2021-2022学年山东省济宁市任城区八年级(上)期中数学试卷(五四学制) 解析版
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一、选择题(本大题满分30分,每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项,请你将正确选项的代号填在答题栏内)
1.(3分)下列各式中,是分式的是( )
A.x B. C. D.
2.(3分)若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠﹣1 B.x≠1 C.x=﹣1 D.x=1
3.(3分)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x﹣y)=ax﹣ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)
4.(3分)山茶花是温州市的市花、品种多样,“金心大红”是其中的一种.某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录,统计如下表:
株数(株)
7
9
12
2
花径(cm)
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的众数为( )
A.6.5cm B.6.6cm C.6.7cm D.6.8cm
5.(3分)化简的结果是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣a D.a
6.(3分)下列各式中,哪项可以使用平方差公式分解因式( )
A.﹣a2﹣b2 B.﹣a2+9 C.p2﹣(﹣q2) D.a2﹣b3
7.(3分)如果,那么的值为( )
A. B. C. D.
8.(3分)去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵,每棵产量的平均数(单位:千克)及方差S2(单位:千克2)如表所示:
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植,应选的品种是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.(3分)某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道,为尽量减少施工对交通造成的影响,施工时“×××”,设实际每天改造人行步道x米,则可得方程+25,根据已有信息,题中用“×××”表示的缺失的条件应补为( )
A.每天比原计划多铺设18米,结果提前25天完成
B.每天比原计划多铺设18米,结果延期25天完成
C.每天比原计划少铺设18米,结果延期25天完成
D.每天比原计划少铺设18米,结果提前25天完成
10.(3分)如图,设k=(a>b>0),则k的值可以为( )
A. B.1 C. D.2
二、填空题(本大题满分15分,每小题3分,请你将答案填写在题目中的横线上).
11.(3分)单项式4m2n2与12m3n2的公因式是 .
12.(3分)5月1日至7日,某市每日最高气温如图所示,则中位数是 .
13.(3分)多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,则m= .
14.(3分)已知x﹣y=2,=1,求x2y﹣xy2= .
15.(3分)分解因式x2+3x+2的过程,可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如右图).这样,我们可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).请利用这种方法,分解因式2x2﹣3x﹣2= .
三、解答题(本大题满分55分,解答要写出必要的文字说明或推演步骤).
16.(6分)分解因式:
(1)x3﹣25x;
(2)m(a﹣3)+2(3﹣a).
17.(6分)计算:
(1)4a2b÷(﹣)2.
(2).
18.(6分)解分式方程:
(1);
(2).
19.(6分)为了了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽取了50名八年级学生,对其每周平均课外阅读时间进行统计,并绘制成下面的统计图.
(1)这50名同学每周阅读时间的众数为 小时,中位数为 小时;
(2)求出这组数据的平均数.
20.(6分)利用因式分解计算:
(1)22014﹣22013;
(2)(﹣2)101+(﹣2)100.
21.(6分)先化简,再求值:,其中a=﹣2.
22.(6分)某公司对甲、乙两名应聘者进行面试,并按专业知识、工作经验和仪表形象三项给应聘者打分,每项满分20分,打分结果如下表(单位:分):
专业知识
工作经验
仪表形象
甲
14
18
12
乙
18
16
11
根据实际需要,公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项得分按6:3:1的比确定应聘者的最终成绩,那么应该录用谁?请说明理由.
23.(6分)对于任意实数a,b我们规定:a⊗b=.根据上述规定解决下列问题:
(1)计算:(﹣)⊗(﹣1).
(2)若(x﹣3)⊗(x+3)=1,求x的值.
24.(7分)近年来,雾霾天气给人们的生活带来很大影响,空气质量问题倍受人们关注.某单位计划在室内安装空气净化装置,需购进A,B两种设备.已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元,花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同.
(1)求A,B两种设备每台各多少万元.
(2)根据单位实际情况,需购进A,B两种设备共18台,总费用不高于14万元,求A种设备至少要购买多少台?
2021-2022学年山东省济宁市任城区八年级(上)期中数学试卷(五四学制)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题满分30分,每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项,请你将正确选项的代号填在答题栏内)
1.(3分)下列各式中,是分式的是( )
A.x B. C. D.
