高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 建筑物高度的测量学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1 建筑物高度的测量学案设计，共7页。

前面我们学完了正弦、余弦定理，并对正弦、余弦定理的应用举例做了了解，两个定理的应用非常广泛，可以与三角函数、平面向量等知识综合命题，也可以在现实生活中利用与正弦、余弦定理相关的知识解决问题，那么如何建立解三角形的模型解决问题呢？
知识点1 数学建模的概念
把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模．
知识点2 正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线．
(1)当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？
[提示] 测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，
在Rt△ABD中，BD＝ eq \f(AB,tan ∠ADB)，
在Rt△ABC中，BC＝ eq \f(AB,tan ∠ACB)，
∴a＝CD＝BC－BD＝ eq \f(AB,tan ∠ACB)－ eq \f(AB,tan ∠ADB).
∴AB＝ eq \f(a,\f(1,tan ∠ACB)－\f(1,tan ∠ADB)).
(2)当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？
[提示] 测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在平面BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数．
在△BCD中，BC＝ eq \f(a,sin （∠BCD＋∠D）)×sin D.
∵AB⊥BC ，
∴∠BAC＝ eq \f(π,2)－∠ACB.
∴在△ABC中，AB＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)×sin ∠ACB＝ eq \f(BC,cs ∠ACB)×sin ∠ACB.
∴AB＝ eq \f(\f(a,sin （∠BCD＋∠D）)×sin D,cs ∠ACB)×sin ∠ACB＝ eq \f(a sin D tan ∠ACB,sin （∠BCD＋∠D）).
类型1 基线与建筑物在同一铅垂面内
【例1】 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.
[解] 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得 eq \f(AC,sin ∠ABC)＝ eq \f(BC,sin ∠BAC)，即 eq \f(AC,sin （90°－α）)＝ eq \f(BC,sin （α－β）)，
∴AC＝ eq \f(BC cs α,sin （α－β）)＝ eq \f(h cs α,sin （α－β）).
在Rt△ACD中，CD＝AC sin ∠CAD
＝AC sin β＝ eq \f(h cs αsin β,sin （α－β）).
所以，山的高度为 eq \f(h cs αsin β,sin （α－β）).
解三角应用题的一般步骤
(1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语；
(2)画出示意图，并在图形中标注出已知条件；
(3)若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，并作答．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度．(精确到1m. eq \r(2)≈1.4142，sin 35°≈0.5736).
[解] 过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，
由正弦定理得，AB＝ eq \f(AD sin ∠ADB,sin ∠ABD)＝1000 eq \r(2)(m).
在Rt△ABC中，BC＝AB sin 35°≈811(m).
所以，山的高度约为811m.
类型2 基线与建筑物不在同一铅垂面内
【例2】 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
[解] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由 eq \f(AB,sin 15°)＝ eq \f(AD,sin 45°)，得AD＝ eq \f(AB·sin 45°,sin 15°)＝ eq \f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800( eq \r(3)＋1)(m).
所以，山的高度为800( eq \r(3)＋1)m．
测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．它是将实际问题转化为数学问题的关键．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD.
[解] 依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，得BC＝ eq \f(AB,sin ∠ACB)·sin ∠CAB＝ eq \f(600,sin 45°)×sin 30°＝300 eq \r(2)，
∴CD＝BC tan ∠CBD＝300 eq \r(2)×tan 30°＝100 eq \r(6)(m).
所以，山的高为100 eq \r(6)m.
1．如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．
[解] 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．
由在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h.
那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC＝ eq \f(a sin β,sin （α－β）)，
AB＝AE＋h＝AC sin α＋h＝ eq \f(a sin αsin β,sin （α－β）)＋h.
所以，该建筑物高度AB为 eq \f(a sin αsin β,sin （α－β）)＋h.
2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，求电视塔的高度．
[解] 由题意画出示意图，
设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，
在Rt△ABD中，由已知BD＝ eq \r(3)h，在△BCD中，
由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cs ∠BCD，
即3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500.
所以，电视塔的高度为500m.
3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示).飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案：包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．
[解] 方案1：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示).
②第一步：计算AM，由正弦定理，得AM＝ eq \f(d sin α2,sin （α1＋α2）)；
第二步：计算AN，由正弦定理，得AN＝ eq \f(d sin β2,sin （β2－β1）)；
第三步：计算MN，由余弦定理得：MN＝ eq \r(AM2＋AN2－2AM·AN cs （α1－β1）).
方案2：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d(如图所示).
②第一步：计算BM，由正弦定理，得BM＝ eq \f(d sin α1,sin （α1＋α2）)；
第二步：计算BN，由正弦定理，得BN＝ eq \f(d sin β1,sin （β2－β1）)；
第三步：计算MN，由余弦定理得：MN＝ eq \r(BM2＋BN2＋2BM·BN cs （β2＋α2）).
4.某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．
[解] 在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°.
由正弦定理，得 eq \f(CD,sin ∠DBC)＝ eq \f(BD,sin ∠BCD)，
∴BD＝ eq \f(CD·sin ∠BCD,sin ∠DBC)＝ eq \f(40sin 30°,sin 135°)＝20 eq \r(2)(m).
在Rt△ABE中，tan ∠AEB＝ eq \f(AB,BE)，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小，
即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°.
在△BCD中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，
∴BE＝BD·sin ∠BDE＝20 eq \r(2)sin 15°＝10( eq \r(3)－1)(m).
在Rt△ABE中，AB＝BE tan ∠AEB＝10( eq \r(3)－1)·tan 30°＝ eq \f(10,3)(3－ eq \r(3))(m).
所以，塔的高度为 eq \f(10,3)(3－ eq \r(3))m．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解数学建模的意义．
2．了解数学建模的基本过程．(重点)
3．能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题．(难点、重点)
1．经历数学建模的过程，培养数学抽象与数据分析素养．
2．通过数学建模解决实际问题的过程，提升数学运算、逻辑推理与直观想象素养．