高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换1 同角三角函数的基本关系本节综合与测试测试题

课后素养落实(二十六)　同角三角函数的基本关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.等于(　　)

A．sin     B．cos

C．－sin    D．－cos

A　[∵0<<，∴sin >0，∴＝＝sin.]

2．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于(　　)

A．－   B．－

C．－ D．－

C　[∵α是第二象限角，∴cos α<0.

又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－，

∴cos α＝－.]

3．若α为第三象限角，则＋的值为(　　)

A．3     B．－3

C．1     D．－1

B　[∵α为第三象限角，∴cosα<0，sin α<0，∴原式＝－－＝－3.]

4．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ等于(　　)

A．－     B．

C．－     D．

D　[sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝＝，

又tanθ＝2，故原式＝＝.]

5．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcos θ的值为(　　)

A．  B．－

C．   D．－

A　[由sin4θ＋cos4θ＝，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝，

∴sin2θcos2θ＝，∵θ是第三象限角，

∴sinθ<0，cos θ<0，∴sin θcos θ＝.]

二、填空题

6．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为________．

－　[∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，∴tan α＝＝－.]

7．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝________．

－　[(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，∵<α<，∴cos α<sin α，

∴cos α－sin α＝－.]

8．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________．

3或－　[因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，

联立解得或

故tan α＝＝－或3.]

三、解答题

9．已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

[解]　∵cos α＝－<0，∴α是第二或第三象限角．

(1)若α是第二象限角，则sin α＝＝＝，

tanα＝＝＝－.

(2)若α是第三象限角，则sin α＝－＝－＝－，

tanα＝＝＝.

10．已知sin θ＋cos θ＝－. 求：

(1)＋的值；(2)tan θ的值．

[解]　(1)因为sin θ＋cos θ＝－，

所以1＋2sin θcos θ＝，sin θcos θ＝－.

所以＋＝＝.

(2)由(1)得＝＝－，所以＝－，

即3tan2θ＋10tanθ＋3＝0，所以tan θ＝－3或tan θ＝－.

11．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α等于(　　)

A．     B．

C．     D．

B　[由4x2＋x－3＝0得x＝－1或x＝.

又∵α是锐角，∴tan α>0，sin α>0，∴tan α＝.

又∵tan α＝＝，且sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋＝1，解得sin α＝.]

12．函数y＝－sin2x－3cosx的最小值是(　　)

A．－  B．－2

C． D．－

A　[y＝－(1－cos2x)－3cosx＝cos2x－3cosx＋＝－2，

当cos x＝1时，ymin＝－2＝－.]

13．已知tan α＝－，则＝________．

－　[原式＝＝＝＝＝－.]

14．已知sin x＝，cos x＝，且x∈，则tan x＝________．

－　[由sin2x＋cos2x＝1，即＋＝1.得m＝0或m＝8.又x∈，∴sinx＜0，cos x＞0，∴当m＝0时，sin x＝－，cos x＝，此时

tan x＝－；当m＝8时，sin x＝，cos x＝－(舍去)，

综上知：tan x＝－.]

15．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.

(1)求sin A cos A的值；

(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；

(3)求sin A－cos A的值．

[解]　(1)∵sin A＋cos A＝，两边平方得

1＋2sin A cos A＝，∴sin A cos A＝－.

(2)由(1)sin A cos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．

(3)(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝.

由(2)知sin A－cos A＞0，∴sin A－cos A＝.