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    2021_2022学年新教材高中数学第四章概率与统计4.1.3独立性与条件概率的关系学案含解析新人教B版选择性必修第二册

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    人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案

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    这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率导学案,共7页。
    若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,事件B是否发生对事件A发生的概率也没有影响,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做____________.且A,B为两个事件独立的充要条件是P(AB)=P(A)·P(B).
    知识点二 独立性与条件概率的关系
    设A,B为两个事件,A,B独立的充要条件是P(B|A)=P(B), (P(A|B)=P(A))即若事件B发生的概率与已知事件A发生时事件B发生的概率相等,即事件A发生,不会影响事件B发生的概率,则称两个事件A,B相互独立,并把这两个事件叫做____________.
    知识点三 相互独立事件的概率的乘法公式
    若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A),
    此时概率的乘法公式可简化为: P(AB)=P(A)·P(B).
    知识点四 n个事件相互独立也可借助条件概率来理解
    对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任一个事件发生的概率不受________________的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
    知识点五 n个相互独立事件的概率公式
    如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件都发生的概率,等于________________________,即P(A1∩A2∩…∩An)=P(A1)×P(A2)×…×P(An),
    并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立.
    [基础自测]
    1.下列说法不正确的有( )
    A.对事件A和B,若P(B|A)=P(B),则事件A与B相互独立
    B.若事件A,B相互独立,则P(eq \(A,\s\up6(-))∩eq \(B,\s\up6(-)))=P(eq \(A,\s\up6(-)))×P(eq \(B,\s\up6(-)))
    C.如果事件A与事件B相互独立,则P(B|A)=P(B)
    D.若事件A与B相互独立,则B与eq \(B,\s\up6(-))相互独立
    2.抛掷3枚质地均匀的硬币,A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有一个反面向上},则A与B的关系是( )
    A.互斥事件 B.对立事件
    C.相互独立事件 D.不相互独立事件
    3.袋内有大小相同的3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,用B表示“第二次摸到白球”,则A与B是( )
    A.互斥事件 B.相互独立事件
    C.对立事件 D.非相互独立事件
    4.明天上午李明要参加“青年文明号”活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率为0.80,乙闹钟准时响的概率为0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.
    题型一 相互独立事件的判断
    例1 判断下列各对事件是否是相互独立事件.
    (1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
    (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”;
    (3)掷一颗骰子一次,“出现偶数点”与“出现3点或6点”.
    eq \x(状元随笔) (1)利用独立性概念的直观解释进行判断.(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否,事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断.(3)利用事件的独立性定义式判断.
    方法归纳
    判断事件是否相互独立的方法
    1.定义法:事件A,B相互独立⇔P(A∩B)=P(A)·P(B).
    2.由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
    3.条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.跟踪训练1 (1)下列事件中,A,B是相互独立事件的是( )
    A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
    B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
    C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
    D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
    (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B( )
    A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立
    C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥
    题型二 相互独立事件发生的概率
    例2 面对某种流感病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是eq \f(1,5),eq \f(1,4),eq \f(1,3).求:
    (1)他们都研制出疫苗的概率;
    (2)他们都失败的概率;
    (3)他们能够研制出疫苗的概率.
    eq \x(状元随笔)
    eq \x(明确已知事件的概率及其关系)→eq \x(把待求事件的概率表示成已知事件的概率)→eq \x(选择公式计算求值)
    方法归纳
    1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤
    (1)首先确定各事件之间是相互独立的;
    (2)确定这些事件可以同时发生;
    (3)求出每个事件的概率,再求积.
    2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.
    跟踪训练2 一个袋子中有3个白球,2个红球,每次从中任取2个球,取出后再放回,求:
    (1)第1次取出的2个球都是白球,第2次取出的2个球都是红球的概率;
    (2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球,第2次取出的2个球都是白球的概率.
    题型三 事件的相互独立性与互斥性
    eq \x(状元随笔) 1.甲、乙二人各进行一次射击比赛,记A=“甲击中目标”,B=“乙击中目标”,试问事件A与B是相互独立事件,还是互斥事件?事件eq \x\t(A )∩B与A∩eq \x\t(B )呢?
