人教B版 (2019)必修 第一册1.2.1 命题与量词集体备课ppt课件

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1.理解命题的概念,并会判断命题的真假.(数学抽象)2.理解全称量词、存在量词的含义.(数学抽象)3.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断.(逻辑推理)
【激趣诱思】现在社会中,广告无处不在,广告商都谙熟这样的命题变换艺术:如宣传某种食品的广告词为:“拥有的人们都幸福,幸福的人们都拥有”.初听起来这似乎只是几句普通的赞美词,然后这句话的等价命题就是“不拥有的人们不幸福”.哪个家庭不希望幸福啊?掏钱买一盒就是了.广告商正是利用了等价命题的道理使顾客产生了购物的心理效应,从而达到其经营的目的.
知识点一、命题的概念与分类(1)命题的概念:可供真假判断的陈述语句叫做命题.(2)分类
名师点析 对命题的理解①有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现,但目前不能确定这些语句的真假,随着时间的推移,总能确定它们的真假,这一类语句仍然是命题;②命题的真假是确定的,一个命题要么为真,要么为假,不能无法判断;③数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题;④数学中要判定一个命题为真命题,需要经过严格的数学证明;要判定一个命题为假命题,只需要举出一个反例即可.
(3)命题的形式在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,通常我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件,q称为命题的结论.名师点析 对命题形式的理解①“若p,则q”只是命题的一种形式,另外,“如果p,那么q”“只要p,就有q”也是常见的命题形式.②将含有大前提的命题改写为“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变,改写后仍作为大前提,不要写在条件p中.③改写前后命题的真假不发生变化.④还有一些命题不能写成“若p,则q”的形式,如“某些三角形没有外接圆”.
微思考 在初中,我们已经学习了命题的定义,它的内容是什么?提示 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题.
微练习(1)(多选题)(2020广东揭阳三中高一期中)下列四个命题中是真命题的是(　　)A.一切实数均有相反数B.∃x∈N,使得方程ax+1=0无实数根C.梯形的对角线相等D.有些三角形不是等腰三角形答案 ABD解析 对于A,一切实数均有相反数,正确;对于B,当x=0时,方程ax+1=0无实数根,正确;对于C,只有等腰梯形的对角线相等,错误;对于D,有些三角形不是等腰三角形,正确.故选ABD.
(2)下列命题中,真命题共有(　　)①面积相等的三角形是全等三角形　②若xy=0,则|x|+|y|=0　③若a>b,则a+c>b+c　④矩形的对角线互相垂直A.1个　　　　　B.2个C.3个D.4个答案 A解析 ①②④是假命题,③是真命题.
知识点二、全称量词与全称量词命题(1)概念一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.(2)表示全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为∀x∈M,r(x).
名师点析 对全称量词与全称量词命题的理解①从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.②常见的全称量词还有“一切”“任给”等.③一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”.④全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
(3)全称量词命题的真假判定要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立,但要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得r(x0)不成立即可.
微思考 观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m≤8;Q:对所有的m∈R,m≤8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示 语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
微练习下列命题中全称量词命题的个数是(　　)①任意一个自然数都是正整数　②有的矩形是正方形　③三角形的内角和是180°A.0　　B.1　　C.2　　D.3答案 C解析 ①③是全称量词命题.
知识点三、存在量词与存在量词命题(1)概念“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,称为存在量词命题.(2)表示存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为“∃x∈M,s(x)”.
名师点析 对存在量词与存在量词命题的理解①从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.②常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等.③含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.④一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.⑤含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.(3)存在量词命题真假判定要判定一个存在量词命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可,否则这一存在量词命题就是假命题.
微思考 观察下面的两个语句,思考下列问题:P:m>8;Q:存在一个m0∈Z,m0>8.上面的两个语句是命题吗?二者之间有什么关系?提示 语句P无法判断真假,不是命题;语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.
微练习下列命题中,是真命题的是(　　)A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,x2+2x>0C.∃x∈R, <0D.∃x∈R,x(x-1)=6答案 D解析 ∀x∈R,x2≥0,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;因为 ≥0,故排除C;取x=-2,则x(x-1)=6,故D正确.
