高端精品高中数学二轮专题-复数（带答案）教案

复数

知识梳理.复数

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(4)复数的模：

向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.

3．复数的运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

题型一.复数的有关概念

1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，则z＝（　　）

A． B．6i C． D．20

【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，

∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）为纯虚数，

∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，

得a，此时zi，

故选：C．

2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由z（1+3i）＝i，得，

∴z的虚部为．

故选：A．

3．已知复数（i虚数单位），则z（　　）

A． B．2 C．1 D．

【解答】解：由题意知，

利用性质，得z2，

故选：B．

4．若b+2i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a+b的值（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

【解答】解：∵ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虚数单位，

∴a＝﹣2，b＝﹣1

∴a+b＝﹣3．

故选：A．

5．设复数z满足z，则|z|＝（　　）

A．1 B． C． D．2

【解答】解：z，

故|z|＝1，

故选：A．

6．设复数z满足i，则|z|＝（　　）

A．1 B． C． D．2

【解答】解：∵复数z满足i，

∴1+z＝i﹣zi，

∴z（1+i）＝i﹣1，

∴zi，

∴|z|＝1，

故选：A．

7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（　　）

A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z| D．z2i

【解答】解：因为z（1﹣i）＝2i，所以z1+i，

则|z|；由于z的虚部是1，则A，B错，z2，则D错．

故选：C．

8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（　　）

A． B．± C．±i D．i

【解答】解：复数Z的实部为1，

设Z＝1+bi．

|Z|＝2，

可得2，

解得b．

复数Z的虚部是．

故选：B．

题型二.复数的几何意义

1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：由，

则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．

故选：C．

2．设i是虚数单位，的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵z＝1+2i，

∴z+i•1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．

∴复数z+i•在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限．

故选：A．

3．设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（　　）

A．0 B．﹣1 C．1 D．

【解答】解：∵复数（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在复平面内对应的点位于实轴上，

∴a+1＝0，即a＝﹣1．

故选：B．

4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于第　一　象限．

【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，

∴，

则复数在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限．

故答案为：一．

5．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为　　．

【解答】解：∵向量对应的复数是﹣2+i，∴A（﹣2，1），

又点A关于实轴的对称点为点B，∴B（﹣2，﹣1）．

∴向量对应的复数为﹣2﹣i，该复数的模为|﹣2﹣i|．

故答案为：．

6．已知i为虚数单位，且复数z满足，则复数z在复平面内的点到原点的距离为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由，得z＝2i2i，

∴复数z在复平面内的点的坐标为（，），到原点的距离为．

故选：B．

题型三.复数的指数幂运算

1．若复数z（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵z1+i，

∴1﹣i，

∴复数在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）；

∴它对应的点在第三象限，

故选：C．

2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（　　）

A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i

【解答】解：复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a＝1，

1﹣i．

故选：D．

3．已知复数z（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i

【解答】解：z1﹣i，

则z的虚部为﹣1，

故选：A．

4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i

【解答】解：∵i4＝1，

∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，

则z•i2020＝1+i2019化为z＝1﹣i，

∴z的虚部为﹣1．

故选：A．

5．设i是虚数单位，则复数z＝（）2013＝（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i

【解答】解：∵，

∴z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006•i＝i．

故选：D．

6．已知复数z＝﹣1+i，则（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i

【解答】解：∵z＝﹣1+i，

∴．

故选：A．

7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（　　）

A．0 B．1 C． D．2

【解答】解：∵Z＝1+i，

∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，

∴|Z2﹣Z|．

故选：C．

8．当z时，z100+z50+1的值等于　﹣i　．

【解答】解：∵zi

∴z22i+（i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1

根据复数乘方的含义，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12•z2＝﹣i

∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i

故答案为：﹣i

题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题

1．若复数z满足3z4+2i，则z＝（　　）

A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），

则3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，

∴，即a＝﹣1，b＝1．

∴z＝﹣1+i．

故选：D．

2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（　　）

A．25 B．5 C． D．2+i

【解答】解：法一、设z＝a+bi（a，b∈R），

由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，

∴，解得或．

∴．

故选：C．

法二、由z2＝3+4i，得，

则|z|．

故选：C．

3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1i，则|z1﹣z2|＝　　．

【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d为实数），

因为复数z满足，

所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，

所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，

即2ac+2bd＝﹣1，

则|z1﹣z2|．

故答案为：．

4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（　　）

A．21 B．21 C． D．2

【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作图如图：

∵|z﹣2﹣2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P（2，2）的距离，

∴|z﹣2﹣2i|的最小值为：|OP|﹣1＝21．

故选：A．

5．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（　　）

A．3+2 B．2 C．3 D．6

【解答】解：因为|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，

所以z1，对应的点在以A（1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z2对应的点在以B（0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上，

则|z1﹣z2|的几何意义是两圆上点的距离，

则则|z1﹣z2|的最大值为AB+1+2＝33．

故选：C．

6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是　　．

【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，

∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，

∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，

∴，

化为x+2y＝3．

则2x+4y≥224，

因此2x+4y的最小值是．

故答案为：．