高中数学6.4 平面向量的应用精品第2课时学案设计

第2课时　正弦定理

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD．

问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？

知识点　正弦定理

1．正弦定理

2．正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；

(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

(4)＝2R．

如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？

[提示]　＝＝＝c．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)正弦定理不适用直角三角形． (　　)

(2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立． (　　)

(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[由正弦定理得，＝，所以＝．]

3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)

A．5    B．10    C．    D．5

B　[由正弦定理得，b＝＝＝10．]

4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________．

　[由正弦定理得：＝，所以sin B＝．

又a>b，所以A>B，所以B＝，

所以C＝π－＝．]

类型1　已知两角一边解三角形

【例1】　(对接教材P47例7)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

[解]　因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．

由正弦定理，得＝＝，

解得a＝＝4，c＝＝2(＋)．

已知两角及一边解三角形的解题方法

(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．

(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．

1．在△ABC中，已知A＝60°，tan B＝，a＝2，则c＝________．

　[因为tan B＝，所以sin B＝，cos B＝．又A＝60°，所以sin C＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(120°－B)＝sin 120°cos B－cos 120°sin B＝＋．由正弦定理，得＝，即c＝＝＝．]

类型2　已知两边和其中一边的对角解三角形

【例2】　(对接教材P47例8)在△ABC中，已知a＝2，b＝，A＝45°，解三角形．

[解]　由正弦定理，得sin B＝＝＝．因为b＜a，所以B＜A，所以B＝30°(B＝150°舍去)．

于是C＝180°－45°－30°＝105°．由正弦定理，得c＝＝＝＋1．

已知三角形的两边和其中一边的对角时解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边所对的角的正弦值．

(2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角是锐角还是钝角．

(3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．

2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a．

[解]　由正弦定理得：sin C＝＝＝，

∵c>b,0°<C<180°，

∴C＝45°或135°．

当C＝45°时，A＝105°，

a＝＝＝＋1，

当C＝135°时，A＝15°，

a＝＝＝－1．

类型3　三角形形状的判断

【例3】　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．

由＝2R，＝2R，＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？

[提示]　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sin A＝，a＝2Rsin A；sin B＝，b＝2Rsin B；sin C＝，c＝2Rsin C.由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化.

[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，

∴A是直角，B＋C＝90°，

∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，

∴sin B＝．

∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，

得＝＝，

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，

∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．

∵A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin Bcos C，

∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，

∴sin(B－C)＝0．

又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，

∴△ABC是等腰直角三角形．

三角形形状的判断方法

判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：

(1)化边为角，走“三角变形”之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝．

(2)化角为边，走“代数变形”之路，常用的转化方式有：①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；②＝，＝，＝．

3．在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为(　　)

A．直角三角形　　　 B．等腰非等边三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

C　[由正弦定理知：b＝2Rsin B，a＝2Rsin A，

则3b＝2asin B可化为：

3×2Rsin B＝2×2Rsin Asin B．

因为0°＜B＜180°，

所以sin B≠0，

所以sin A＝，可得A＝60°或120°．

又因为cos A＝cos C，

所以∠A＝∠C，

所以A＝60°，C＝60°，∠B＝180°－60°－60°＝60°，

所以△ABC为等边三角形．

故选：C．]

1．在△ABC中，若sin A>sin B，则有(　　)

A．a<b　　　　　　 B．a≥b

C．a>b   D．a，b的大小无法判定

C　[因为＝，所以＝．

因为在△ABC中，sin A>sin B>0，所以＝>1，所以a>b．]

2．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B的大小可能为(　　)

A．30°　　　　B．150°　　　　C．60°　　　　D．120°

CD　[由正弦定理＝，得sin B＝＝

＝．又b＞a,0°＜B＜180°，所以B＝60°或B＝120°，故选CD．]

3．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形   B．等腰三角形

C．等边三角形   D．不等边三角形

B　[由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，

故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以sin Acos B＝cos Asin B，

即sin(A－B)＝0，所以A＝B．

故△ABC为等腰三角形．]