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2021--2022学年人教版八年级上册数学期末模拟检测试卷（二）（word版 含答案）
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这是一份2021--2022学年人教版八年级上册数学期末模拟检测试卷（二）（word版 含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2 B. 7 C. 9 D. 11
2.对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）
A. 既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
3.小芳有长度分别为 4cm 和 8cm 的两根木条，桌上有下列长度的四根木条，她要用其中的一根与原有的两根木条钉成一个首尾相接的三角形木框，则这根木条的长度为（ ）
A. 3cm B. 5cm C. 12cm D. 17cm
4.计算：a•a6＝（ ）
A. a6 B. a7 C. 2a6 D. 2a7
5.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B. x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C.x2+4xy﹣x＝x（x+4y） D. a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）
6.要使分式 3x−2 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. 任意实数
7.一个长方形操场，面积为 3a2b+6a ，其中一边长为 3a ，则另一边长为（ ）
A. ab+2 B. ab+2a C. a+2 D. a2b+a
8.下列因式分解正确的是（ ）
A. x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 B. ﹣2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2）
C. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D. （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
9.计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（ ）
A. 1+a4 B. 1﹣a4 C. 1﹣2a2+a4 D. 1+2a2+a4
10.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 1
11.如图， AB=14 ， AC=6 ， AC⊥AB ， BD⊥AB ，垂足分别为A、B.点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿 AB 向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线 BD 方向运动.点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与 △CAP 全等时，a的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或 127
12.如图，已知等边 △AOC 的边长为1，作 OD⊥AC 于点 D ，在 x 轴上取点 C1 ，使 CC1=2OD ，以 CC1 为边作等边 △A1CC1 ；作 CD1⊥A1C1 于点 D1 ，在 x 轴上取点 C2 ，使 C1C2=2CD1 ，以 C1C2 为边作等边 △A2C1C2 ；作 C1D2⊥A2C2 于点 D2 ，在 x 轴上取点 C3 ，使 C2C3=2C1D2 ，以 C2C3 为边作等边 △A3C2C3 ；…，且点 A ， A1 ， A2 ， A3 ，…，都在第一象限，如此下去，则点 D7 的纵坐标为（ ）
A. 2734 B. 814 C. 8134 D. 2434
二、填空题
13.因式分解： 1−x2= .
14.若 2a+b=5 ， a+2b=4 ，则 a2−b2= .
15.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等.
16.如图，在 △ ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7， S△ABD ＝15，则 S△ABE ＝ ．
三、计算题
17.解分式方程： 2x2x−5 ﹣1= 2x+5 ．
先化简，再求值：（ 3x+1 ﹣x+1）÷ x2−2xx+1 ，其中﹣2≤x≤2，请从x的范围中选入一个你喜欢的值代入，求此分式的值．
四、解答题
19.如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD.求证：CF∥DE.
20.如图，在等腰 △ABC 和等腰 △ADE 中， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE 且 C、E、D 三点共线，作 AM⊥CD 于 M ，求证： BD+DM=CM ．
21.近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注.某商场计划购进一批A、B两种空气净化装置，每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同.
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据销售情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
（3）若每台A种设备售价0.6万元，每台B种设备售价1.4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？
22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
23.如图，已知△ABC是等边三角形．
（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】A、 2+3=5 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 3+5>7 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 3+5<9 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 3+5<11 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此解答即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，∴无法构成三角形，不合题意；
B.∵5+4＞8,5-4＜8，∴可以构成三角形，符合题意；
C.∵4+8=12，∴无法构成三角形，不合题意；
D. ∵4+8＜17，∴无法构成三角形，不合题意．
故答案为：B
【分析】利用三角形三边的关系，逐项判断即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解： a•a6=a1+6=a7
故答案为：B
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B选项不符合题意；
C、x2+4xy﹣x＝x（x+4y﹣1），故C选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子的恒等变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：当分母x-2≠0即x≠2时，分式 3x−2 有意义．
故答案为：C．
【分析】分式有意义，分母不为零。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解： (3a2b+6a)÷ 3a ，
= 3a2b÷3a+6a÷3a ，
= ab+2 .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的面积等于两邻边之积，列出算式，进而再根据多项式除以单项式法则算出答案.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、 x2﹣2x+1＝（x-1）2 ， 错误；
B、-2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a-2）
， 错误；
C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，不是因式分解，错误；
D、 （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
，正确；
故答案为：D.
