初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案

这是一份初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质教案，共6页。


项目
设计内容
说明
课题
12.3角的平分线的性质（第一课时）
教科书第48——49页相关内容
教学目标
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
2、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质.
3、会用尺规作已知角的平分线.
4、能对角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题.
重点
领会角的平分线的性质定理．
难点
证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质定理及角的平分线的性质定理的实际应用．
使用多媒体
多媒体课件
教学过程
教师活动
学生活动
说明或
设计意图
复
习
旧
知
，
导
入
新
课
1．什么是角的平分线？
学生回答时用课件演示.
2．什么又叫“点到直线距离”呢？
教师画图说明.如右图（１）
3．前面我们一学习了用尺规作图画出一个角的平分线，你还记得吗？
师示范作图.
画法：（１）以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ．
（２）分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于点Ｃ．
（３）作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
想一想：为什么OC是角平分线呢？
这节课我们就来探究这个问题.
出示课题并板书课题.
1.思考问题，举手回答问题.
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2.从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离.
3.回顾作图方法并自己作图.
A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
图（１）
问
题
激
趣
，
合
作
探
究
1．为什么OC是角平分线呢？
师出示图（２）及提示：
已知：OM=ON，MC=NC．
求证：OC平分∠AOB．
A
Ｍ
Ｎ
Ｂ
Ｃ
图（２）
２．拿出纸，与学生一起折纸，探究角的平分线的性质．（图见课件）提问：
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
引导：可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线是OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等吗？
3．怎么证明我们的猜想呢？
教给学生分析方法：先明确命题的已知和求证;再根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
P
A
O
B
C
E
D
1
2
图（３）
４．小结证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题的已知和求证;
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
５．这个结论就是角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（１）定理应用应具备哪些条件？
（２）定理有什么作用？
（３）怎样用数学语言表达定理？
师板书：如上图（３）
∵OP 是∠AOB 的平分线,
PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
1．前后桌同学讨论．并试着给出证明．
证明：连接CM、CN
在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
２．和老师一起折纸，思考问题，通过折纸操作得出结论：
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
即PD＝PE
３．按老师的方法写出证明过程．
已知：如左图（３），OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．
求证： PD=PE
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）,
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）．
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知），
∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义）．
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等．）
4.齐读并结合上面的做法记住这个步骤．
５．（１）定理应用应具备的条件：①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离.
（２）定理的作用：证明线段相等。
（３）抄写数学语言．
例
题
讲
解
，
巩
固
提
升
１．判断：
⑴∵ 如右图（4），AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。) ( )
⑵∵ 如右图（5）， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ) ( )
⑶∵ AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ BD = CD ，(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ) ( )
图（７）
２．如上图（７），DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF，∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。
3 如右图（８），在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的 ，AE+DE= 。
４．例1、如下图（９）在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
A
B
E
C
D
图（９）
分析：要证AC=BD，它们分别在哪两个三角形中？要证哪些三角形全等？怎么证？它们已具备哪些条件？
５．课本P51第2题： 如上图（１０），在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
巡视，指导有困难的同学．集体讲评．
1.先独立思考，个别回答．
图（4）
图（5）
图（6）
２．独立思考，抢答．
３．独立思考，抢答．
图（８）
４．学生先观察，再理清思路，尝试写出证明过程．（过程略）
A
C
D
E
B
F
图（１０）
５．看课本P51第2题的图自己解题．
课 堂 小 结
1．这节课你有什么收获和体会？
2．这节课我们学习了哪些知识要点？
３．怎样用数学语言表达角的平分线的性质定理？
４．你还有哪些困惑？
知识要点：
(1) “作已知角的平分线”的尺规作图法；
(2) 角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
.几何语言：∵ OC是∠AOB的平分线, 又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE (角的平分线上的点
到角的两边距离相等).
布
置作业
1.课本P50练习第1题.
2.教科书习题12.3第4、5题．
3.选用作业设计.
板
书
设
计
12.3角的平分线的性质（第一课时）
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（如下图）
∵OP 是∠AOB 的平分线,
PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
P
A
O
B
C
E
D
1
2
∴PD=PE（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
例１； 练习：

作
业
设
计
１．在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90 °，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
2．如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
A
B
C
D
E

第１题图 第２题图
3.已知(如下图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上.
E
D
C
B
A
第３题图 第４题图
4．在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，
DE＝3．求BD的长。
教
学
反
思