2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷十含解析

2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷十（含解析）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，则（    ）

A．                B．

C．            D．

【答案】B

【解析】由得，又，所以或2，，

又，所以．故选：B．

【点睛】本题考查了对数不等式的解法、补集以及交集运算，属于基础题.

2.在中，角，，所对的边分别为，，，则“”是“为锐角三角形”的（    ）条件

A．充分必要 B．充分不必要

C．必要不充分 D．既不充分也不必要

【答案】C

【解析】中，，，

即，，

因为，，所以为锐角．

当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角．

所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件．故选：C

【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断,需注意判断充分必要条件的常见三种方法：①定义法；②集合法；③转化法．属于基础题．

3.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】4支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共有种情况，甲、乙都在武汉共种情况，，故选:D

【点睛】本题考查了古典概型，涉及排列组合知识，属于基础题．

4.函数 的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】∵，

∴，

∴函数偶函数，其图像关于轴对称，故排除C、D；当时， ，故排除B，  故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了利用函数的性质以及特值法判别图像，属于基础题.

5.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（    ）

A．35  B．40

C．50  D．70

【答案】C

【解析】6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，

所以不同的分配方案为，故选:C．

【点睛】本题考查了排列组合，属于基础题.

6.设函数是定义在R上的奇函数，且，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】是奇函数，，即，

即，，，

.  故选：C.

【点睛】本题考查了利用函数的性质求函数值,属于基础题.

7.已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且．设函数，记，则数列的前项和为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】因为，

由，得，

又也满足上式，所以，

则为常数，所以数列为等差数列；所以，

．

则数列的前项和为，

记，则，

所以，因此．故选D．

【点睛】本题考查了先由数列的前项和确定数列是等差数列，得出为定值，然后结合诱导公式，推出为定值，最后利用倒序相加法求解,属于中档题.

8.已知实数，满足，则的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】，，，，

而，最小

令，，

在，

，，即

，

综上：.故选：D.

【点睛】本题考查了构造函数,利用导数研究函数的单调性,比较大小,属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.若复数，则（    ）

A．

B．z的实部与虚部之差为3

C．

D．z在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】AD

【解析】，

，z的实部为4，虚部为，则相差5，

z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确，故选：AD．

【点睛】本题考查了复数的运算以及复数的定义、模、几何意义,属于基础题．

10.如图，中，，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（    ）

A．在方向上的投影为0

B．

C．

D．若，则

【答案】ABC

【解析】因为在中，，在中，由余弦定理得

，所以满足，所以，又E为CD的中点，所以，

所以，，

对于A选项：在方向上的投影为，故A正确；

对于B选项：，故B正确；

对于C选项：，故C正确；

对于D选项：，设，所以，解得（负值舍去），故D不正确，故选：ABC．

【点睛】本题考查了由余弦定理求得，根据勾股定理得，再由平面几何知识得出，对于A选项由向量数量积的几何意义可判断；对于B选项：根据向量的线性表示可判断；对于C选项由向量的数量积的定义可判断；对于D选项根据正切的二倍角公式可判断，属于基础题.

11.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为  

B．函数在区间上单调递增

C．点是函数图象的一个对称中心

D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到的图象

【答案】AC

【解析】相邻两对称轴间的距离为

即，A正确

，，

是一条对称轴，，

，，

在，B错

，，时，，

是一个对称中心，C对

图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍变为

再向左平移个单位变为，D错

故选:AC.

【点睛】本题考查了三角函数图像与性质、平移变换以及伸缩变换,属于基础题.

12.在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是

A．抛物线的准线方程为 B．

C．的面积为 D．

【答案】AD

【分析】根据条件求出，再联立直线与抛物线求出，进而求出结论．

【解析】点在抛物线上，，

，焦点为，准线为，对，

因为，故，故直线为，

联立或，，，

，，，错，

，对，

的面积为．故错，故选．

【点睛】本题考查了抛物线的定义及其几何性质,考查了直线与抛物线的位置关系,属于基础题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.在的二项展开式中的系数为_____________

【答案】

【解析】因为展开式的第项为

，令，则，

所以的二项展开式中的系数为．故答案为:．

【点睛】本题考查了由二项式的展开式的通项求指定项系数,属于基础题.

14.已知角满足，则____________

【答案】

【解析】因为，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数诱导公式以及二倍角余弦公式,属于基础题.

15.设椭圆与双曲线的公共焦点为，将的离心率记为，点是在第一象限的公共点，若点关于的一条渐近线的对称点为，则         .

【答案】4

【解析】，

关于渐近线对称，设中点为

则是中位线，

，

，

.故答案为：4

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质,属于中档题.

