2021学年第一章 计数原理综合与测试练习

第一章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若=18,则m等于(　　)

A.9 B.8 C.7 D.6

解析由=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·,得m-3=3,m=6.

答案D

2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为(　　)

A.10 B.11 C.12 D.15

解析分类讨论:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=+1=11.

答案B

3.若实数a=2-,则a10-2a9+22a8-…+210等于 (　　)

A.32 B.-32 C.1 024 D.512

解析由二项式定理,得a10-2a9+22a8-…+210=(-2)0a10+(-2)1a9+(-2)2a8+…+(-2)10=(a-2)10=(-)10=25=32.

答案A

4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有(　　)

A.种 B.种

C.种 D.种

解析先将4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有种.

答案C

5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是(　　)

A.18 B.16 C.14 D.10

解析第一象限的不同点有N1=2×2+2×2=8(个),

第二象限的不同点有N2=1×2+2×2=6(个),

故N=N1+N2=14(个).

故答案为C.

答案C

6.将A,B,C,D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B不能放入同一个盒子中,则不同的放法有(　　)

A.15种 B.18种 C.30种 D.36种

解析先把A,B放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,

若C,D在同一盒中,有1种放法;

若C,D在不同盒中,则有2×2=4(种)放法.

故共有6×(1+4)=30(种)放法.故答案为C.

答案C

7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E五个受灾地点.由于A地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B在上午、C在下午与B在下午、C在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为(　　)

A.72 B.18 C.36 D.24

解析可分三步完成.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有·()·=24(种).

答案D

8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i个数为ai(i=1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法种数为(　　)

A.30 B.18 C.36 D.48

解析因为a1,a3,a5的大小顺序已定,且a1≠1,a3≠3,a5≠5,所以a1可取2,3,4,若a1=2或3,则a3可取4,5,当a3=4时,a5=6,当a3=5时,a5=6;若a1=4,则a3=5,a5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(2×2+1)=30(种).

答案A

9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是(　　)

A.6 B.720

C.30 D.20

解析先从后排中抽出2人有种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30种调整方法.

答案C

10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么的值为(　　)

A.- B.-

C.- D.-1

解析令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.

又由条件可知a5=-1,故=-.

答案B

11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为(　　)

A.20 B.18 

C.16 D.11

解析由题意可知,十位和千位数字只能是4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有=4(个).综上,共有16个.故答案为C.

答案C

12.若自然数n使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为(　　)

A.27 B.36 

C.39 D.48

解析根据题意,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.

当“可连数”为一位数时,有=3(个);

当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有=9(个);

当“可连数”为三位数时,有=36(个);

故共有3+9+36=48(个).

答案D

二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是　　　　　.(用数字作答) 

解析可分类讨论.第1类,每级台阶只站一人,则有种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有种站法,因此共有不同的站法种数是=336.

答案336

14.若的展开式中x4的系数为7,则实数a=　　　　　. 

解析∵的通项为x8-rar()r

=arx8-rar,

令8-r=4,解得r=3.

∴a3=7,得a=.

答案

15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　　　　　种.(用数字作答) 

解析6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有种方法,所以共有=480(种).

答案480

16.(1+sin x)6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为,则x在[0,2π]内的值为　　　. 

解析由题意,得T4=sin3x=20sin3x=,

∴sinx=.∵x∈[0,2π],

∴x=或x=.

答案

三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?

解分三类.

(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为=24;

(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为=36;

(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为=12.

综上,不同的排法种数为24+36+12=72.

18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.

(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?

(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?

解(1)将取出的4个球分成三类:

①取4个红球,没有白球,有种;

②取3个红球1个白球,有种;

③取2个红球2个白球,有种,

故有=115(种).

(2)设取x个红球,y个白球,

则

故

因此,符合题意的取法种数有=186(种).

19.(12分)已知展开式中的前三项的系数成等差数列.

(1)求n的值;

(2)求展开式中系数最大的项.

解(1)由题意,得=2×,

即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8.

(2)设第r+1项的系数最大,则

即解得2≤r≤3.

∵r∈N*,∴r=2或r=3.

∴系数最大的项为T3=7x5,T4=7.

20.(12分)设1+xm=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+amxm,若a0,a1,a2成等差数列.

(1)求1+xm展开式的中间项;

(2)求1+xm展开式中所有含x的奇次幂的系数和.

解(1)依题意a0=1,a1=,a2=2.

由2a1=a0+a2,

求得m=8或m=1(应舍去),

所以1+xm展开式的中间项是第五项,

T5=x4=x4.

(2)因为1+xm=a0+a1x+a2x2+…+amxm,

即1+x8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.

令x=1,则a0+a1+a2+a3+…+a8=8,

令x=-1,则a0-a1+a2-a3+…+a8=8,

所以a1+a3+a5+a7=,

所以展开式中所有含x的奇次幂的系数和为.

21.(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.

(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数;

(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.

解(1)1,2,3,4的再生数的个数为=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.

(2)需要考查5个数中相同数的个数.

若5个数各不相同,有=120(个);

若有2个数相同,则有=60(个);

若有3个数相同,则有=20(个);

若有4个数相同,则有=5(个);

若5个数全相同,则有1个.

22.(12分)已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.

(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;

(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值;(精确到0.01)

(3)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求.

解(1)根据题意得=7,即m+n=7,①

f(x)中的x2的系数为

.

将①变形为n=7-m代入上式得x2的系数为

m2-7m+21=m-2+,

故当m=3或m=4时,x2的系数的最小值为9.

当m=3,n=4时,x3的系数为=5;

当m=4,n=3时,x3的系数为=5.

(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3

≈×0.003+×0.003≈2.02.

(3)由题意可得a==70,再根据

求得k=5或6,此时,b=7×28,∴.