    [提示] 事件A与B,eq \x\t(A )与B,A与eq \x\t(B )均是相互独立事件,而eq \x\t(A )∩B与A∩eq \x\t(B )是互斥事件.
    2.在1中,若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6,如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率?
    [提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C,则C=eq \x\t(A )∩B+A∩eq \x\t(B ).
    所以P(C)=P(eq \x\t(A )∩B+A∩eq \x\t(B ))=P(eq \x\t(A )∩B)+P(A∩eq \x\t(B ))
    =P(eq \x\t(A ))·P(B)+P(A)·P(eq \x\t(B ))
    =(1-0.6)×0.6+0.6×(1-0.6)=0.48.
    3.由1、2,你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗?
    [提示] 相互独立事件与互斥事件的区别
    例3 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:
    (1)红队中有且只有一名队员获胜的概率;
    (2)求红队至少两名队员获胜的概率.
    eq \x(状元随笔) 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应概率公式求值.
    方法归纳
    1.本题(2)中用到直接法和间接法.当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法.
    2.求复杂事件的概率一般可分三步进行:
    (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们;
    (2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件;
    (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
    跟踪训练3 11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10:10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
    (1)求P(X=2);
    (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
    4.1.3 独立性与条件概率的关系
    新知初探·自主学习
    知识点一
    相互独立事件
    知识点二
    相互独立事件
    知识点四
    其他事件是否发生
    知识点五
    每个事件发生的概率的积
    [基础自测]
    1.解析:若P(B|A)=P(B),则P(A∩B)=P(A)·P(B),故A,B相互独立,所以A正确;若事件A,B相互独立,则eq \(A,\s\up6(-)),eq \(B,\s\up6(-))也相互独立,故B正确;若事件A,B相互独立,则A发生与否不影响B的发生,故C正确;④B与eq \(B,\s\up6(-))相互对立,不是相互独立,故D错误.
    答案:D
    2.解析:由已知,有P(A)=1-eq \f(2,8)=eq \f(3,4),P(B)=1-eq \f(4,8)=eq \f(1,2),P(AB)=eq \f(3,8),满足P(AB)=P(A)P(B),则事件A与事件B相互独立,故选C.
    答案:C
    3.解析:根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的概念可知,A与B不是相互独立事件.
    答案:D
    4.解析:设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A,
    则P(A)=1-(1-0.80)(1-0.90)
    =1-0.20×0.10=0.98.
    答案:0.98
    课堂探究·素养提升
    例1 【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,所以它们是相互独立事件.
    (2)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为eq \f(5,8),若这一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为eq \f(4,7);若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为eq \f(5,7),可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.
    (3)记A:出现偶数点,B:出现3点或6点,则A={2,4,6},B={3,6},AB={6},
    ∴P(A)=eq \f(3,6)=eq \f(1,2),P(B)=eq \f(2,6)=eq \f(1,3),P(AB)=eq \f(1,6).
    ∴P(AB)=P(A)·P(B),
    ∴事件A与B相互独立.
    跟踪训练1 解析:(1)把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A项是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,A,B应为互斥事件,不相互独立;D是条件概率,事件B受事件A的影响.故选A.
    (2)对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.
    答案:(1)A (2)A
    例2 【解析】 令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且P(A)=eq \f(1,5),P(B)=eq \f(1,4),P(C)=eq \f(1,3).
    (1)他们都研制出疫苗,即事件A,B,C同时发生,故
    P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)=eq \f(1,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)=eq \f(1,60).
    (2)他们都失败即事件eq \(A,\s\up6(-)),eq \(B,\s\up6(-)),eq \(C,\s\up6(-))同时发生,
    故P(eq \(A,\s\up6(-))∩eq \(B,\s\up6(-))∩eq \(C,\s\up6(-)))=P(eq \(A,\s\up6(-)))×P(eq \(B,\s\up6(-)))×P(eq \(C,\s\up6(-)))
    =(1-P(A))(1-P(B))(1-P(C))
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,5)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,3)))
    =eq \f(4,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)=eq \f(2,5).
