2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷二含解析

2021届高考数学1月适应性测试八省联考考后仿真系列卷二（含解析）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题得，，，∴，∴，故选:C．

【点睛】本题考查了对数不等式、指数不等式、集合的补集运算以及交集运算，属于基础题.

2.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，

由古典概型公式，满足题意的概率值为,故选择:C.

【点睛】本题考查了有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,注意区分排列与组合,属于基础题.

3.已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若，取，，则解得，解得，所以关于的不等式与不同解；

若关于的不等式与同解，则方程与必同解，又都不为0（），所以

所以“”是“关于的不等式与同解”的必要不充分条件.故选:B.

【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，属于基础题.

4.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】在中，

设，则，又由椭圆定义可知

则离心率，故选:D.

【点睛】本题考查了在焦点三角形应用椭圆的定义求离心率,属于基础题.

5.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】设向量与的夹角为θ，∵，不妨设，则，
∵，∴，∴，
，，
，∴.故选：A.

【点睛】本题考查了向量的数量积公式和向量的垂直，考查了学生的运算能力，属于中档题.

6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（    ）

A. 6 B.  C.  D. 12

【答案】B

【解析】如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割棱柱与棱锥部分，

因为EF与平面ABCD的距离为2，所以四棱锥F-NBCM的高为2，

所以V四棱锥F-NBCM=SNBCM

V棱柱ADE-NMF=S直截面

所以该刍甍的体积为V=V四棱锥F-NBCM +V棱柱ADE-NMF=.  故选：B

【点睛】本题考查了空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.

7.如图所示，直线为双曲线：的一条渐近线，，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】设焦点关于渐近线的对称点为，则，又点在圆上，，故选C.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质以及点关于直线对称,考查了方程思想和运算能力,属于中档题.

8. 函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于，两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；③点的坐标是，其中正确结论的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】①中，根据函数的图象以及圆的对称性，

可得，两点关于圆心对称，所以，

于是，所以，解得，函数的周期为，所以①错误；

②中，由函数图象关于点对称，及周期知，函数图象的对称中心为，

而不存在的解，所以②错误；

③中，由及的相位为0，得，

所以，，从而，所以③正确.故选：B.

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，解答的关键是三角函数的对称性和函数的周期性的判定，考查分析问题和解答问题的能力，属于中档题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列四个命题中，真命题为（    ）

A．若复数满足，则 B．若复数满足，则

C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则

【答案】AB

【解析】对于选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确；

对于选项B，若复数满足，设，其中，且，

则，则选项B正确；

对于选项C，若复数满足，设，则，

但，则选项C错误；

对于选项D，若复数，满足，设，，则，

而，则选项D错误；故选：AB

【点睛】本题考查了命题的真假,考查了复数的概念以及运算,属于基础题.

10.已知正方体的棱长为2，，分别是，的中点，过，的平面与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面截该正方体得到的截面为底面，以为顶点的棱锥记为棱锥，则（    ）

A. 正方体的外接球的体积为

B. 正方体的内切球的表面积为

C. 棱锥的体积为3

D. 棱锥的体积为

【答案】AC

【解析】因为正方体的棱长为2，

所以正方体的外接球的直径为，内切球的半径为1，

所以正方体的外接球的体积为，

内切球的表面积为，故A正确，B错误.

如图，分别是棱的中点.

因为在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，

所以平面被此正方体所截得的截面图形为正六边形，边长为.

因为正六边形的面积，

到平面的距离为，

所以棱锥的体积为.故正确，D错误,故选：AC.

【点睛】本题考查了与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时需要认真分析图形，明确切点和接点的位置，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，半径为棱长一半；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，此时正方体的体对角线长等于球的直径,棱锥的底面为边长为的正六边形，属于基础题.

11.已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若，，三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

【答案】BCD

【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；

设直线的方程为，

联立方程组，可得，所以，

所以，

所以，故B正确；

设直线的方程为，联立方程组，可得，

所以，

所以，

因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，

所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；

因为，

所以，所以，

因为，

所以的中点到轴的距离：

，当且仅当时等号成立，

所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，

综上所述，正确命题为BCD.   故选：BCD.

【点睛】本题考查了抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.