【分析】首先根据因式分解的定义进行判断是否为分解因式，然后再对原式分别进行分解因式比较结果即可判断.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）=（1-a2）（1+a2）=1-a4.
故答案为：B.
【分析】观察代数式的特点，符合平方差公式的结构特点，由此两次利用平方差公式可求出结果.
10.【答案】 C
【解析】【解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=14，
∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，
∴BQ=8，
∴8÷a=8÷2，
解得a=2；
当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，.
∵AC=6，AB=14，
∴BQ=6，AP=BP=7，
∴6÷a=7÷2，
解得a= 127 ，
由上可得a的值是2或 127 ，
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，②当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，据此分别求解即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过D7作BD7⊥x轴，交x轴于点B ，
∵等边 △AOC 的边长为1， OD⊥AC 于点 D ，
∴ OD=32OC=32 ,
∴CC1=2OD= 3 ，
∴CD1= 32CC1=32 ,
以此类推可得：CD7= 812 ，
∴D7B= 12 CD7= 814 ．
故答案为：B
【分析】过D7作BD7⊥x轴，交x轴于点B，根据等边三角形的性质得出OD=32OC=32 ， 从而求出CC1=2OD= 3 ，继而可得CD1= 32CC1=32 ,以此类推可得：CD7= 812 ，根据D7B= 12 CD7即得结论.
二、填空题
13.【答案】 （1+x）（1-x）
【解析】【解答】对 1−x2= 用平方差公式，得 1−x2=12−x2=(1+x)(1−x)
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
14.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3.
【分析】2a+b=5①，a+2b=4②，①+②可得a+b=3，①-②可得a-b=1，然后将原式分解为a2-b2=（a+b）（a-b），整体代入计算即可.
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12-x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4.
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等，根据题意得出BP=xm，BQ=2xm，AP=（12-x）m，分两种情况讨论：①若BP=AC，得出x=4，从而得出AP=8，BQ=8，AP=BQ，即可得出△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，得出x=6，BQ=12≠AC，得出△CAP与△PQB不全等，即可得出答案.
16.【答案】 252
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BN于G，
∵AD⊥BC ，
∠ADC=90° ，
∵∠C=45° ，
∴∠DAC=90°−∠C=45° ，
∵BF⊥MN ，
∴∠FBN+∠FNB=90° ，
∵MB=MN ，
∴∠ABN=∠FNB ，
∴∠ABN+∠BAD=90° ，
∴∠BAD=∠FBN ，
∵∠AFB=∠FBC+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAF ，
∴BA=BF ，
在 ΔABD 和 ΔBFG 中，
{∠ADB=∠BGF∠BAD=∠FBGAB=BF ，
∴ΔABD≌ΔBFG(AAS) ，
∴BD=FG，AD=BG ，
∵∠BED+∠BED=90°，∠BAD+∠ABD=90° ，
∴∠BED=∠ABD=∠FNG ，
在 ΔBDE 和 ΔFGN 中，
{∠BDE=∠FGN∠BED=∠FNGBD=FG ，
∴ΔBDE ≌ ΔFGN (AAS) ，
∴DE=GN ，
∵DE：BN=1:7 ，
∴GN：BN=1:7 ，
设ED=x，
∴DE：BG=1:6 ，
∴AD=BG=6x ，
∵∠BFG+∠GFN=∠BFG+∠FBG=90° ，
∴∠GFN=∠FBG ，
∴∠FGN=∠BGF ，
∴ΔFGN∽ΔBGF ，
∴BGFG=FGGN ，
∴BD=FG=BG⋅GN=6x ，
∵AE=AD−ED=6x−x=5x ，
∵ S△ABD ＝15，
∴SΔABD=12BD⋅AD=126x⋅6x=15 ，
∴x2=566 ，
∴SΔABE=12BD⋅AE=126x⋅5x=562x2=562×566=252 ，
故答案为： 252 ．
【分析】过点F作FG⊥BN于G，先证 BA=BF ，可证 ΔABD≌ΔBFG(AAS) ，再证 ΔBDE ≌ ΔFGN (AAS) ，可得 DE=GN ，设ED=x，可得 DE：BG=1:6 ， AD=BG=6x ，
可证 ΔFGN∽ΔBGF ，可得 BD=FG=BG⋅GN=6x ，由 S△ABD ＝15，可求 x2=566
由 SΔABE=12BD⋅AE=562x2 把 x2=566 代入计算即可．
三、计算题
17.【答案】 解：去分母得：2x（2x+5）﹣（2x﹣5）（2x+5）=2（2x﹣5），
去括号得：4x2+10x﹣4x2+25=4x﹣10，
移项得：10x﹣4x=﹣10﹣25，
合并得：6x=﹣35，
化系数为1，得：x=﹣ 356 ，
经检验：x=﹣ 356 是原方程的根．
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.【答案】 解：（ 3x+1 ﹣x+1）÷ x2−2xx+1
= 3−x2+1x+1 ÷ x2−2xx+1
=﹣ x+2x
当x=﹣2时，
原式=﹣ −2+2−2 =0．
【解析】【分析】先算括号内的减法，再把除法转化成乘法进行约分，最后再从所给的x的范围内选一个符合题意的x值代入计算.注意x的值一定要使得所求的式子有意义.