【分析】根据分式的定义即可求出答案.
【解答】解:A、x是单项式,故A不符合题意.
B、是分式,故B符合题意.
C、是单项式,故C不符合题意.
D、+1是多项式,故D不符合题意.
故选:B.
2.(3分)若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≠﹣1 B.x≠1 C.x=﹣1 D.x=1
【分析】直接利用分式有意义即分母不为零,进而得出答案.
【解答】解:∵分式有意义,
∴x+1≠0,
解得:x=﹣1.
故选:A.
3.(3分)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.a(x﹣y)=ax﹣ay B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3 D.x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,结合选项进行判断即可.
【解答】解:A、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
B、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
C、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故本选项错误;
D、符合因式分解的定义,故本选项正确;
故选:D.
4.(3分)山茶花是温州市的市花、品种多样,“金心大红”是其中的一种.某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录,统计如下表:
株数(株)
7
9
12
2
花径(cm)
6.5
6.6
6.7
6.8
这批“金心大红”花径的众数为( )
A.6.5cm B.6.6cm C.6.7cm D.6.8cm
【分析】根据表格中的数据,可以得到这组数据的中位数,本题得以解决.
【解答】解:由表格中的数据可得,
这批“金心大红”花径的众数为6.7,
故选:C.
5.(3分)化简的结果是( )
A.﹣1 B.1 C.﹣a D.a
【分析】把所求式子的分母提取a分解因式,分子提取﹣1,然后分子分母同时除以a﹣2,约分后即可得到化简结果.
【解答】解:=﹣=﹣a.
故选:C.
6.(3分)下列各式中,哪项可以使用平方差公式分解因式( )
A.﹣a2﹣b2 B.﹣a2+9 C.p2﹣(﹣q2) D.a2﹣b3
【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形式,且符号相反,据此判断即可.
【解答】解:∵﹣a2、﹣b2的符号相同,
∴﹣a2﹣b2不能使用平方差公式分解因式,
∴选项A不正确.
∵﹣a2、9都能写成平方的形式,且符号相反,
∴﹣a2+9能使用平方差公式分解因式,
∴选项B正确.
∵p2﹣(﹣q2)=p2+q2,p2、q2的符号相同,
∴p2﹣(﹣q2)不能使用平方差公式分解因式,
∴选项C不正确.
∵b3是立方的形式,
∴a2﹣b3不能使用平方差公式分解因式,
∴选项D不正确.
故选:B.
7.(3分)如果,那么的值为( )
A. B. C. D.
【分析】由知a=2b,代入消去b即可得.
【解答】解:∵,
∴2a+2b=3a,
则a=2b,
∴==,
故选:B.
8.(3分)去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵,每棵产量的平均数(单位:千克)及方差S2(单位:千克2)如表所示:
甲
乙
丙
丁
24
24
23
20
S2
2.1
1.9
2
1.9
今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植,应选的品种是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好,然后比较方差得到乙组的状态稳定.
【解答】解:因为甲组、乙组的平均数丙组比丁组大,
而乙组的方差比甲组的小,
所以乙组的产量比较稳定,
所以乙组的产量既高又稳定,
故选:B.
9.(3分)某工程队在某街道改造一条长6000米的人行步道,为尽量减少施工对交通造成的影响,施工时“×××”,设实际每天改造人行步道x米,则可得方程+25,根据已有信息,题中用“×××”表示的缺失的条件应补为( )
A.每天比原计划多铺设18米,结果提前25天完成
B.每天比原计划多铺设18米,结果延期25天完成
C.每天比原计划少铺设18米,结果延期25天完成
D.每天比原计划少铺设18米,结果提前25天完成
【分析】根据题意和题目中的方程可知,实际每天改造人行步道x米,则原计划每天改造人行步道(x﹣18)米,实际比原计划提前25天,从而可以选出符合题意的选项.
【解答】解:由题意可得,
题中用“×××”表示的缺失的条件应补为:每天比原计划多铺设18米,结果提前25天完成,
故选:A.
