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2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）方程x（x+3）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
4．（3分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
5．（3分）将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+3 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2﹣4x+4
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心
B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点
D．AO＝CO
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．4
8．（3分）如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．（3分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数有（ ）
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2．
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 ．
12．（3分）sin245°+cos60°＝ ．
13．（3分）已知点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，则a＝ ．
14．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
15．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率；
（2）先随机抽取—张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝x+2上的概率．
18．（9分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6．延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接OD，CD．
（1）求扇形OAD的面积．
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．（9分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质，张聪根据学习函数的经验对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，下面是张聪的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x中自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值 ；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
4
…
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与 直线越来越靠近而永不相交．
21．（10分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
22．（10分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ，请求出线段EQ长度的最小值．
23．（11分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）；
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）求∠ACB的正切值．
2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看易得底层是一个矩形，上层的左边是一个小矩形，左齐．
故选：D．
2．（3分）方程x（x+3）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
故选：C．
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
【分析】由方程无实数根得出Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，
解得m＜，
故选：A．
4．（3分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．
故选：C．
5．（3分）将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+3 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2﹣4x+4
【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出平移后解析式．
【解答】解：将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是：y＝（x+2）2＝x2+4x+4．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心
B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点
D．AO＝CO
【分析】由∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，得出点O是△ABC的内心即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】通过证明△ADE∽△ACB，可得，即可求解．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE＝4，
故选：D．
8．（3分）如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
9．（3分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数有（ ）
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据抛物线的图象求出a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，求出b＞0，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点即可判断②；根据二次函数饿性质即可判断③．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，轴对称是直线x＝﹣1，
∴a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，
解得：b＝2a＞0，
即abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
点（﹣2，y2）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（0，y2），
∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
又∵﹣0.5＜0，
∴y1＜y2，故③错误；
即正确的个数是1，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质得出k﹣1＞0，进而得出k的取值范围．
【解答】解：∵在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
∴k的取值范围为：k＞1．
故答案为：k＞1．
12．（3分）sin245°+cos60°＝ 1 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（）2+
＝+
＝1．
故答案为：1．
13．（3分）已知点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，则a＝ ﹣5 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a的值进而得出答案．
【解答】解：∵点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 4﹣π （结果保留π）．
【分析】连接OA，OB，由S阴影＝S正方形OBPA﹣S扇形AOB则可求得结果．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°＝∠BPA，
∴四边形OBPA是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴阴影部分的面积＝S正方形OBPA﹣S扇形AOB则＝22﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
15．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 8.4或2或12 ．
【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x＝，
BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）利用两根之和等于﹣，即可得出x1+x2＝2，代入x1＝﹣1，即可求出x2＝3．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＞0，
解得：m＜3，
∴m的取值范围为m＜3．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2＝2，
又∵x1＝﹣1，
∴﹣1+x2＝2，
∴x2＝3，
∴另一个根x2的值为3．
17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率；
（2）先随机抽取—张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝x+2上的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）直接利用列表法法列举出所有可能进而得出答案．