四、解答题
19.【答案】 证明： ∵ AC∥BD，
∴∠A=∠B ，
∵ AE＝BF，
∴AE+EF=BF+EF ，即 AF=BE ，
又 ∵ ∠C＝∠D
∴ △ACF≌△BDE(AAS) ，
∴∠DEF=∠CFA ，
∴CF//DE
【解析】【分析】先证 △ACF≌△BDE ，得出∠DEF=∠CFA ，根据内错角相等两直线平行即可得证.
20.【答案】 证明： ∵∠BAC=∠DAE
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中
{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD
∴△AEC≌△ADB
∴BD=CE
在等腰 △ADE 中， AM⊥DE
∴DM=EM
∴BD+DM=CE+EM=CM ．
【解析】【分析】由“SAS”可证明△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME，即可得到结论。
21.【答案】 （1）解：设A种设备每台x万元，则B种设备每台 (x+0.7) 万元，
根据题意得： 3x=7.2x+0.7 ，
解得 x=0.5 ，
经检验， x=0.5 是原方程的解，
∴ x+0.7=1.2 .
则A种设备每台0.5万元，B种设备每台l.2万元；
（2）解：设购买A种设备a台，则购买B种设备 (20−a) 台，
根据题意得： 0.5a+1.2(20−a)≤15 ，
解得： a≥907 ，
∵a为整数，
∴A种设备至少购买13台；
（3）解：每台A种设备获利 0.6−0.5=0.1 （万元），
每台B种设备获利 1.4−1.2=0.2 （万元），
∵ 0.2>0.1 ，
∴购进B种设备越多，获利越多，
∴当购买A种设备13台，B种设备23-13=7（台）时，获利最多.
【解析】【分析】（1）设A种设备每台x万元，则B种设备每台 (x+0.7) 万元，根据“3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同”列分式方程即可求解；
（2）设购买A种设备a台，则购买B种设备 (20−a) 台，根据总费用不高于15万元，列不等式求解即可；
（3）分别求出A、B两类设备每台的利润，即可得出 购进B种设备越多，获利越多， 从而即可解决问题.
22.【答案】 （1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
23.【答案】 （1）解：猜想：AB=AF+BD
（2）解：如图2，猜想：AB=AF﹣BD；
（3）解：如图（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，
∵DE=CE，
∴∠CDE=∠ECD，
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，
∴∠BED=∠GCE，
在△BDE和△GEC中，
{ED=EC∠BED=∠GCEBE=CG ，
∴△BDE≌△GEC，
∴BD=EG=AE
又∵AF=BE，
∴AB=BE+AE=AF+BD
【解析】【分析】先将（1）与（2）小题中的猜想写出来，证明其中的一个结论即可。
（3）小题中先做一条辅助线构造一个等边三角形，然后利用等边三角形的性质证明三角形DBE与EGC全等，得到对应边相等，再利用旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，就可以得到AB与AF、BD之间的关系。
1.下列长度的线段中，与长度为3，5的两条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2 B. 7 C. 9 D. 11
2.对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）
A. 既是中心对称图形，又是轴对称图形 B. 是轴对称图形，但不是中心对称图形
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形 D. 既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
3.小芳有长度分别为 4cm 和 8cm 的两根木条，桌上有下列长度的四根木条，她要用其中的一根与原有的两根木条钉成一个首尾相接的三角形木框，则这根木条的长度为（ ）
A. 3cm B. 5cm C. 12cm D. 17cm
4.计算：a•a6＝（ ）
A. a6 B. a7 C. 2a6 D. 2a7
5.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A.（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B. x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
C.x2+4xy﹣x＝x（x+4y） D. a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）
6.要使分式 3x−2 有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞2 B. x＜2 C. x≠2 D. 任意实数
7.一个长方形操场，面积为 3a2b+6a ，其中一边长为 3a ，则另一边长为（ ）
A. ab+2 B. ab+2a C. a+2 D. a2b+a
8.下列因式分解正确的是（ ）
A. x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 B. ﹣2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2）
C. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D. （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
9.计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（ ）
A. 1+a4 B. 1﹣a4 C. 1﹣2a2+a4 D. 1+2a2+a4
10.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，AD＝6，过点 D 作 DE∥BC 交 AB 于点 E， 若△AED 的周长为 16，则边 AB 的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 1
11.如图， AB=14 ， AC=6 ， AC⊥AB ， BD⊥AB ，垂足分别为A、B.点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿 AB 向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线 BD 方向运动.点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与 △CAP 全等时，a的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或 127