10.(3分)如图,设k=(a>b>0),则k的值可以为( )
A. B.1 C. D.2
【分析】分别表示出两个阴影部分的面积,然后结合分式的约分法则进行约分化简.
【解答】解:由题意,S甲阴影=a2﹣b2,S乙阴影=a2﹣ab,
∴k===,
又∵a>b>0,
∴2a>a+b>a,
∴1<<2,
故选:C.
二、填空题(本大题满分15分,每小题3分,请你将答案填写在题目中的横线上).
11.(3分)单项式4m2n2与12m3n2的公因式是 4m2n2 .
【分析】找到系数的公共部分,再找到因式的公共部分即可.
【解答】解:由于4和12的公因数是4,m2n2和m3n2的公共部分为m2n2,
所以4m2n2与12m3n2的公因式是4m2n2.
故答案为4m2n2.
12.(3分)5月1日至7日,某市每日最高气温如图所示,则中位数是 27℃ .
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【解答】解:把这些数从小到大排列为:23,25,26,27,30,33,33,
最中间的数是27,
则中位数是27℃.
故答案为:27℃.
13.(3分)多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,则m= ±10 .
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.
【解答】解:∵多项式x2+mx+25能用完全平方公式分解因式,
∴m=±10.
故答案为:±10.
14.(3分)已知x﹣y=2,=1,求x2y﹣xy2= ﹣4 .
【分析】将=1变形后得到y﹣x=xy,再将多项式因式分解后整体代入可得结论.
【解答】解:∵=1,
∴y﹣x=xy.
∵x﹣y=2,
∴y﹣x=xy=﹣2,
∴原式=xy(x﹣y)=﹣2×2=﹣4.
故答案为:﹣4.
15.(3分)分解因式x2+3x+2的过程,可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如右图).这样,我们可以得到x2+3x+2=(x+1)(x+2).请利用这种方法,分解因式2x2﹣3x﹣2= (2x+1)(x﹣2) .
【分析】根据题中的方法将原式分解即可.
【解答】解:原式=(2x+1)(x﹣2),
故答案为:(2x+1)(x﹣2)
三、解答题(本大题满分55分,解答要写出必要的文字说明或推演步骤).
16.(6分)分解因式:
(1)x3﹣25x;
(2)m(a﹣3)+2(3﹣a).
【分析】(1)先利用提公因式法,再利用平方差公式进行因式分解;
(2)提公因式法分解因式即可.
【解答】解:(1)原式=x(x2﹣25)=x(x+5)(x﹣5);
(2)原式=m(a﹣3)﹣2(a﹣3)
=(a﹣3)(m﹣2).
17.(6分)计算:
(1)4a2b÷(﹣)2.
(2).
【分析】(1)原式先算乘方,然后再算除法;
(2)原式变形后根据同分母分式的减法计算法则进行计算.
【解答】解:(1)原式=4a2b÷
=4a2b
=b3;
(2)原式=﹣
=
=
=a+b.
18.(6分)解分式方程:
(1);
(2).
【分析】(1)通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题.
(2)通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验解决此题.
【解答】解:(1),
方程同乘x(x﹣1),得2(x﹣1)﹣3x=0.
去括号,得2x﹣2﹣3x=0.
移项,得2x﹣3x=2.
合并同类项,得﹣x=2.
x的系数化为1,得x=﹣2.
经检验:当x=﹣2时,x(x﹣1)≠0.
∴该分式方程的解为x=﹣2.
(2),
方程两边同乘x﹣2,得x﹣1=1+3(x﹣2).
去括号,得x﹣1=1+3x﹣6.
移项,得x﹣3x=1﹣6+1.
合并同类项,得﹣2x=﹣4.
x的系数化为1,得x=2.
经检验:当x=2时,x﹣2=0.
∴x=2是该分式方程的增根.
∴该分式方程无解.
19.(6分)为了了解某校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况,随机抽取了50名八年级学生,对其每周平均课外阅读时间进行统计,并绘制成下面的统计图.
(1)这50名同学每周阅读时间的众数为 3 小时,中位数为 3 小时;
(2)求出这组数据的平均数.