【解答】解：（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率为＝；
（2）列表如下：
共有16个可能的结果，点A在直线y＝x+2上的结果有2个，
∴点A在直线y＝x+2上的概率为＝．
18．（9分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝x，则AC＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，
∵∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，
∴＝，
解得x＝3﹣．
经检验，x＝3﹣是原方程的根．
∴AC＝x＝（3﹣）＝（3﹣）km．
答：船C离观测站A的距离为（3﹣）km．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6．延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接OD，CD．
（1）求扇形OAD的面积．
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠AOD＝60°，解直角三角形求得AC＝3，即可求得OA＝3，利用扇形的面积公式求得即可；
（2）求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，进而求出∠ODC＝90°，即可证得CD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝3，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴＝；
（2）CD所在直线与⊙O相切，理由如下：
∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线．
20．（9分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质，张聪根据学习函数的经验对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，下面是张聪的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x中自变量x的取值范围是 x≠2 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值 0 ；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
4
…
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 （2，2） ；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与 y＝x 直线越来越靠近而永不相交．
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x＝3代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
②观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2；
（2）当x＝1时，m＝﹣1+1＝0，
故答案为0；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．
故答案为（2，2）；
②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．
故答案为y＝x．
21．（10分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）根据每天的利润等于每千克的利润乘以每天的销售量，可得w关于x 的函数关系式；
（2）将w＝﹣2x2+120x﹣1600配方，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150，求得x值，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600；故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150
解得x1＝25，x2＝35
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
22．（10分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ，请求出线段EQ长度的最小值．
【分析】【发现】先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究】结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；
【应用】先构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，进而判断出要使EQ最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，最后用解直角三角形即可得出结论．
【解答】解：【发现】由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP；
【应用】如图3，
在DF上取一点H，使DH＝DE＝6，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，
由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠PDQ＝∠EDF，
∴∠EDQ＝∠HDP，
∴△DEQ≌△DHP（SAS），
∴EQ＝HP，
要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，
∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，
即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，
过点E作EG⊥DF于G，
在Rt△DEG中，DE＝6，∠EDF＝60°，
∴∠DEG＝30°，
∴DG＝DE＝3，
∴EG＝DG＝3，
在Rt△EGF中，∠FEG＝∠DEF﹣∠DEG＝90°﹣30°＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠FEG＝30°，FG＝EG＝9，
∴DF＝DG+FG＝12，
∴FH＝DF﹣DH＝12﹣6＝6，
在Rt△HMF中，∠F＝30°，
∴HM＝FH＝3，
即：EQ的最小值为3．
23．（11分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）；
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）求∠ACB的正切值．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入求出a得到抛物线解析式；
（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），根据三角形面积公式得到×（1+3）×|﹣t2﹣2t+3|＝10，然后解绝对值方程得到P点坐标；
（3）过B点作BH⊥AC于H，如图，先计算出AB＝4，AC＝3，BC＝，再利用面积法求出BH＝2，接着利用勾股定理计算出CH＝，然后利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×（0+3）（0﹣1）＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵S△PAB＝10，
∴×（1+3）×|﹣t2﹣2t+3|＝10，
方程﹣t2﹣2t+3＝5没有实数解，
解方程﹣t2﹣2t+3＝﹣5得t1＝﹣4，t2＝2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣5），（2，﹣5）；
（3）过B点作BH⊥AC于H，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AB＝4，AC＝＝3，BC＝＝，
∵×BH×AC＝×OC×AB，
∴BH＝＝2，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝，
∴tan∠HCB＝＝＝2，
即∠ACB的正切值为2．
2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）方程x（x+3）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
4．（3分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
5．（3分）将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+3 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2﹣4x+4
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心
B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点
D．AO＝CO
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．4
8．（3分）如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．（3分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数有（ ）
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2．
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 ．
12．（3分）sin245°+cos60°＝ ．
13．（3分）已知点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，则a＝ ．
14．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
15．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率；
（2）先随机抽取—张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝x+2上的概率．