16.已知函数，函数的图象在点处的切线方程为_________；若关于的不等式有正整数解，则实数的取值范围是_________．

【答案】       

【解析】因为，，所以，

所以函数的图象在点处的切线斜率为，

所以函数的图象在点处的切线方程为；

由两边取以为底的对数，则，即，

因为关于的不等式有正整数解，即有正整数解，所以，

则，又由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，，所以，

因此为正整数时，即是最大值；为使关于的不等式有正整数解，

只需，解得．故答案为:；．

【点睛】本题考查了先对函数求导，然后根据导数的几何意义，得出函数图象在点处切线斜率，进而可得切线方程,最后根据关于的不等式有正整数解，得到，有正整数解，由导数的方法求出为正整数时，的最大值，得到，即可求出结果,属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知数列是单调递增的等比数列，且各项均为正数，其前项和为，，，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若______，求的前项和，并求的最小值．

从以下所给的三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上，并解答此问题．

①数列满足：，（）；

②数列的前项和（）；

③数列的前项和满足：（）．

注：如果选择多个条件分别解答，只按第一个解答计分．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】（1）设数列的公比为，则由，，所以，

因为，所以，

因为，，成等差数列，所以，

即，所以，所以，

所以．

（2）选择①：因为，（），所以（），

所以；

；

；

……；

所以，当时也成立．

所以，

所以，

因为是递增的，

所以的最小值为，

选择②：由可知：当时，，

当时，，验证当时亦满足此关系，

所以

所以

所以

，

两式相减得：

所以，

因为是递增的，所以的最小值，

选择③：因为（），所以（），

两式相减得，即（），

所以（）

而，即

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以，

当为奇数时，由于，故；

当为偶数时，由于，故，

由在为偶数时单调递增，

所以当时，的最小值为．

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式、数列递推关系、裂项相消法求和以及错位相减法求和，考查分析问题求解能力，属于基础题.

18.请你在①，②外接圆半径为，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________？

注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】方案一：选条件①：，

由正弦定理和，得：，则，

又由正弦定理和，

得：，，

由余弦定理得：

因为，则，

解得：，即，

，又，

，

所以存在这样的三角形，且；

方案一：选条件②：外接圆半径为，

由正弦定理和，得：，

又由正弦定理和，得：，

由余弦定理得：，

由，得：，

由正弦定理，得：，

所以存在这样的三角形，且；

方案三：选条件③：，

由正弦定理和，得：，

又由正弦定理和，得：，，

由余弦定理得：，

由和余弦定理，得：，

又由正弦定理和，得：，

又，解得：，

在中，，，

则与矛盾，故不存在这样的三角形.

【点睛】本题考查了解三角形的问题，考查了余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换，属于基础题.

19.如图1，在平面五边形中，为等腰直角三角形，，，，，点E，F分别为，的中点，将沿折到如图2的位置.

（1）证明：平面；

（2）若二面角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取的中点G，连接，，

因为E为中点，

所以为的中位线，

所以.

因为平面，平面，

所以平面，

因为，平面，平面，

所以平面，

又， 平面，平面，

所以平面平面，

因为平面，

所以平面

（2）由题意知为等腰直角三角形，为直角梯形.

取中点O，连接，，

因为，，

所以为二面角的平面角，

所以，

因为，

所以为等边三角形，

取的中点H，则，

因为，，

所以平面 ，

所以.

又，

所以 平面，

以O为原点，分别以，为x轴，y轴，过点O平行于的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设为平面的一个法向量，

由，得，

令，得，

设为平面的一个法向量，

由，得，

令，得，

设平面与平面所成的锐二面角为θ，

则.

【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属于基础题.

20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

【答案】（1）70；（2）0.8186;(3).

【解析】（1）由频率分布直方图可知，

＝70．

（2）由题意可知，样本方差s2＝100，故，所以X～N（70，102），

该厂生产的产品为正品的概率P＝P（60＜X＜90）＝P（60＜X＜70）+P（70＜X＜90）＝．

（3）X所有可能为0，1，2，3．

，，

，．

所以X的分布列为

数学期望．

【点睛】本题考查了频率分布直方图、正态分布以及数学期望，属于中档题.

21. 已知椭圆的离心率为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为， 点是椭圆上异于的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段中点，直线交直线于点， 为线段的中点，若四边形的面积为2，求直线的方程．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）由题意，解得，

所以椭圆的标准方程为．                     

（Ⅱ）设，则，且．因为为线段中点，

所以．又，所以直线的方程为．

因为 令，得即．又，为线段的中点，有．                                

设直线与轴交于，

由得：，∴，

∴．

又，∴，

解得：，代入椭圆方程得：，∵，∴，

∴直线的方程为．

【点睛】本题考查了椭圆方程及其几何性质、四边形面积的求法，考查了利用分割法将求四边形的面积转化为求两个三角形的面积，属于中档题.

22.已知函数，，其中．

（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；

（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数．

【答案】（1）增函数；；（2）答案见解析.

【解析】（1），

当时，，，∴，

当时，，，∴，

当时，， 所以当时，，即在R上是增函数；

又，所以的解集为．

（2）函数的定义域为

由（1）得，函数在单调递增，

当时，，又，

所以时，恒成立，即时，无零点.

当时，恒成立，所以的零点即为函数的零点

下面讨论函数在的零点个数：

，所以

①当时，因为，

又函数在区间递减，所以

即当时，，

所以单调递减，由得：当时，递增

当时，递减

当时，，当时

又，

当时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点；

②当时，，由①得：当时，，递增，

当时，，递减，所以，，

所以当时函数有2个零点

③当时，

，，即成立，由，

所以当时函数有1个零点

综上所述：当或时，函数有1个零点；

当或时，函数有2个零点；

当时，函数有3个零点.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式以及研究函数的零点个数，考查了分类讨论思想以及运算能力,属于偏难题.