2020-2021学年1.2排列与组合课后作业题

这是一份2020-2021学年1.2排列与组合课后作业题，共5页。

基础巩固
1.C30+C41+C52+C63+…+C2017的值为( )

A.C213B.C203C.C204D.C214
解析C30+C41+C52+C63+…+C2017=C40+C41+C52+C63+…+C2017=C51+C52+C63+…+C2017=C62+C63+…+C2017=C2016+C2017=C2117=C214.
答案D
2.5本不同的书全部分给4名学生,每名学生至少一本,不同的分法种数为( )
A.480种B.240种
C.120种D.96种
解析首先把5本书转化成“4本书”,然后分给4个人.
第1步,从5本书中任意取出2本捆绑成“一本书”,共有C52种不同的方法;
第2步,再把“4本书”分给4名学生,有A44种不同的分法.
由分步乘法计数原理知,共有C52A44=240(种)不同的分法.
答案B
3.从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是( )
A.9B.10C.18D.20
解析由于lga-lgb=lgab(a>0,b>0),从1,3,5,7,9中任取两个作为ab有A52种,又13与39相同,31与93相同,所以lga-lgb的不同值的个数有A52-2=20-2=18(个),故选C.
答案C
4.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车,但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.152B.126C.90D.54
解析按从事司机工作的人数进行分类.
有1人从事司机工作,不同的安排方案有C31C42A33(或C31C31C42A22)=108(种);
有2人从事司机工作,不同的安排方案有C32·A33=18(种).
所以不同安排方案的种数是108+18=126.
答案B
5.有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( )
A.34种B.48种
C.96种D.144种
解析特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置,有C21种选法,乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有C21·A44·A22=96(种)排法,故选C.
答案C
6.某校开设9门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定每位同学选修4门,共有 种不同的选修方案.(用数字作答)
解析分两类.
第1类,从A,B,C中选1门,从另6门中选3门,共有C31·C63种选法.
第2类,从6门中选4门有C64种选法.
故共有C31·C63+C64=75(种)不同的选修方案.
答案75
7.绍兴臭豆腐闻名全国,一外地游客来绍兴旅游,买了两串臭豆腐,每串3颗(如图).规定:每串臭豆腐只能自左向右一颗一颗地吃,且两串可以自由交替吃.请问:该游客将这两串臭豆腐吃完,有 种不同的吃法.(用数字作答)
解析总共要吃6口,选3口给第一串的3颗臭豆腐,顺序不变,剩下的3口给第二串,顺序不变,因此不同吃法共有C63C33=20(种).
答案20
8.若把英语单词“gd”的字母顺序写错了,则可能出现的错误种数共有 种.
解析把g,,,d4个字母排一行,可分两步进行,第一步:排g和d,共有A42种排法;第二步:排两个,共1种排法,所以总的排法种数为A42=12种.其中正确的有一种,所以错误的共A42-1=12-1=11(种).
答案11
9.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为 (用数字作答).
解析先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人每人一张,一人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有C43=4(种)情况,再对应到4个人,有A44=24(种)情况,则共有4×24=96(种)情况.
答案96
10.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种.
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种?
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种?
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种?
解(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C201C152=2100(种)不同的取法.
所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种.
(2)选取2件假货有C201C152种,选取3件假货有C153种,共有C201C152+C153=2555(种)不同的取法.
(3)任意选取3件的种数为C353,因此符合题意的选取方式有C353-C153=6090(种).
所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种.
11.有5个男生和3个女生,从中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数:
(1)有女生但人数必须少于男生;
(2)某女生一定担任语文科代表;
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表;
(4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.
解(1)先选后排,可以是2女3男,也可以是1女4男,先选有C53C32+C54C31种情况,后排有A55种情况,则符合条件的选法数为(C53C32+C54C31)·A55=5400.
(2)除去该女生后,先选后排,则符合条件的选法数为C74·A44=840.
(3)先选后排,但先安排该男生,则符合条件的选法数为C74·C41·A44=3360.
(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有C63种情况,再安排该男生有C31种情况,选出的3人全排有A33种情况,则符合条件的选法数为C63·C31·A33=360.
能力提升
1.将标号分别为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中将标号为1,2的卡片放入同一信封中,则不同的放法共有( )
A.12种B.18种
C.36种D.54种
解析先将1,2捆绑后放入信封中,有C31种方法,再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中,有C42C22种方法,所以共有C31C42C22=18(种)方法.
答案B
2.如果把个位数是1,且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”,那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有( )