例1判断下列语句是否是命题,若是,判断其真假,并说明理由.(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗?(2)求证 是无理数.(3)并非所有的人都喜欢苹果.(4)大角所对的边大于小角所对的边.(5)x∈R,x2+4x+4≥0.分析根据命题的定义进行判断.
解 (1)疑问句,没有对“垂直于同一条直线的两条直线平行”作出判断,不是命题.(2)祈使句,不是命题.(3)真命题,人群中有的人喜欢苹果,也存在着不喜欢苹果的人.(4)假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中.(5)真命题,x2+4x+4=(x+2)2≥0,对于x∈R,可以判断真假,它是命题,且是真命题.要点笔记 判断一个语句是不是命题的关键点(1)“是陈述句”;(2)“可以判断真假”.这两个条件缺一不可.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句均不是命题.
变式训练 1下列语句是否为命题?如果是,判断其真假.(1)函数f(x)=ax2+bx+c是二次函数吗?(2)偶数的平方仍是偶数.解 (1)该语句是疑问句,不能判断其真假,故不是命题;(2)所有的偶数的平方都是偶数,无一例外,故该语句是命题且为真命题.
例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)梯形的对角线相等.(2)存在一个四边形有外接圆.(3)二次方程都存在实数根.分析首先确定量词,然后判断命题的类型.解 (1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称量词命题.(2)命题为存在量词命题.(3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故为全称量词命题.
反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
变式训练 2判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°.(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|.(3)对任意a,b∈R,若a>b,则解 (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.
例3判断下列命题的真假.(1)∀x∈R,x2+1> .(2)∃α,β∈R,(α-β)2=(α+β)2.(3)存在一个数既是偶数又是负数.(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示.(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.
(2)真命题,例如α=0,β=1,符合题意.(3)真命题,如数-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式Δ=-31<0,故无实数解.
反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x0,使命题p(x0)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对给定集合中的每一个元素x,使命题p(x)为假.
变式训练 3指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.(3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20.(4)任何数的0次方都等于1.
解 (1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以该命题是真命题.(2)存在量词命题.存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题.(3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3×0-4×(-5)=20成立,所以该命题是真命题.(4)全称量词命题,0的0次方无意义,所以该命题是假命题.
例4(1)已知命题p:∃x∈ ,2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.(2)存在x∈R,使x2+x+a=0成立,求实数a的取值范围.(3)已知集合A={x|x>2},B={x|x>a},若∀a∈A,都有a∈B成立,求实数a的取值范围.分析把存在与恒成立问题转化为不等式端点值的大小关系.
反思感悟 求解含有量词命题中参数范围的策略已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.
分类讨论思想的应用典例 命题p:关于x的一元二次方程x2-4x+4m=0有两个不相等的根,且一正一负;命题q:关于x的一元二次方程x2-4mx+m=0有两个正根.若命题p和命题q只有一个为真,你能求出m的取值范围吗?
方法点睛 本题考查真假命题的判断,一元二次方程根与系数的关系,同时考查了分类讨论思想的应用.求解时灵活运用韦达定理是解题的关键.
1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是(　　)A.中国公民都有受教育的权利B.每一个中学生都要接受爱国主义教育C.有人既能写小说,也能搞发明创造D.任何一个数除0,都等于0答案 ABD
2.下列命题中,既是真命题又是存在量词命题的是(　　)A.存在一个α∈R,使α2=αB.存在实数x,使|x|=-1C.对一切α∈R,α=|α|答案 A解析 C,D是全称量词命题,B是假命题.
3.命题“有些负数x满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为　　　　　　　　. 答案 ∃x<0,(1+x)(1-9x)>0解析 由题意可知该命题是存在量词命题,所以应用“∃”,表述为∃x<0,(1+x)(1-9x)>0.
4.指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)每个二次函数的图像都与x轴相交.(2)∃x∈R, <0.(3)存在实数x, =-x.解 (1)全称量词命题,如函数y=x2+1的图像与x轴不相交,所以该命题为假命题.(2)存在量词命题,非负数有算术平方根,且仍为非负数,所以该命题为假命题.(3)存在量词命题,当x≤0时, =-x,所以该命题为真命题.