高中数学4.4 幂函数导学案

4.6　函数的应用(二)

4.7　数学建模活动：生长规律的描述

知识点　解应用题的步骤与常见函数模型

1．解决函数应用问题的基本步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原．

这些步骤用框图表示如图：

2．常见的函数模型

1．哪些实际问题可以用指数函数模型来表示？

[提示]　人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题．

2．哪些实际问题可以用对数函数模型来表示？

[提示]　地震震级的变化规律、溶液pH值的变化规律、航天问题等．

1．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b<a)，再前进c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是(　　)

A　　　　B　　　C　　　　D

C　[B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C．]

2.如图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是(　　)

A．y＝2t2　　　 B．y＝log2t

C．y＝t3 D．y＝2t

B　[因为由图像知模型增长越来越缓慢，所以只有B符合条件．]

类型1　指数函数模型

【例1】　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：

(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人？(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)

[思路探究]　本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得第x年的解析式．

[解]　(1)1年后该城市人口总数为：y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；

2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；

3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；

…

x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．

(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x＝log1.0121.2≈16.

即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．

在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值y，可以用公式y＝N1＋Px表示.

1．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

24　[由题意得解得所以当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3eb＝×192＝24.]

2．每次用同体积的水清洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗x次后存留的污垢在1%以下，则x的最小值是________．

3　[每次洗去污垢的，就是存留了污垢的，

故洗x次后，还有原来的(x∈N*)，

故有＜1%，

所以5x＞100，解得x的最小值为3.]

类型2　对数函数模型的应用

【例2】　(对接教材P43例4)声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．

(1)平时常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；

(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？

(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？

[解]　(1)当I＝10－6 W/m2时，代入得Y＝10lg

＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．

(2)当Y＝0时，即为10lg ＝0，所以＝1，

I＝10－12 W/m2，则能听到的最低声强为10－12 W/m2.

(3)当声强I＝5×10－7 W/m2时，

声强级Y＝10lg ＝10lg (5×105)

＝50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．

1．解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义．

2．对数函数模型的一般表达式为：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1)．

3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

[解]　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2，解得Q＝10，

即燕子静止时的耗氧量为10个单位．

(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：

v＝5log2＝5log28＝15(m/s)，

即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.

类型3　拟合函数模型的选择

1．在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？

[提示]　一次函数、指数函数、对数函数．

2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加的速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？

[提示]　前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．

【例3】　某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减．

(1)下列几个模拟函数中：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；

(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？

[思路探究]　(1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；

(2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．

[解]　(1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．

(2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2 L；人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5 L，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入到y＝ax2＋bx，

得解得a＝－，b＝，所以函数解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5,8])．

∵y＝－x2＋x＝－＋，∴当x＝时，年人均A饮料的销售量最多是 L.

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律

(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．

(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．

因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．

4．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？

[解]　根据题意可列方程组：

解得

所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.  ①

同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.  ②

再将x＝4分别代入①与②式得：

f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好．

1．某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x元)，于是该产品定价每件比第一年增加了元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是(　　)

A．2　　　　　　　　 B．6

C．8.5 D．10

D　[第二年年销售量为(11.8－x)万件，定价为每件70＋＝，第二年商场在该产品经营中收取的管理费(11.8－x)··x%≥14，解得2≤x≤10，则x的最大值是10.]

2．在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如下表：

则x，y最合适的函数是(　　)

A．y＝2x B．y＝x2－1

C．y＝2x－2 D．y＝log2x

D　[根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98代入计算，可排除B、C；将各数据代入y＝log2x，可知D满足题意．]

3．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是(　　)

A．－1 B．

C．－1 D．

A　[设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝，

故x＝－1．]

4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图像大致为(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图像大致为D中图像，故选D．]

5．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文密文密文明文

已知加密函数为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

4　[依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，

故6＝a3－2，解得a＝2，

所以加密函数为y＝2x－2，

因此当y＝14时，由14＝2x－2，

解得x＝4.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1．函数模型的应用实例主要包括哪三个方面？

[提示]　(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

2．在引入自变量建立函数解决函数应用题时，应注意哪两个问题？

[提示]　一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．