2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 解析版

这是一份2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制） 解析版，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答题卡的相应位置上，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．如图所示的图形中：其中是轴对称图形的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的第三边长可能是（　　）
A．3cm B．11cm C．7cm D．15cm
3．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是（　　）

A．25° B．35° C．40° D．45°
4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC
5．△ABC的三边分别为a、b、c，其对角分别为∠A、∠B、∠C．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠A﹣∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．b2﹣a2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
7．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形
拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　）

A．169 B．196 C．392 D．588
8．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB＝5，AC＝7，BC＝8，△AEF的周长为（　　）

A．13 B．12 C．15 D．20
10．如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝40°，则∠BMC＝（　　）

A．135° B．120° C．100° D．110°
11．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝12cm，BC＝16cm如图，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
12．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）

A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果）
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D．若AD＝2，BD＝3，则AC的长度x的取值范围为 　 　．

14．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是　 　．

15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，AB＝5，D是BC边延长线上的一点，并且∠D＝15°，则CD的长为　 　．

16．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为 　 　．

17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．

三、解答题：（本大题共3小题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
18．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC．求证：AD＝CD．

19．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，AE＝CF．
求证：
（1）DE＝BF；
（2）AB∥CD．

20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．


2021-2022学年山东省济南市钢城区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答题卡的相应位置上，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分）
1．如图所示的图形中：其中是轴对称图形的共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个不是轴对称图形；
第二个是轴对称图形；
第三个是轴对称图形；
第四个是轴对称图形；
综上可得轴对称图形有3个．
故选：C．
2．已知三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的第三边长可能是（　　）
A．3cm B．11cm C．7cm D．15cm
【分析】已知三角形的两边长分别为4cm和7cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
【解答】解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．
因此，本题的第三边应满足3＜x＜11，把各项代入不等式符合的即为答案．
3，11，15都不符合不等式3＜x＜11，只有7符合不等式，故答案为7cm．
故选：C．
3．如图，已知CF垂直平分AB于点E，∠ACD＝70°，则∠A的度数是（　　）

A．25° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA＝CB，则有∠B＝∠A，再根据三角形外角的性质得到∠ACD＝∠A+∠B＝70°，由此求出∠A的度数．
【解答】解：∵CF垂直平分AB，
∴CA＝CB，
∴∠B＝∠A．
∵∠ACD＝∠A+∠B＝70°，
∴∠A＝∠B＝35°．
故选：B．
4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．AD＝AE B．∠AEB＝∠ADC C．BE＝CD D．AB＝AC
【分析】根据AAS即可判断A；根据三角对应相等的两三角形不一定全等即可判断B；根据AAS即可判断C；根据ASA即可判断D．
【解答】解：A、根据AAS（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AD＝AE）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
C、根据AAS（∠A＝∠A，∠B＝∠C，BE＝CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
D、根据ASA（∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
故选：B．
5．△ABC的三边分别为a、b、c，其对角分别为∠A、∠B、∠C．下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠A﹣∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．b2﹣a2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和定理判断A、D即可；根据勾股定理的逆定理判断B、C即可．
【解答】解：A、∵∠B＝∠A﹣∠C，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项错误；
B、∵52+122＝132，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
C、∵b2﹣a2＝c2，
∴b2＝a2+c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
6．如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，
∴BE＝BC，
∴∠ACB＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠A＝∠EBC，
故选：C．
7．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形
拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　）

A．169 B．196 C．392 D．588
【分析】24和10为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF2的长．
【解答】解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
∴小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF2＝142+142＝392，
故选：C．
8．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OB于E，
∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP＝∠AOB＝30°，
在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故选：A．

9．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB＝5，AC＝7，BC＝8，△AEF的周长为（　　）

A．13 B．12 C．15 D．20
【分析】根据平行线性质和角平分线定义得出∠EDB＝∠EBD，推出BE＝ED，同理DF＝CF，求出△AEF的周长＝AB+AC，代入求出即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+BE+CF+AF
＝AB+AC
＝5+7
＝12．
故选：B．
10．如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝40°，则∠BMC＝（　　）

A．135° B．120° C．100° D．110°
【分析】利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
【解答】解：若∠1＝40°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣40°＝140°．
∴∠BMA1+∠CMD1＝70°．
∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝110°．
故选：D．
11．有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝12cm，BC＝16cm如图，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得DE的长．
【解答】解：∵AC＝12cm，BC＝16cm，
∴AB＝20cm，
∵AE＝12cm（折叠的性质），
∴BE＝8cm，
设CD＝DE＝x，则在Rt△DEB中，82+x2＝（16﹣x）2，
解得x＝6，
即DE等于6cm．
故选：A．
12．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（　　）

A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，

延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，
∴BD＝16cm，
Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D＝＝12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结果）
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D．若AD＝2，BD＝3，则AC的长度x的取值范围为 　1＜x＜5　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝3，根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝3，
在△ADC中，3﹣2＜AC＜3+2，即1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5．
14．如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝118°，则∠A的大小是　56°　．

【分析】先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC+∠ACB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵△BOC中，∠BOC＝118°，
∴∠1+∠2＝180°﹣118°＝62°．
∵BO和CO是△ABC的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°，
在△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB＝124°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣124°＝56°．
故答案为：56°．

15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，AB＝5，D是BC边延长线上的一点，并且∠D＝15°，则CD的长为　10　．

【分析】求出∠ACB＝30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AC，根据三角形外角性质和等腰三角形的判定推出AC＝CD，即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠D＝15°，
∴∠CAD＝∠ACB﹣∠D＝15°＝∠D，
∴CD＝AC，
∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∴CD＝10，
故答案为：10．
16．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动．若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为 　4.8　．

【分析】根据垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法求出此时BP的长．
【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
如图，过A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，
又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝＝＝4，
又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，
∴BP＝＝＝4.8．
故答案为：4.8．

17．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　4　秒．

【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
三、解答题：（本大题共3小题，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
18．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC．求证：AD＝CD．

【分析】根据SAS证明△ABD与△CBD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AD＝CD．
19．已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，AE＝CF．
求证：
（1）DE＝BF；
（2）AB∥CD．

【分析】（1）由AE＝CF，利用等式的性质得到AF＝CE，利用HL得到直角三角形CDE与直角三角形ABF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．
【解答】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在Rt△CDE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），
∴DE＝BF；
（2）∵△CDE≌△ABF，
∴∠C＝∠A，
∴DC∥AB．
20．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝65°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC与∠CAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAD的度数，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝65°，
∴∠BAC＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝42.5°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90，
∴∠CAE＝25°，
∴∠DAE＝CAD﹣∠CAE＝17.5°．