A.9个B.3个C.12个D.6个
解析当重复数字是1时,有C31·C31个“好数”;当重复数字不是1时,有C31个“好数”.由分类加法计数原理,得“好数”有C31·C31+C31=12(个).
答案C
3.从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则不同选法的种数为( )
A.9B.14C.12D.15
解析法一:直接法:分两类,第一类张、王两人都不参加,有C44=1(种)选法;第二类张、王两人只有1人参加,有C21C43=8(种)选法.故共有C44+C21×C43=9(种)选法.
法二:间接法:C64-C42=9(种).
答案A
4.“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点.小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度.若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点,则“住房”作为其中的一个调查热点,但不作为第一个调查热点的种数为( )
A.13B.24C.18D.72
解析可分三步:第一步,先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个,有C43种不同的选法;第二步,在调查时,“住房”安排的顺序有A31种可能情况;第三步,其余3个热点调查的顺序有A33种排法.根据分步乘法计数原理可得,不同调查顺序的种数为C43A31A33=72.
答案D
5.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )
A.18种B.24种C.36种D.72种
解析1个路口3人,其余路口各1人的分配方法有C31A33种.1个路口1人,2个路口各2人的分配方法有C32A33种,由分类加法计数原理知,甲、乙在同一路口的分配方案为C31A33+C32A33=36(种).
答案C
6.已知Cn4,Cn5,Cn6(n>7)成等差数列,则Cn12= .
解析由题意可知2Cn5=Cn4+Cn6,
∴2×n!(n-5)!×5!=n!(n-4)!×4!+n!(n-6)!×6!,
∴25(n-5)=1(n-4)(n-5)+16×5,
得n2-21n+98=0,
解得n=14或n=7(舍去),
∴Cn12=C1412=C142=14×132=7×13=91.
答案91
7.现有6张风景区门票分配给6位游客,若其中A,B风景区门票各2张,C,D风景区门票各1张,则不同的分配方案共有 种.(用数字作答)
解析从6位游客中选2人去A风景区,有C62种方法,从余下4位游客中选2人去B风景区,有C42种方法,余下2人去C,D风景区,有A22种方法,所以分配方案共有C62C42A22=180(种).
答案180
8.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:
由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.(结果用数值表示)
解析当n=6时,没有黑色正方形,有1种方案;有1个黑色正方形,有6种方案;有两个黑色正方形,采用插空法,即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空当内,有C52=10种方案;有三个黑色正方形时,同上方法有C43=4种方案.由题意可知不可能有4个,5个,6个黑色正方形,综上可知共有21种方案.
将6个正方形空格涂有黑白两种颜色,每个空格都有两种方案,由分步乘法计数原理知一共有26种方案,故至少有两个黑色正方形相邻的方案有26-21=43(种).
答案21 43
9.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求各有多少种情况出现下列结果:
(1)4只鞋子没有成双的;
(2)4只鞋子恰有两双;
(3)4只鞋子有2只成双,另2只不成双.
解(1)从10双鞋子中选取4双,有C104种不同选法,每双鞋子中各取一只,分别有2种取法,根据分步乘法计数原理,选取种数为N=C104×24=3360(种).
(2)从10双鞋子中选2双有C102种取法,即有45种不同取法.
(3)先选取一双有C101种选法,再从9双鞋中选取2双有C92种选法,每双鞋只取一只各有2种取法,根据分步乘法计数原理,不同取法为N=C101C92×22=1440(种).
10.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种不同的参赛方法?
解把所选取的运动员的情况分为三类.
第1类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44=24(种);
第2类,甲、乙两人有且只有1人参赛,不同的参赛方法有C21C43(A44-A33)=144(种);
第3类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A44-2A33+A22)=84(种).
由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252(种).
11.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(1)现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?
解(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,
即C102=45(种).
即共有45种不同的选法.
(2)可把问题分两类情况:
第1类,选出的2名是男教师:有C62种方法;
第2类,选出的2名是女教师:有C42种方法.根据分类加法计数原理,共有C62+C42=15+6=21(种)不同选法.
(3)从6名男教师中选2名的选法有C62种,从4名女教师中选2名的选法有C42种,根据分步乘法计数原理,共有选法C62×C42=90(种).
12.(选做题)有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球,把小球全部放入盒子.
(1)共有多少种放法?
(2)恰有一个空盒,有多少种放法?
(3)恰有2个盒子内不放球,有多少种放法?
解(1)∵1号球可放入任意一个盒子内,有4种放法.同理,2,3,4号小球也各有4种放法,∴共有44=256(种)放法.
(2)恰有一个空盒,则这4个盒子中只有3个盒子内有小球,且小球数只能是1,1,2.
先从4个小球中任选2个放在一起,有C42种方法,然后与其余2个小球看成三组,分别放入4个盒子中的3个盒子中,有A43种放法.
∴由分步乘法计数原理知共有C42A43=144(种)不同的放法.
(3)恰有2个盒子内不放球,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法:
①一个盒子内放1个球,另一个盒子内放3个球.
先把小球分为两组,一组1个,另一组3个,有C41种分法,
再放到2个盒子内,有A42种放法,共有C41A42种放法;
②把4个小球平均分成2组,每组2个,有C422种分法,放入2个盒子内,有A42种放法,共有12C42A42种放法.
∴由分类加法计数原理知共有C41A42+12C42A42=84(种)不同的放法.