12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（    ）

A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点

C．函数必有2个零点 D．

【答案】BD

【解析】对于选项A,函数，则，

当时，，故在上为增函数，A错误；

对于选项B,当时，，故在单调递减，故是函数g(x)的极小值点，B正确；

对于选项C,若，则有两个零点，若，则有一个零点，

若，则没有零点，故C错误；

对于选项D,在上为增函数，则，即，化简得，D正确；故选：BD

【点睛】本题考查了导数在单调性中的应用，考查函数的极值，考查函数的零点问题，考查利用单调性比较大小，属于中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.记为等差数列的前项和．已知，，则=__________

【答案】

【解析】设等差数列的公差为．，，

，，解得：，,

．故答案为：．

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及前项和公式,考查了数列基本量思想,属于基础题.

14.已知角的终边经过点，则___________.

【答案】

【解析】因为角的终边经过点，所以，

则，故答案为：

【点睛】本题考查了三角函数定义、同角三角函数关系以及二倍角余弦公式，属于基础题.

15.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．

（1）设，则在上的“新驻点”为_________

（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_________．

【答案】       

【解析】（1），，令，即，得，

，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；

（2），，则，，

令，则对任意的恒成立，

所以，函数在定义域上为增函数，

，，由零点存在可得，

令，可得，即，所以，.

故答案为：（1）；（2）.

【点睛】本题考查了函数新定义以及构造函数研究单调性比较大小,属于中档题.

16.已知圆与直线，上任意一点向圆引切线，切点为A，B，若线段AB长度的最小值为，则实数的值为____________．

【答案】

【解析】圆C：，则圆心，，

设，则 ，

有最小值，

即圆心到直线的距离为

即 (舍负)．

故答案为：

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.在①且，②，③的面积这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.

问题：在中，内角所对的边分别为，且______.

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长.

【答案】选择见解析；（1）；（2）.

【解析】（1）若选①，，.

，，

，

，

若选②，，

，

，，

故.

若选③，，

，

，，

，

，故.

（2）的面积为，，

，，

，，即

故的周长为.

【点睛】本题考查了利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理求解或者利用三角形面积公式以及余弦定理进行求解,属于基础题.

18.设为数列的前项和，已知，.

（1）证明为等比数列；

（2）判断，，是否成等差数列？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析  （2）成等差数列，理由见解析

【解析】（1）证明：∵，，∴，

由题意得，，

∴是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1），∴.

∴，

∴，

∴，即，，成等差数列.

【点睛】本题考查了根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.

19.为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用

（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；

（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：

①用最小二乘法求与的回归直线方程；

②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值

参考数据和公式：，

【答案】（1）见解析，12.5（2）①②20

【解析】（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5

所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15

，，，

所以分布列为

期望为

（2）因为

所以，，

；

②，设，

所以当递增，当递减

所以约惠值最大值时的值为20

【点睛】本题考查了直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.

20.如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）答案见解析；（2）

【解析】（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，

因为，所以，，，

所以，所以，即，

又二面角是直二面角，平面，

所以平面，

又平面，所以，

又因，，、平面，

所以平面．

（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则，，，，

所以，，设是平面的一个法向量，

则，所以，

取，则，，即，

由（1）可知平面，

所以是平面的一个法向量，

所以 ，

又二面角的平面角为锐角，

所以二面角的平面角的余弦值为．

【点睛】本题考查了证明线面垂直以及利用空间向量求二面角，其中空间向量解答立体几何问题的一般步骤为①观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；②写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；③设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；④将空间位置关系转化为向量关系；⑤根据定理结论求出相应的角和距离,属于中档题.

21.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率.

【答案】（1）（2）或

【解析】(1)因为椭圆离心率为，当P为C的短轴顶点时，的面积有最大值.

所以，所以，故椭圆C的方程为:.

（2）设直线的方程为，

当时，代入，得:.

设，线段的中点为，

，

即

因为，则，所以，

化简得，解得或，即直线的斜率为或.

【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法以及直线和椭圆的位置关系，考查分析推理能力和运算能力,属于中档题.

22.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若，，且，证明：.

【答案】（1）单调递减区间为；单调递增区间为.（2）答案见解析

【解析】（1）的定义域为，

，

由，得，从而；

由，得，从而；

所以，的单调递减区间为；

单调递增区间为.

（2），即，

令，则，.

当时，；当时，，，

故时，恒成立，所以在上单调递增，

不妨设，注意到，所以，

令，则，

令，则，

所以在上单调递增，从而，

即，所以在上单调递减，于是，

即，又，所以，于是，

而在上单调递增，所以，即.

【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于含三角函数与指数函数的极值点偏移问题，难点在于选取合适的函数求导以及通过放缩对不等式进行转换，属于偏难题