18．（9分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6．延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接OD，CD．
（1）求扇形OAD的面积．
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．（9分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质，张聪根据学习函数的经验对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，下面是张聪的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x中自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值 ；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
4
…
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 ；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与 直线越来越靠近而永不相交．
21．（10分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
22．（10分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ，请求出线段EQ长度的最小值．
23．（11分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）；
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）求∠ACB的正切值．
2020-2021学年河南省濮阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看易得底层是一个矩形，上层的左边是一个小矩形，左齐．
故选：D．
2．（3分）方程x（x+3）＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（x+3）＝0，
∴x＝0或x+3＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
故选：C．
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠1
【分析】由方程无实数根得出Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解之可得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，
解得m＜，
故选：A．
4．（3分）下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（ ）
①函数y＝x；②函数y＝x2；③函数y＝．
A．①② B．②③ C．①③ D．都不是
【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．
【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．
故选：C．
5．（3分）将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝x2+4x+3 C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2﹣4x+4
【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出平移后解析式．
【解答】解：将函数y＝x2的图象向左平移2个单位后，得到的新图象的解析式是：y＝（x+2）2＝x2+4x+4．
故选：C．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O是△ABC的内切圆的圆心
B．CE⊥AB
C．△ABC的内切圆经过D，E两点
D．AO＝CO
【分析】由∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，得出点O是△ABC的内心即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠ACB的平分线CE交于点O，
∴点O是△ABC的内切圆的圆心；
故选：A．
7．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，且∠AED＝∠B，AD＝3，AC＝6，DB＝5，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．4
【分析】通过证明△ADE∽△ACB，可得，即可求解．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∴AE＝4，
故选：D．
8．（3分）如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
9．（3分）如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值：
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y＝ax2+bx+c
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可．
【解答】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：其中正确的个数有（ ）
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2．
A．1 B．2 C．3 D．0
【分析】根据抛物线的图象求出a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，求出b＞0，即可判断①，根据抛物线与x轴有两个交点即可判断②；根据二次函数饿性质即可判断③．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，与y轴的交点在y轴的负半轴上，轴对称是直线x＝﹣1，
∴a＞0，c＜0，﹣＝﹣1，
解得：b＝2a＞0，
即abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
点（﹣2，y2）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标是（0，y2），
∵抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
又∵﹣0.5＜0，
∴y1＜y2，故③错误；
即正确的个数是1，
故选：A．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，则k的取值范围是 k＞1 ．
【分析】直接利用反比例函数的性质得出k﹣1＞0，进而得出k的取值范围．
【解答】解：∵在反比例函数y＝的图象的每一支上，y都随x的增大而减少，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
∴k的取值范围为：k＞1．
故答案为：k＞1．
12．（3分）sin245°+cos60°＝ 1 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：原式＝（）2+
＝+
＝1．
故答案为：1．
13．（3分）已知点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，则a＝ ﹣5 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a的值进而得出答案．
【解答】解：∵点P1（a，3）与P2（5，﹣3）关于原点对称，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为 4﹣π （结果保留π）．
【分析】连接OA，OB，由S阴影＝S正方形OBPA﹣S扇形AOB则可求得结果．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°＝∠BPA，
∴四边形OBPA是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴阴影部分的面积＝S正方形OBPA﹣S扇形AOB则＝22﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
15．（3分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为 8.4或2或12 ．
【分析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，根据垂直的定义得到∠B＝∠D＝90°，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当时，△ABP∽△CDP，即；当时，△ABP∽△PDC，即；然后分别解方程求出x即可．
【解答】解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即；
解得x＝，
BP＝14﹣＝8.4；
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：8.4或2或12．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1＝﹣1时，求另一个根x2的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）利用两根之和等于﹣，即可得出x1+x2＝2，代入x1＝﹣1，即可求出x2＝3．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＞0，
解得：m＜3，
∴m的取值范围为m＜3．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2＝2，
又∵x1＝﹣1，
∴﹣1+x2＝2，
∴x2＝3，
∴另一个根x2的值为3．
17．（9分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字﹣2，﹣1，0，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率；
（2）先随机抽取—张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表的方法求出点A在直线y＝x+2上的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）直接利用列表法法列举出所有可能进而得出答案．
