数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算图片课件ppt

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1.理解两个集合的交集与并集的概念.(数学抽象)2.会求两个集合的交集与并集.并能利用交集与并集的性质解决相关问题.(数学运算)3.能使用维恩图或数轴表示集合之间的运算,体会数形结合思想对理解抽象概念的作用.(直观想象)
【激趣诱思】某单位食堂第一天买菜的品种构成的集合记为A={黄瓜,冬瓜,鲫鱼,虾,茄子};第二天买菜的品种构成的集合记为B={黄瓜,猪肉,毛豆,芹菜,虾,土豆}.问:1.两天所买过的相同菜的品种构成的集合记为C,则集合C等于什么?2.两天买过的所有菜的品种构成的集合记为D,则集合D等于什么?
微思考 两个非空集合的交集可能是空集吗?提示 两个非空集合的交集可能是空集,即A与B无公共元素时,A与B的交集仍然存在,只不过这时A∩B=⌀.反之,若A∩B=⌀,则A,B这两个集合可能至少有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=⌀.
名师点析 1.对交集概念的理解(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}.(2)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=⌀.(3)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立.2.求两集合交集的注意点(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合元素的性质特征尽量明显化,然后根据交集的含义写出结果.(2)在求与不等式有关的集合的交集运算时,数轴分析法直观清晰,因此,应重点考虑.
微练习(2021重庆北碚西南大学附中高一期末)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=　　　　. 答案 {0,1}解析 由题得A={x||x|<2}={x|-2名师点析 对并集的理解(1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示.
(3)对概念中的“所有”的理解,不能认为A∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合,即简单拼凑,还要注意满足集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,4},B={1,4,5,7},A∪B={1,2,4,5,7},而不能写成A∪B={1,2,4,1,4,5,7}.
微思考 (1)集合A∪B中的元素个数如何确定?提示 ①当两个集合无公共元素时,A∪B的元素个数为这两个集合元素个数之和;②当两个集合有公共元素时,根据集合元素的互异性,同时属于A和B的公共元素,在并集中只列举一次,所以A∪B的元素个数为两个集合元素个数之和减去公共元素的个数.
(2)A∩B与A∪B是什么关系?提示 集合A∪B={x|x∈A或x∈B}中x∈A或x∈B包含三层意思:“x∈A,且x∉B”,如图1所示的阴影部分;“x∈A,且x∈B”,如图2所示的阴影部分;“x∈B,且x∉A”,如图3所示的阴影部分.
又A∩B={x|x∈A,且x∈B},则有(A∩B)⊆(A∪B).当且仅当A=B时,A∩B=A∪B;当且仅当A≠B时,(A∩B)⫋(A∪B).
微练习设集合A={1,2},B={2,3},则A∪B等于(　　)A.{1,2,2,3}　　　B.{2}C.{1,2,3}D.⌀答案 C
知识点三、交集与并集的运算性质
微练习(1)若集合A={x|x>0},B={x|10}解析 ∵A⫌B,∴A∪B=A={x|x>0}.(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.①若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀.(　　)②A∩B=B⇔A⊆B.(　　)③A∪B=A⇔A⊆B.(　　)④A∪B=⌀,则A=B=⌀.(　　)答案 ①×　②×　③×　④√
例1设A={x|x2-7x+6=0},B={x|4反思感悟 集合求交集的解题策略求两个集合的交集时,首先要识别所给集合,其次要简化集合,即明确集合中的元素,使集合中的元素明朗化,最后再依据交集的定义写出结果.有时要借助于维恩图或数轴写出交集.
变式训练 1已知集合A={x|20,①B在A的左边,②B在A的右边,如图.B或B'位置均使A∩B=⌀成立.当3a=2或a=4时也符合题意,事实上,2∉A,4∉A,则A∩B=⌀成立.所以,要求3a≤2或a≥4,解得a∈ ∪[4,+∞).另一类是B=⌀,a≤0时,显然A∩B=⌀成立.综上所述,a的取值范围是 ∪[4,+∞).
例2设集合A={x|x+1>0},B={x|-20的解集,然后借助于数轴写出A∪B.解 A={x|x>-1},在数轴上分别表示集合A,B,如图所示,由数轴可知A∪B={x|x>-2}.
要点笔记 求两个集合的并集时,若用描述法给出的集合,要先明确集合中的元素是什么,有时直接观察可写出并集,有时则需借助图示写出并集;若用列举法给出集合,则依据并集的定义,可直接观察或借助于维恩图写出并集.
延伸探究本例条件不变,如何求A∩B?(用区间表示)解 A∩B=(-1,2).
例3设A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.分析先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.
解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1或a≤0}.
(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.
反思感悟 利用交、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,这时要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.
变式训练 2集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∩C=B,求实数a的取值范围.
解 (1)由题意得B={x|x≥2},又A={x|-1≤x<3},如图,所以A∩B={x|2≤x<3}.所以实数a的取值范围为(-4,+∞).
例4已知集合A={y|y= x2-2x-3,x∈R},B={y|y= -x2+2x+13,x∈R},求A∩B,A∪B.分析先利用配方法确定集合A与B,再利用数轴进行集合的交、并运算.解 ∵A={y|y=(x-1)2-4,x∈R},∴A={y|y≥-4}.∵B={y|y= -(x-1)2+14,x∈R},∴B={y|y ≤14}.将集合A,B分别表示在数轴上,如图所示,∴A∩B={y|-4≤y≤14},A∪B=R.
反思感悟 集合的交、并综合运算一般需要将所给集合进行求解,有方程问题、不等式问题、点集等,把集合明确后,根据集合的特点及集合的交集、并集运算的定义,选取合适的方法进行运算,如可结合数轴、维恩图或函数的图像等.
分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.
典例 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解 (1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.验证:a=-3时,B={2},a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.所以,a=-3或a=-1.
(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1)且1×2=a2-5.∴a=- 且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.
方法点睛 将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.
1.(2021新高考Ⅰ,1)设集合A={x|-22.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是　　　　. 答案 a≥2解析 由题意得A={x|x>a},B={x|x>2},因为A∪B=B,所以A⊆B.在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2.
3.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m=　　　　　. 答案 3解析 由于A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.
4.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=⌀时,求实数m的取值范围.解 (1)由题意得,M={2},当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},则M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)M={2}≠⌀,则2不是方程x2-3x+m=0的解,所以4-6+m≠0,即m≠2.所以实数m的取值范围为{m|m≠2}.