人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案，共7页。
若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，事件B是否发生对事件A发生的概率也没有影响，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．且A，B为两个事件独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
知识点二 独立性与条件概率的关系
设A，B为两个事件，A，B独立的充要条件是P(B|A)＝P(B), (P(A|B)＝P(A))即若事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等，即事件A发生，不会影响事件B发生的概率，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做____________．
知识点三 相互独立事件的概率的乘法公式
若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B), P(A|B)＝P(A)，
此时概率的乘法公式可简化为： P(AB)＝P(A)·P(B)．
知识点四 n个事件相互独立也可借助条件概率来理解
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受________________的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
知识点五 n个相互独立事件的概率公式
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于________________________，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
[基础自测]
1．下列说法不正确的有( )
A．对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立
B．若事件A，B相互独立，则P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))×P(eq \(B,\s\up6(－)))
C．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)
D．若事件A与B相互独立，则B与eq \(B,\s\up6(－))相互独立
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )
A．互斥事件 B．对立事件
C．相互独立事件 D．不相互独立事件
3．袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．非相互独立事件
4．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
题型一 相互独立事件的判断
例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
eq \x(状元随笔) (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义式判断．
方法归纳
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．跟踪训练1 (1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
题型二 相互独立事件发生的概率
例2 面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5)，eq \f(1,4)，eq \f(1,3).求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
eq \x(状元随笔)
eq \x(明确已知事件的概率及其关系)→eq \x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq \x(选择公式计算求值)
方法归纳
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
跟踪训练2 一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
题型三 事件的相互独立性与互斥性
eq \x(状元随笔) 1.甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件eq \x\t(A )∩B与A∩eq \x\t(B )呢？
[提示] 事件A与B，eq \x\t(A )与B，A与eq \x\t(B )均是相互独立事件，而eq \x\t(A )∩B与A∩eq \x\t(B )是互斥事件．
2．在1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝eq \x\t(A )∩B＋A∩eq \x\t(B ).
所以P(C)＝P(eq \x\t(A )∩B＋A∩eq \x\t(B ))＝P(eq \x\t(A )∩B)＋P(A∩eq \x\t(B ))
＝P(eq \x\t(A ))·P(B)＋P(A)·P(eq \x\t(B ))
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
3．由1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？
[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：
(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；
(2)求红队至少两名队员获胜的概率．
eq \x(状元随笔) 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．
方法归纳
1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法．
2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：
(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；
(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
跟踪训练3 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
4．1.3 独立性与条件概率的关系
新知初探·自主学习
知识点一
相互独立事件
知识点二
相互独立事件
知识点四
其他事件是否发生
知识点五
每个事件发生的概率的积
[基础自测]
1．解析：若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以A正确；若事件A，B相互独立，则eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))也相互独立，故B正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故C正确；④B与eq \(B,\s\up6(－))相互对立，不是相互独立，故D错误．
答案：D
2．解析：由已知，有P(A)＝1－eq \f(2,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝1－eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C.
答案：C
3．解析：根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知，A与B不是相互独立事件．
答案：D
4．解析：设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98.
答案：0.98
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq \f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq \f(5,7)，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,6).
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
跟踪训练1 解析：(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.
答案：(1)A (2)A
例2 【解析】 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝eq \f(1,5)，P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)×P(B)×P(C)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,60).
(2)他们都失败即事件eq \(A,\s\up6(－))，eq \(B,\s\up6(－))，eq \(C,\s\up6(－))同时发生，
故P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))∩eq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))×P(eq \(B,\s\up6(－)))×P(eq \(C,\s\up6(－)))
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))
＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,5).
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))∩eq \(B,\s\up6(－))∩eq \(C,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,5)＝eq \f(3,5).
跟踪训练2 解析：记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))×eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝eq \f(3,10)×eq \f(1,10)＝eq \f(3,100)
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是eq \f(3,100).
(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))·eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝eq \f(6,10)·eq \f(3,10)＝eq \f(9,50).
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是eq \f(9,50).
例3 【解析】 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则eq \(D,\s\up6(－))，eq \(E,\s\up6(－))，eq \(F,\s\up6(－))分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P(eq \(D,\s\up6(－)))＝0.4，P(eq \(E,\s\up6(－)))＝0.5，P(eq \(F,\s\up6(－)))＝0.5.
(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩eq \(E,\s\up6(－))∩ eq \(F,\s\up6(－))，eq \(D,\s\up6(－))∩E∩ eq \(F,\s\up6(－))，eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F，以上3个事件彼此互斥且独立．
∴红队有且只有一名队员获胜的概率
P1＝P[(D ∩eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))∪(eq \(D,\s\up6(－))∩E ∩eq \(F,\s\up6(－)))∪(eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F)]
＝P(D∩ eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩E∩eq \(F,\s\up6(－)))＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)方法一：红队至少两人获胜的事件有：D∩E ∩eq \(F,\s\up6(－))，D∩eq \(E,\s\up6(－))∩F，eq \(D,\s\up6(－))∩E∩F，D∩E∩F.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(D∩E∩ eq \(F,\s\up6(－)))＋P(D∩ eq \(E,\s\up6(－))∩F)＋P(eq \(D,\s\up6(－))∩E∩F)＋P(D∩E∩F)
＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
方法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩eq \(F,\s\up6(－))，且P(eq \(D,\s\up6(－))∩eq \(E,\s\up6(－))∩eq \(F,\s\up6(－)))＝0.4×0.5×0.5＝0.1.
∴红队至少两人获胜的概率为
P2＝1－P1－P(eq \(D,\s\up6(－))∩ eq \(E,\s\up6(－)) ∩eq \(F,\s\up6(－)))＝1－0.35－0.1＝0.55.
跟踪训练3 解析：(1)X＝2就是某局双方10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.最新课程标准
1.理解独立性与条件概率的关系．(难点)
2．理解概率的乘法公式．(易混点)
3．掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题．(重点)
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符号
相互独立事件A，B同时发生，记做：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记做：A∪B(或A ＋B)
计算公式
P(A∩B)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)