初中数学湘教版七年级下册第3章 因式分解综合与测试完美版复习ppt课件

课   题

因式分解小结与复习

课型

新授课

教学目标

1、 掌握因式分解的概念，知道与整式乘法的联系和区别

2、 掌握提公因式法的要点及因式分解的步骤

3、 能识别可用平方差公式、完全平方公式因式分解的多项式，能套用公式正确地进行因式分解

4、 熟悉一些需要变形或两步以上的因式分解

5、 能运用因式分解解决一些求代数式的值的问题

教学重点

1、 因式分解的方法

2、 梳理知识要点，熟悉考试题型，提高解题能力

教学难点

1、 需要将多项式变形的因式分解，两步以上的因式分解

2、 利用因式分解解决求值、简便计算等问题  

教   学   活   动

一、要点复习

1、 提问：什么是因式分解？

学生回答，教师用ppt展示：因式分解就是把一个多项式分解成几个多项式的积

2、 提问：什么叫做提公因式法？

（1）学生回答，教师用ppt展示：把多项式各项的公因式提到括号外面，其它因式连同各项的符号放到括号里面，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

    （2）教师用ppt展示：提公因式法的步骤是：一提，二放。

3、 提问：如何运用平方差公式因式分解？

学生回答，教师用ppt展示：

运用公式a²-b²=(a+b)(a-b)，先把多项式写成两数的平方的差，再写成这两数的和×差.

4、 提问：如何运用完全平方公式因式分解？

学生回答，教师用ppt展示：

运用公式a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²，先把多项式写成两数的平方的和，加或减这两数的积的2倍，再写成这两数和的平方或差的平方.

5、 因式分解还有哪些需要注意的地方？

（1）学生交流后回答，教师用ppt展示：

确定公因式：取各项系数的公约数、相同字母或式子的最低次幂的积，作为要提取的公因式.。

（2）有公因式先提公因式，无公因式考虑公式法，每个因式都要分解彻底。

（设计说明：用提问方式，引导学生回顾、梳理知识要点，把学生置于主体地位。通过师生互动，学生不但梳理了知识要点，而且有了对所学知识的再认知。）

二、考点突破

❉考点一   因式分解的概念

例1  下列变形不是因式分解的是（    ）

      A.  a²-3ab+a=a(a-3b+1)               B.  x²+10x+25=(x+5)²

      C.  -6(x-1)²=-6x²+12x-6              D.  a²-2a-8=(a+2)(a-4)

【答案】C

【解析】因式分解是把一个多项式表示成几个多项式的积。C是整式乘法，不是因式分解。

例2  把下列多项式因式分解，正确的是（    ）

      A.  2a²-7ab=2a(a-7b)                 B.  b²-4b+16=(b-4)²

      C.  m²-3mn+n²=m(m-3n)+n²           D.  x²-9y²=(x+3y)(x-3y)

【答案】D

【解析】A提取的公因式错误. B不是完全平方式，不能用完全平方公式分解. C没有把整个多项式因式分解. D因式分解x²-9y²=x²-(3y)²=(x+3y)(x-3y)，正确。

【方法小结】

1、 因式分解是把一个多项式变形成几个多项式的积。要根据概念判断是否为因式分解把因式分解与整式乘法区别开来。

2、 因式分解是否正确，可以从①提的公因式是否正确；②提公因式后放到括号里面的多项式是否正确；③是否符合乘法公式的结构特征等方面进行判断。还可以计算多项式的乘法检验因式分解的正确性。

❉考点二  提公因式法

例3  9a²b³-12ab²+6ab是的公因式是         ，提出公因式后另一个因式是          。

【答案】3ab，3ab²-4b+2

【解析】多项式中系数9、12、6的公约数是3，字母a、b的次数都是1，故公因式为3ab。提出公因式后，各项剩下的因式分别是3ab²、-4b、2，故放到括号内的因式为3ab²-4b+2.

例4  因式分解-4a(x-y)²+16a(x-y)=               。

【答案】-4a(x-y)(x-y-4)

【解析】多项式第一项系数为负数时，负号要连同公因式提到括号外面，放到括号里面的每一项都要改变符号。

例5  因式分解2a(m-n)-6bm+6bn。

解： 2a(m-n)-6bm+6bn

=2a(m-n)-6b(m-n)            （先把-6bm+6bn因式分解）

=2(m-n)·a-2(m-n)·3b

=2(m-n)(a-3b).               （再用提公因式法因式分解）

【方法小结】

1、 提公因式法，先要确定公因式。取各项系数的公约数、各项都有的字母或式子的最低次幂的积作要提取的公因式。

2、 提公因式法，就是把公因式提到括号外面，把各项的其它因式连同符号放到括号里面。

3、 多项式第一项前面有“－”，则把公因式连同“－”提到括号外面，放到括号里面的各项都要变号。

❉考点三  公式法

例6  把多项式49m²-81n²因式分解。

解   49m²-81n²

    =(7m)²-(9n)²               （第一步：写成两数的平方的差）

    =(7m+9n)(7m-9n).           （第二步：写成这两数的和乘差.）

例7  把多项式x²-18x+81因式分解

解   x²-18x+81

    =x²-2·x·9+9²            （第一步：写成两数的平方和，减积的2倍.）

    =(x-9)²                    （第二步：写成这两数的和或差的平方.）

例8  因式分解： (x+y)²-4(x+y-1) 

解： (x+y)²-4(x+y-1)

    =(x+y)²-4(x+y)+4            （把-4(x+y-1)拆成两项后可用公式法）

    =(x+y)²-2·(x+y)·2+2²

=(x+y-2)².