【分析】(1)直接利用众数以及中位数的定义得出答案;
(2)直接利用平均数的求法得出答案.
【解答】解:(1)数据3小时出现了20次,出现次数最多,所以众数是3小时;
这组数据总数为50,所以中位数是第25、26位数的平均数,即(3+3)÷2=3小时.
故答案为:3,3;
(2)这组数据的平均数:=(小时).
20.(6分)利用因式分解计算:
(1)22014﹣22013;
(2)(﹣2)101+(﹣2)100.
【分析】(1)根据22014=2×22013进行解答即可;
(2)根据(﹣2)101=(﹣2)×(﹣2)100进行解答.
【解答】解:(1)22014﹣22013=2×22013﹣22013=22013;
(2)(﹣2)101+(﹣2)100=(﹣2)×(﹣2)100+(﹣2)100=﹣2100.
21.(6分)先化简,再求值:,其中a=﹣2.
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
【解答】解:原式=•=•=,
当a=﹣2时,原式==﹣5.
22.(6分)某公司对甲、乙两名应聘者进行面试,并按专业知识、工作经验和仪表形象三项给应聘者打分,每项满分20分,打分结果如下表(单位:分):
专业知识
工作经验
仪表形象
甲
14
18
12
乙
18
16
11
根据实际需要,公司将专业知识、工作经验和仪表形象三项得分按6:3:1的比确定应聘者的最终成绩,那么应该录用谁?请说明理由.
【分析】根据加权平均数计算出甲和乙应聘者的最后得分,看谁的分数高,分数高的就录用.
【解答】解:甲的最后得分:=15(分),
乙的最后得分:=16.7(分),
∵15<16.7,
∴应该录用乙.
23.(6分)对于任意实数a,b我们规定:a⊗b=.根据上述规定解决下列问题:
(1)计算:(﹣)⊗(﹣1).
(2)若(x﹣3)⊗(x+3)=1,求x的值.
【分析】(1)根据新运算得出算式,再根据有理数的运算法则求出即可;
(2)根据新运算得出算式,再解分式方程即可.
【解答】解:(1)(﹣)⊗(﹣1)
=
=
=;
(2)(x﹣3)⊗(x+3)=1,
=1,
=1,
方程两边都乘以5x﹣9,得x﹣3=5x﹣9,
解得:x=,
经检验x=是原方程的解,
所以x=.
24.(7分)近年来,雾霾天气给人们的生活带来很大影响,空气质量问题倍受人们关注.某单位计划在室内安装空气净化装置,需购进A,B两种设备.已知每台B种设备比每台A种设备价格多0.6万元,花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同.
(1)求A,B两种设备每台各多少万元.
(2)根据单位实际情况,需购进A,B两种设备共18台,总费用不高于14万元,求A种设备至少要购买多少台?
【分析】(1)设每台A种设备x万元,则每台B种设备(x+0.6)万元,根据数量=总价÷单价结合花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之并检验后即可得出结论;
(2)设购买A种设备m台,则购买B种设备(18﹣m)台,根据总价=单价×数量结合总费用不高于14万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,取其内的最小正整数即可.
【解答】解:(1)设每台A种设备x万元,则每台B种设备(x+0.6)万元,
根据题意得:=,
解得:x=0.5.
经检验,x=0.5是原方程的解,
∴x+0.6=1.1.
答:每台A种设备0.5万元,每台B种设备1.1万元;
(2)设购买A种设备m台,则购买B种设备(18﹣m)台,
根据题意得:0.5m+1.1(18﹣m)≤14,
解得:m≥.
∵m为整数,
∴m≥10.
答:A种设备至少要购买10台.
2022-2023学年山东省济宁市任城区七年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析): 这是一份2022-2023学年山东省济宁市任城区七年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析),共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济宁市任城区八年级(上)期末数学试卷(五四学制)(含解析): 这是一份2023-2024学年山东省济宁市任城区八年级(上)期末数学试卷(五四学制)(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市任城区八年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析): 这是一份2022-2023学年山东省济宁市任城区八年级(下)期中数学试卷(五四学制)(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。