12.如图，已知等边 △AOC 的边长为1，作 OD⊥AC 于点 D ，在 x 轴上取点 C1 ，使 CC1=2OD ，以 CC1 为边作等边 △A1CC1 ；作 CD1⊥A1C1 于点 D1 ，在 x 轴上取点 C2 ，使 C1C2=2CD1 ，以 C1C2 为边作等边 △A2C1C2 ；作 C1D2⊥A2C2 于点 D2 ，在 x 轴上取点 C3 ，使 C2C3=2C1D2 ，以 C2C3 为边作等边 △A3C2C3 ；…，且点 A ， A1 ， A2 ， A3 ，…，都在第一象限，如此下去，则点 D7 的纵坐标为（ ）
A. 2734 B. 814 C. 8134 D. 2434
二、填空题
13.因式分解： 1−x2= .
14.若 2a+b=5 ， a+2b=4 ，则 a2−b2= .
15.如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等.
16.如图，在 △ ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7， S△ABD ＝15，则 S△ABE ＝ ．
三、计算题
17.解分式方程： 2x2x−5 ﹣1= 2x+5 ．
先化简，再求值：（ 3x+1 ﹣x+1）÷ x2−2xx+1 ，其中﹣2≤x≤2，请从x的范围中选入一个你喜欢的值代入，求此分式的值．
四、解答题
19.如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD.求证：CF∥DE.
20.如图，在等腰 △ABC 和等腰 △ADE 中， AB=AC ， AD=AE ， ∠BAC=∠DAE 且 C、E、D 三点共线，作 AM⊥CD 于 M ，求证： BD+DM=CM ．
21.近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注.某商场计划购进一批A、B两种空气净化装置，每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同.
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据销售情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
（3）若每台A种设备售价0.6万元，每台B种设备售价1.4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？
22.阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
23.如图，已知△ABC是等边三角形．
（1）如图（1），点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC．将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF．猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（2）点E在线段BA的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB，DB，AF之间的数量关系；
（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】A、 2+3=5 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
B、 3+5>7 ，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形，此项符合题意；
C、 3+5<9 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
D、 3+5<11 ，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，只要把两条较短的边相加，看其结果是不是大于最长的边，即可得出答案.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．
故答案为：B．
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此解答即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，∴无法构成三角形，不合题意；
B.∵5+4＞8,5-4＜8，∴可以构成三角形，符合题意；
C.∵4+8=12，∴无法构成三角形，不合题意；
D. ∵4+8＜17，∴无法构成三角形，不合题意．
故答案为：B
【分析】利用三角形三边的关系，逐项判断即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解： a•a6=a1+6=a7
故答案为：B
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、是整式的乘法，故A选项不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B选项不符合题意；
C、x2+4xy﹣x＝x（x+4y﹣1），故C选项不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子的恒等变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：当分母x-2≠0即x≠2时，分式 3x−2 有意义．
故答案为：C．
【分析】分式有意义，分母不为零。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解： (3a2b+6a)÷ 3a ，
= 3a2b÷3a+6a÷3a ，
= ab+2 .
故答案为：A.
【分析】根据矩形的面积等于两邻边之积，列出算式，进而再根据多项式除以单项式法则算出答案.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、 x2﹣2x+1＝（x-1）2 ， 错误；
B、-2 a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a-2）
， 错误；
C、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，不是因式分解，错误；
D、 （m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1）
，正确；
故答案为：D.
【分析】首先根据因式分解的定义进行判断是否为分解因式，然后再对原式分别进行分解因式比较结果即可判断.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）=（1-a2）（1+a2）=1-a4.
故答案为：B.
【分析】观察代数式的特点，符合平方差公式的结构特点，由此两次利用平方差公式可求出结果.