【方法小结】

1、 公式法是把乘法公式倒过来使用，进行因式分解。

2、 用平方差公式因式分解，先要把多项式写成两个数或式子的平方的差，再把多项式写成这两数或式的和乘差。 

3、 用完全平方公式因式分解，先要把多项式写成两数的平方和，加它们的积的2倍，再把多项式写成这两数的和或差的平方。  

❉考点四    两步或两步以上的因式分解

例9  因式分解： (x³-x)+(x-1)

解：  (x³-x)+(x-1)

=x(x²-1)+(x-1)

=x(x+1)(x-1)+(x-1)

=(x-1)[x(x+1)+1]

=(x-1)(x²+x+1).

（先把多项式的某一部分因式分解，再把整个多项式因式分解。）

例10  因式分解：  y²-(x²-10x+25).

解： y²-(x²-10x+25)

=y²-(x-5)²

=(y+x-5)(y-x+5).

（先用完全平方公式，再用平方差公式。）

【方法小结】

认真观察多项式，先看多项式的各项或某几项是否有公因式，再看整个多项式或多项式的某部分，是否具有两数平方差，或完全平方式的特征。分解一步，考虑下一步，一直分解每个因式不能再分解为止。

简单地说，就是：提一提，套一套，做彻底。

❉考点五  因式分解的应用—求值问题

例11  已知a-b=9，ab=-20，求a²b-ab²的值。

解：a²b-ab²=ab(a-b)=9×(-20)=-180.

【点拨】通过因式分解解决一些整体代入求值问题。

例12 已知2x-1=3，求代数式(x-3)²-2(x-3)+1的值.

解： (x-3)²-2(x-3)+1

=(x-3)²-2·(x-3)·1+1²

=(x-3-1)²

=(x-4)²

由2x-1=3，得x=2，所以，原式=(2-4)²=4.

【点拨】有时将多项式因式分解化简，求值比较简单。

例13 已知a²+b²-2a+8b+17=0，求a-b的值. 

解： a²+b²-2a+8b+17

=a²-2a+1+b²+8b+16-1-16+17

=(a-1)²+(b+4)².

∵ (a-1)²+(b+4)²=0，

∴ a-1=0，且b+4=0，即a=1，b=-4.

∴ a-b=1-(-4)=5.

【点拨】将多项式的某部分因式分解，利用非负数的性质解决求值问题。

【方法小结】对一些多项式通过因式分解，可以找到多项式与已知条件的关系，或者把多项式转化成一个简单式子的平方，或者变形后能发现一个规律或性质，从而把一个复杂的求值问题，转化为较为简单的问题。

❉考点六    因式分解的应用—简便运算问题

例14  计算：199.8²-200.2² 

解： 199.8²-200.2²

=(200-0.2)²-(200+0.2)²

=[(200-0.2)+(200+0.2)]×[(200-0.2)-(200+0.2)]

=400×(-0.4)

=-160.

【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。

例15  计算：37²+37×26+13²

解： 37²+37×26+13²

=37²+2×37×13+13²

=(37+13)²

=50²

=2500.

【点拨】运用完全平方公式因式分解，把算式转化为求整数或整十、整百数的平方。

【方法小结】对一些数字为小数或分数、按常规运算顺序计算比较困难的运算，如果仔细观察，运用乘法公式进行恰当的因式分解，有时会找到简便的方法。     

三、知识拓展

❉考点七    用“找数法”分解二次三项式

利用公式：x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)，先找出两个数a，b，使ab=常数项，a+b=一次项的系数，再把二次三项式写成(x+a)(x+b)的形式，即可完成因式分解。

例如：x²-7x+6。通过观察，两个负数-1，-6相乘得常数项6，而相加得-7，则

x²-7x+6=(x-1)(x-6).

用“找数法”直接因式分解a²+3a-18=                     .

【答案】(a-3)(a+6)

四、作业布置

1. 因式分解：

  （1）3x²+xy+4x                   （2）2a(a-5)-6b(5-a)

  （3）4m²-16n²                      （4）9x²y-6y+y

【点拨】(2)题中-6b(5-a)=+6b(a-5)，(3)、(4)题要先提公因式，再继续下一步的分解。

2. 因式分解：

  （1）ax+bx-ay -by              （2）(x-2)-(x³-4x )

  （2）-m²(a+b)+4mn(a+b)-4n²(a+b)

【点拨】(1)题先把多项式分成两部分进行因式分解。(2)题先把(x³-4x )分解。(3)题先把-(a+b)提到括号外面。每道题都要注意分解到每个因式不能再分解为止。

3. 已知m-n=8，求的值。

【解析】

4. 已知|a-2b|+b²+2b+1=0，求a、b的值。

【点拨】先因式分解b²+2b+1=(b+1)²，再利用非负数的性质—几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，进行解答。

板书设计

第3章因式分解小结与复习

1、 因式分解的概念 

2、 因式分解的方法：提公因式法、公式法

3、 因式分解的求值问题、简便计算问题。