，d＝(－1，1)，且d·＝5，那么d·＝(　　)

A．0     B．－4

C．4     D．4或－4

C　[d·＝d·(－)＝d·－d·＝5－1＝4.]

6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋ 2＝0，则等于(　　)

A．    B．    C．1    D．2

D　[由已知，得(－)＋2(－)＝0，即＋2＝0.

∴＝－2，

∴＝2.]

7．已知△ABC的面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)

A．1    B．2    C．    D．4

A　[由已知得，外接圆的半径为R＝1，

由三角形的面积公式，得ab sin C＝，又sin C＝＝，∴abc＝1.]

8.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)

A．     B．

C．     D．3

A　[如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系．

连接AC，

由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).

设E(0，y)(0≤y≤)，

则＝(－1，y)，

＝，

∴·＝＋y2－y＝＋(0≤y≤)，

∴当y＝时，·有最小值.故选A.]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，则下列结论正确的是(　　)

A．＝5

B．＝13

C．a在b方向上的投影数量为－

D．a在b方向上的投影数量为－

ABD　[由已知得a＝(－3，4)，b＝(5，－12)，

所以＝5，＝13，a·b＝－63.

所以a在b方向上的投影为＝－.]

10．黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝.根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件(　　)

A．A＝30°，B＝45° B．c＝1，cos C＝

C．B＝60°，c＝3  D．C＝75°，A＝45°

ABC　[∵≠，∴A错；

∵cos C＝＝≠，∴B错；

∵＝＝≠cos 60°，∴C错；

对于D，由正弦定理得，b＝＝＝，故D正确．]

11．已知|a|＝1，a·b＝，|a－b|＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．|b|＝1

B．b在a方向上的投影数量为

C．|a＋b|＝

D．a与b的夹角等于

ABCD　[因为|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1. ①

又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝3，所以|a＋b|＝，

设a与b的夹角为θ，

因为a·b＝|a||b|·cos θ＝，且|a|＝1，

所以|b|cos θ＝.   ②

由①②得cos θ＝.

又θ∈[0，π]，所以θ＝.]

12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)

A．若＝＋，则点M是边BC的中点

B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上

C．若＝－－，则点M是△ABC的重心

D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的

ACD　[A项，＝＋⇒－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，所以A正确；

B项，＝2－⇒－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，所以B错误．

C项如图，设BC的中点为D，

则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C正确．

D项，＝x＋y，

且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，

设＝2，

所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，

可知B，C，D三点共线，

所以△MBC的面积是△ABC面积的，所以D正确．]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为________．

－2或11　[＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，

＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).

因为A，B，C三点共线，

所以∥，

所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，

整理得k2－9k－22＝0，

解得k＝－2或11.]

14．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

　[∵B，P，N三点共线．

∴存在λ，使＝λ.

∴＝λ＝λ(＋)＝－λ＋λ.

∴＝＋＝(1－λ)＋λ.

又∵＝m＋，

∴

∴λ＝，m＝1－＝.]

15．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________，与夹角的余弦值为________.

－　－　[选，为基，则＝＋，＝－＋，

∴·＝·(－＋)

＝－2－2＋·

＝－－＋×1×1×cos 60°

＝－.

又＝，＝，

则与夹角的余弦值为＝＝－. ]

16．平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足a·e＝2，且|a|2≤5·|a＋te|对任意实数t成立，则|a|的取值范围是________．

[，2]　[不妨设e＝(1，0)，由于a·e＝2，可设a＝(2，s)，

则对任意实数t，有4＋s2＝|a|2≤5·|a＋te|＝5，

这等价于4＋s2≤5|s|，

解得|s|∈[1，4]，

即s2∈[1，16]，

于是|a|＝∈[，2].]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R).

(1)若a⊥b，求x的值；

(2)若a∥b，求|a－b|.

[解]　(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝2x＋3－x2＝0.

即x2－2x－3＝0，

解得x＝－1或x＝3.

(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，

解得x＝0或x＝－2.

当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(3，0)，

∴|a－b|＝|(1，0)－(3，0)|＝|(－2，0)|＝＝2.

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1，2)，

∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1，2)|＝|(2，－4)|＝＝2.

18．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

[解]　如图所示，连接A1B2.

由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，

∴A1A2＝A2B2.又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝10.

由已知A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.

在△A1B2B1中，由余弦定理得

B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200，

∴B1B2＝10.

因此，乙船的速度的大小为×60＝30(海里/小时).

答：乙船每小时航行30海里．

19.(本小题满分12分)如图，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，求∠MPN.

[解]　设＝a，＝b且，的夹角为θ，

则＝b，＝a.

又∵＝－＝b－a，＝－＝a－b，

∴·＝·＝－5，

||＝，||＝，

∴cos θ＝＝－.

又∵θ∈[0，π]，

∴θ＝.

又∵∠MPN即为向量，的夹角，

∴∠MPN＝.

20．(本小题满分12分)已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，求·.

[解]　·＝·(－)＝·－·，

∵在上的投影数量为||，

∴·＝||·||＝2.

同理，·＝||·||＝.

∴·＝－2＝.

21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c.

(1)求C；

(2)若c＝，求△ABC的面积的最大值．

[解]　(1)由2cos C(a cos B＋b cos A)＝c，得2cos C＝c，

所以2c cos C＝c，

所以cos C＝，

又C∈(0，π)，

所以C＝.

(2)由余弦定理得a2＋b2－2ab cos ＝7，整理得a2＋b2－ab＝7，

又a2＋b2≥2ab，

所以ab≤7，当且仅当a＝b时，取等号，

所以△ABC的面积为ab sin C≤×7×＝，

所以△ABC的面积的最大值为.

22．(本小题满分12分)已知△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.

(1)求·；

(2)求△ABC的面积．

[解]　 (1)∵3＋4＋5＝0，

∴3＋4＝－5，即(3＋4)2＝(－5)2.

可得92＋24·＋162＝252.

又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，

∴2＝2＝2＝1，

∴·＝0.

同理·＝－，·＝－.

∴·＝(－)·(－)

＝·－·－·＋·

＝－－0＋＋1＝.

(2)||＝＝＝＝＝，

||＝＝＝＝＝，

又cos A＝＝＝，

则sin A＝，

S△ABC＝||||sin A＝×××＝.