人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直优质第2课时导学案

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第2课时　线面垂直的性质与空间距离学 习 任 务核 心 素 养1．理解直线与平面垂直的性质定理．(重点)2．能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明．(难点)3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．通过学习直线与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．知识点1　直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作　用证明两条直线平行在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？[提示]　棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直B　[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B．]知识点2　空间距离1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为(　　)A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2B　[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴点C到平面BDD1B1的距离为CO．∵AB＝2，∴AC＝2，∴CO＝AC＝．] 类型1　线面垂直性质定理的应用【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．[解]　因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．证明线线平行常用的方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l．[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB．因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB．由线面垂直的性质定理，得a∥l． 类型2　空间中的距离问题【例2】　如图，在四棱锥P­ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若三棱锥P­ADQ的体积为2，求点B到平面PDQ的距离．[解]　(1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．所以PD⊥平面ABCD．(2)因为三棱锥P­ADQ的体积为2，所以S△ADQ·PD＝2，所以S△ADQ＝3．所以AD·AQ·sin 60°＝3，所以AQ＝3．所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝＝．所以S△PDQ＝×PD×DQ＝．由VP­ADQ＝VA­PDQ⇒2＝××d，所以d＝．所以点B到平面PDQ的距离为．空间中距离的转化(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离．(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离．(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高．2．在如图所示的几何体中，ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°．(1)求证：AC1⊥平面A1B1CD；(2)若CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距离．[解]　(1)因为ABC­A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°，所以四边形AA1C1C是正方形，所以AC1⊥A1C．设CD＝a，则AD＝2a，AC＝＝a，所以CD2＋AC2＝AD2，所以AC⊥DC，所以AC⊥AB，因为AA1⊥AB，AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1⊂平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC1．因为A1B1∩A1C＝A1，所以AC1⊥平面A1B1CD．(2)因为CD＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝＝2，所以AC1＝2．所以点C1到平面A1B1CD的距离为AC1＝． 类型3　直线与平面垂直关系的综合应用【例3】　如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF．[证明]　因为PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC．又AB是圆O的直径，所以AC⊥BC．又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC．又AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF．因为AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB．又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF．关于线面垂直判定、性质的应用(1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明．(2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线a垂直于平面α内直线b，可以考虑证明直线b垂直于直线a所在的平面β．(3)掌握线线、线面垂直的相互转化．3．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在点H，使得AH⊥平面PCD？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．[解]　(1)由题意，可得DC＝AC＝，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又因为PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC．(2)过点A作AH⊥PC，垂足为H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，因为在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝，＝，解得PH＝，所以PH＝PC，即在棱PC上存在点H，且PH＝PC，使得AH⊥平面PCD．1．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B　[由PB⊥α，AC⊂α，得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC为直角三角形．]2．如图，ABCD­A1B1C1D1为正方形，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，其中正确结论的个数是(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3D　[由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正确．由正方体的性质得AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．由正方体的性质得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，进而结论线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．故选：D．]3．已知四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件________时，有PC⊥BD(填上你认为正确的一个条件即可)．[答案]　四边形ABCD为菱形(答案不唯一)4．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值为________．4　[假设在BC边上存在点Q，使得PQ⊥DQ，连接AQ，因为在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°，由题意得△ABQ∽△QCD，所以＝，设BQ＝x，所以x(a－x)＝8，即x2－ax＋8＝0(*)，当Δ＝a2－32≥0时，(*)方程有解，所以当a≥4时，在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，故a的最小值为4．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)线面垂直的性质定理的内容是什么？(2)空间中的距离包括哪几类？它们之间是如何转化的？(3)如何求空间中点到平面的距离？