10.【答案】 C
【解析】【解答】∵DE∥BC
∴∠EDB=∠DBC
又BD是∠ABC的角平分线
∴∠EBD=∠DBC
∴∠EBD=∠EDB
∴ED=EB
∵三角形AED的周长=AE+ED+AD=AE+EB+AD=AB+AD=16
又AD=6
∴AB=16-AD=16-6=10
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义得出∠EDB=∠DBC，根据平行线的性质得出∠EBD=∠DBC，等量代换得出∠EBD=∠EDB，求得ED=EB，即可得到结论。
11.【答案】 D
【解析】【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，
∵AC=6，AB=14，
∴PB=6，AP=AB-AP=14-6=8，
∴BQ=8，
∴8÷a=8÷2，
解得a=2；
当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，.
∵AC=6，AB=14，
∴BQ=6，AP=BP=7，
∴6÷a=7÷2，
解得a= 127 ，
由上可得a的值是2或 127 ，
故答案为：D.
【分析】分两种情况：①当△CAP≌△PBQ时，则AC=PB，AP=BQ，②当△CAP≌△QBP时，则AC=BQ，AP=BP，据此分别求解即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过D7作BD7⊥x轴，交x轴于点B ，
∵等边 △AOC 的边长为1， OD⊥AC 于点 D ，
∴ OD=32OC=32 ,
∴CC1=2OD= 3 ，
∴CD1= 32CC1=32 ,
以此类推可得：CD7= 812 ，
∴D7B= 12 CD7= 814 ．
故答案为：B
【分析】过D7作BD7⊥x轴，交x轴于点B，根据等边三角形的性质得出OD=32OC=32 ， 从而求出CC1=2OD= 3 ，继而可得CD1= 32CC1=32 ,以此类推可得：CD7= 812 ，根据D7B= 12 CD7即得结论.
二、填空题
13.【答案】 （1+x）（1-x）
【解析】【解答】对 1−x2= 用平方差公式，得 1−x2=12−x2=(1+x)(1−x)
【分析】利用平方差公式因式分解即可。
14.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3.
【分析】2a+b=5①，a+2b=4②，①+②可得a+b=3，①-②可得a-b=1，然后将原式分解为a2-b2=（a+b）（a-b），整体代入计算即可.
15.【答案】 4
【解析】【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12-x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12-4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12-x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4.
【分析】设运动x分钟后△CAP与△PQB全等，根据题意得出BP=xm，BQ=2xm，AP=（12-x）m，分两种情况讨论：①若BP=AC，得出x=4，从而得出AP=8，BQ=8，AP=BQ，即可得出△CAP≌△PBQ；②若BP=AP，得出x=6，BQ=12≠AC，得出△CAP与△PQB不全等，即可得出答案.
16.【答案】 252
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BN于G，
∵AD⊥BC ，
∠ADC=90° ，
∵∠C=45° ，
∴∠DAC=90°−∠C=45° ，
∵BF⊥MN ，
∴∠FBN+∠FNB=90° ，
∵MB=MN ，
∴∠ABN=∠FNB ，
∴∠ABN+∠BAD=90° ，
∴∠BAD=∠FBN ，
∵∠AFB=∠FBC+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAF ，
∴BA=BF ，
在 ΔABD 和 ΔBFG 中，
{∠ADB=∠BGF∠BAD=∠FBGAB=BF ，
∴ΔABD≌ΔBFG(AAS) ，
∴BD=FG，AD=BG ，
∵∠BED+∠BED=90°，∠BAD+∠ABD=90° ，
∴∠BED=∠ABD=∠FNG ，
在 ΔBDE 和 ΔFGN 中，
{∠BDE=∠FGN∠BED=∠FNGBD=FG ，
∴ΔBDE ≌ ΔFGN (AAS) ，
∴DE=GN ，
∵DE：BN=1:7 ，
∴GN：BN=1:7 ，
设ED=x，
∴DE：BG=1:6 ，
∴AD=BG=6x ，
∵∠BFG+∠GFN=∠BFG+∠FBG=90° ，
∴∠GFN=∠FBG ，
∴∠FGN=∠BGF ，
∴ΔFGN∽ΔBGF ，
∴BGFG=FGGN ，
∴BD=FG=BG⋅GN=6x ，
∵AE=AD−ED=6x−x=5x ，
∵ S△ABD ＝15，
∴SΔABD=12BD⋅AD=126x⋅6x=15 ，