    (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
    P=1-P(eq \(A,\s\up6(-))∩eq \(B,\s\up6(-))∩eq \(C,\s\up6(-)))=1-eq \f(2,5)=eq \f(3,5).
    跟踪训练2 解析:记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A,“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B,“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C,很明显,由于每次取出后再放回,A,B,C都是相互独立事件.
    (1)P(A∩B)=P(A)P(B)=eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))×eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))=eq \f(3,10)×eq \f(1,10)=eq \f(3,100)
    故第1次取出的2个球都是白球,第2次取出的2个球都是红球的概率是eq \f(3,100).
    (2)P(C∩A)=P(C)P(A)=eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,2),C\\al(2,5))·eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))=eq \f(6,10)·eq \f(3,10)=eq \f(9,50).
    故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球,第2次取出的2个球都是白球的概率是eq \f(9,50).
    例3 【解析】 设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,
    则eq \(D,\s\up6(-)),eq \(E,\s\up6(-)),eq \(F,\s\up6(-))分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.
    因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,
    由对立事件的概率公式知P(eq \(D,\s\up6(-)))=0.4,P(eq \(E,\s\up6(-)))=0.5,P(eq \(F,\s\up6(-)))=0.5.
    (1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D ∩eq \(E,\s\up6(-))∩ eq \(F,\s\up6(-)),eq \(D,\s\up6(-))∩E∩ eq \(F,\s\up6(-)),eq \(D,\s\up6(-))∩ eq \(E,\s\up6(-))∩F,以上3个事件彼此互斥且独立.
    ∴红队有且只有一名队员获胜的概率
    P1=P[(D ∩eq \(E,\s\up6(-)) ∩eq \(F,\s\up6(-)))∪(eq \(D,\s\up6(-))∩E ∩eq \(F,\s\up6(-)))∪(eq \(D,\s\up6(-))∩ eq \(E,\s\up6(-))∩F)]
    =P(D∩ eq \(E,\s\up6(-)) ∩eq \(F,\s\up6(-)))+P(eq \(D,\s\up6(-))∩E∩eq \(F,\s\up6(-)))+P(eq \(D,\s\up6(-))∩eq \(E,\s\up6(-))∩F)
    =0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.35.
    (2)方法一:红队至少两人获胜的事件有:D∩E ∩eq \(F,\s\up6(-)),D∩eq \(E,\s\up6(-))∩F,eq \(D,\s\up6(-))∩E∩F,D∩E∩F.
    由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,
    因此红队至少两人获胜的概率为
    P=P(D∩E∩ eq \(F,\s\up6(-)))+P(D∩ eq \(E,\s\up6(-))∩F)+P(eq \(D,\s\up6(-))∩E∩F)+P(D∩E∩F)
    =0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.
    方法二:“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件,而红队都不获胜为事件eq \(D,\s\up6(-))∩eq \(E,\s\up6(-))∩eq \(F,\s\up6(-)),且P(eq \(D,\s\up6(-))∩eq \(E,\s\up6(-))∩eq \(F,\s\up6(-)))=0.4×0.5×0.5=0.1.
    ∴红队至少两人获胜的概率为
    P2=1-P1-P(eq \(D,\s\up6(-))∩ eq \(E,\s\up6(-)) ∩eq \(F,\s\up6(-)))=1-0.35-0.1=0.55.
    跟踪训练3 解析:(1)X=2就是某局双方10:10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
    (2)X=4且甲获胜,就是某局双方10:10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.最新课程标准
    1.理解独立性与条件概率的关系.(难点)
    2.理解概率的乘法公式.(易混点)
    3.掌握综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解题.(重点)
    相互独立事件
    互斥事件
    条件
    事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
    不可能同时发生的两个事件
    符号
    相互独立事件A,B同时发生,记做:AB
    互斥事件A,B中有一个发生,记做:A∪B(或A +B)
    计算公式
    P(A∩B)=P(A)P(B)
    P(A∪B)=P(A)+P(B)

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