【解答】解：（1）随机的取—张卡片，求抽取的卡片上的数字为非正数的概率为＝；
（2）列表如下：
共有16个可能的结果，点A在直线y＝x+2上的结果有2个，
∴点A在直线y＝x+2上的概率为＝．
18．（9分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB＝2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向．求船C离观测站A的距离．
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
设AD＝x，则AC＝x，
∴BD＝AB﹣AD＝2﹣x，
∵∠CBD＝60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD＝，
∴＝，
解得x＝3﹣．
经检验，x＝3﹣是原方程的根．
∴AC＝x＝（3﹣）＝（3﹣）km．
答：船C离观测站A的距离为（3﹣）km．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝6．延长CA到O，使AO＝AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接OD，CD．
（1）求扇形OAD的面积．
（2）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接OD，求出∠OAD＝60°，得出等边三角形OAD，求出AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠AOD＝60°，解直角三角形求得AC＝3，即可求得OA＝3，利用扇形的面积公式求得即可；
（2）求出∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，进而求出∠ODC＝90°，即可证得CD是⊙O的切线．
【解答】解：（1）∵AB＝6，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴OD＝OA＝AC＝AB＝3，
∵∠BCA＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAD＝∠BAC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴＝；
（2）CD所在直线与⊙O相切，理由如下：
∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝OA＝AC，∠ODA＝∠O＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝∠OAD＝30°，
∴∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥DC，
∵OD为半径，
∴CD是⊙O的切线．
20．（9分）有这样一个问题：探究函数y＝+x的图象与性质，张聪根据学习函数的经验对函数y＝+x的图象与性质进行了探究，下面是张聪的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝+x中自变量x的取值范围是 x≠2 ；
（2）下表是y与x的几组对应值，请直接写出m的值 0 ；
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
4
5
6
…
y
…
﹣
﹣
﹣
m
﹣
﹣
4
…
（3）在平面直角坐标系xOy中，描出了表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）根据画出的函数图象，发现下列特征：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是 （2，2） ；
②该函数的图象与直线x＝2越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与 y＝x 直线越来越靠近而永不相交．
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x＝3代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）①观察函数图象，根据对称中心的定义即可求解；
②观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2；
（2）当x＝1时，m＝﹣1+1＝0，
故答案为0；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：
①该函数的图象是中心对称图形，对称中心的坐标是（2，2）．
故答案为（2，2）；
②该函数的图象与过点（2，0）且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交，该函数的图象还与直线y＝x越来越靠近而永不相交．
故答案为y＝x．
21．（10分）某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种商品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）根据每天的利润等于每千克的利润乘以每天的销售量，可得w关于x 的函数关系式；
（2）将w＝﹣2x2+120x﹣1600配方，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150，求得x值，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【解答】解：（1）由题意得：
w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600；故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150
解得x1＝25，x2＝35
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
22．（10分）（一）发现探究
在△ABC中AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ；
【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是 BQ＝PC ；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；
（二）拓展应用
【应用】如图3，在△DEF中，DE＝6，∠EDF＝60°，∠DEF＝90°，P是线段EF上的任意一点连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ，请求出线段EQ长度的最小值．
【分析】【发现】先判断出∠BAQ＝∠CAP，进而用SAS判断出△BAQ≌△CAP，即可得出结论；
【探究】结论BQ＝PC仍然成立，理由同【发现】的方法；
【应用】先构造出△DEQ≌△DHP，得出EQ＝HP，进而判断出要使EQ最小，当HP⊥EF（点P和点M重合）时，EQ最小，最后用解直角三角形即可得出结论．
【解答】解：【发现】由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP，
故答案为：BQ＝PC；
【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，
理由：由旋转知，AQ＝AP，
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，
∴∠BAQ＝∠CAP，
∵AB＝AC，
∴△BAQ≌△CAP（SAS），
∴BQ＝CP；
【应用】如图3，
在DF上取一点H，使DH＝DE＝6，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，
由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠PDQ＝∠EDF，
∴∠EDQ＝∠HDP，
∴△DEQ≌△DHP（SAS），
∴EQ＝HP，
要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，
∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，
即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，
过点E作EG⊥DF于G，
在Rt△DEG中，DE＝6，∠EDF＝60°，
∴∠DEG＝30°，
∴DG＝DE＝3，
∴EG＝DG＝3，
在Rt△EGF中，∠FEG＝∠DEF﹣∠DEG＝90°﹣30°＝60°，
∴∠F＝90°﹣∠FEG＝30°，FG＝EG＝9，
∴DF＝DG+FG＝12，
∴FH＝DF﹣DH＝12﹣6＝6，
在Rt△HMF中，∠F＝30°，
∴HM＝FH＝3，
即：EQ的最小值为3．
23．（11分）如图，抛物线与x轴相交于点A（﹣3，0）点B（1，0），与y轴交于点C（0，3）；
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标；
（3）求∠ACB的正切值．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入求出a得到抛物线解析式；
（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），根据三角形面积公式得到×（1+3）×|﹣t2﹣2t+3|＝10，然后解绝对值方程得到P点坐标；
（3）过B点作BH⊥AC于H，如图，先计算出AB＝4，AC＝3，BC＝，再利用面积法求出BH＝2，接着利用勾股定理计算出CH＝，然后利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×（0+3）（0﹣1）＝3，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设P（t，﹣t2﹣2t+3），
∵S△PAB＝10，
∴×（1+3）×|﹣t2﹣2t+3|＝10，
方程﹣t2﹣2t+3＝5没有实数解，
解方程﹣t2﹣2t+3＝﹣5得t1＝﹣4，t2＝2，
∴P点坐标为（﹣4，﹣5），（2，﹣5）；
（3）过B点作BH⊥AC于H，如图，
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AB＝4，AC＝＝3，BC＝＝，
∵×BH×AC＝×OC×AB，
∴BH＝＝2，
在Rt△BCH中，CH＝＝＝，
∴tan∠HCB＝＝＝2，
即∠ACB的正切值为2．
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