∴x2=566 ，
∴SΔABE=12BD⋅AE=126x⋅5x=562x2=562×566=252 ，
故答案为： 252 ．
【分析】过点F作FG⊥BN于G，先证 BA=BF ，可证 ΔABD≌ΔBFG(AAS) ，再证 ΔBDE ≌ ΔFGN (AAS) ，可得 DE=GN ，设ED=x，可得 DE：BG=1:6 ， AD=BG=6x ，
可证 ΔFGN∽ΔBGF ，可得 BD=FG=BG⋅GN=6x ，由 S△ABD ＝15，可求 x2=566
由 SΔABE=12BD⋅AE=562x2 把 x2=566 代入计算即可．
三、计算题
17.【答案】 解：去分母得：2x（2x+5）﹣（2x﹣5）（2x+5）=2（2x﹣5），
去括号得：4x2+10x﹣4x2+25=4x﹣10，
移项得：10x﹣4x=﹣10﹣25，
合并得：6x=﹣35，
化系数为1，得：x=﹣ 356 ，
经检验：x=﹣ 356 是原方程的根．
【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
18.【答案】 解：（ 3x+1 ﹣x+1）÷ x2−2xx+1
= 3−x2+1x+1 ÷ x2−2xx+1
=﹣ x+2x
当x=﹣2时，
原式=﹣ −2+2−2 =0．
【解析】【分析】先算括号内的减法，再把除法转化成乘法进行约分，最后再从所给的x的范围内选一个符合题意的x值代入计算.注意x的值一定要使得所求的式子有意义.
四、解答题
19.【答案】 证明： ∵ AC∥BD，
∴∠A=∠B ，
∵ AE＝BF，
∴AE+EF=BF+EF ，即 AF=BE ，
又 ∵ ∠C＝∠D
∴ △ACF≌△BDE(AAS) ，
∴∠DEF=∠CFA ，
∴CF//DE
【解析】【分析】先证 △ACF≌△BDE ，得出∠DEF=∠CFA ，根据内错角相等两直线平行即可得证.
20.【答案】 证明： ∵∠BAC=∠DAE
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中
{AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD
∴△AEC≌△ADB
∴BD=CE
在等腰 △ADE 中， AM⊥DE
∴DM=EM
∴BD+DM=CE+EM=CM ．
【解析】【分析】由“SAS”可证明△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME，即可得到结论。
21.【答案】 （1）解：设A种设备每台x万元，则B种设备每台 (x+0.7) 万元，
根据题意得： 3x=7.2x+0.7 ，
解得 x=0.5 ，
经检验， x=0.5 是原方程的解，
∴ x+0.7=1.2 .
则A种设备每台0.5万元，B种设备每台l.2万元；
（2）解：设购买A种设备a台，则购买B种设备 (20−a) 台，
根据题意得： 0.5a+1.2(20−a)≤15 ，
解得： a≥907 ，
∵a为整数，
∴A种设备至少购买13台；
（3）解：每台A种设备获利 0.6−0.5=0.1 （万元），
每台B种设备获利 1.4−1.2=0.2 （万元），
∵ 0.2>0.1 ，
∴购进B种设备越多，获利越多，
∴当购买A种设备13台，B种设备23-13=7（台）时，获利最多.
【解析】【分析】（1）设A种设备每台x万元，则B种设备每台 (x+0.7) 万元，根据“3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同”列分式方程即可求解；
（2）设购买A种设备a台，则购买B种设备 (20−a) 台，根据总费用不高于15万元，列不等式求解即可；
（3）分别求出A、B两类设备每台的利润，即可得出 购进B种设备越多，获利越多， 从而即可解决问题.
22.【答案】 （1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
23.【答案】 （1）解：猜想：AB=AF+BD
（2）解：如图2，猜想：AB=AF﹣BD；
（3）解：如图（1），过点E作EG∥BC交AC于点G，得△AEG为等边三角形，
∵DE=CE，
∴∠CDE=∠ECD，
又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，
∴∠BED=∠GCE，
在△BDE和△GEC中，
{ED=EC∠BED=∠GCEBE=CG ，
∴△BDE≌△GEC，
∴BD=EG=AE
又∵AF=BE，
∴AB=BE+AE=AF+BD
【解析】【分析】先将（1）与（2）小题中的猜想写出来，证明其中的一个结论即可。
（3）小题中先做一条辅助线构造一个等边三角形，然后利用等边三角形的性质证明三角形DBE与EGC全等，得到对应边相等，再利用旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等，就可以得到AB与AF、BD之间的关系。
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