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2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
3．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
4．（3分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
5．（3分）已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法：①DE＝DF，②AE＝AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图中共有3对全等三角形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（3分）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜5 B．x＜3 C．5＜x D．﹣5＜x＜3
7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是 ．
10．（3分）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
11．（3分）如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
12．（3分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 ．
13．（3分）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内．
14．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
16．（6分）如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
17．（5分）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
18．（6分）一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
19．（6分）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
21．（7分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 厘米；
②BP＝ 厘米；
③CP＝ 厘米；
④CQ＝ 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
23．（10分）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】：
（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．（3分）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解．
【解答】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．
3．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
边数n＝360°÷40°＝9．
故选：C．
4．（3分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和．
【解答】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故选：C．
5．（3分）已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法：①DE＝DF，②AE＝AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图中共有3对全等三角形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意可以推出DE＝DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．
【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，AD平分∠EDF．
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜5 B．x＜3 C．5＜x D．﹣5＜x＜3
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【解答】解：∵P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，
∴点P（2x﹣6，x﹣5）在第一象限，
∴，
解得：3＜x＜5．
故选：A．
7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故选：C．
8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．
【解答】解：由图示知，四边形变形了，而三角形没有变形，其中所蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
故答案是：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
10．（3分）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 40° ．
【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值．
【解答】解：设边数为n，根据题意，
n＝72÷8＝9，
则α＝360°÷9＝40°．
故答案为：40°．
11．（3分）如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 119 度．
【分析】利用角平分线的性质定理得逆定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理可得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝58°代入计算即可．
【解答】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
12．（3分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 48° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠BAC＝28°，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝76°，
∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，
∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，
故答案为：48°．
13．（3分）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 3 的格子内．
【分析】从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案．
【解答】解：如图所示，
把阴影涂在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形，
故答案为：3．
14．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ 或 s时，△PBQ为直角三角形．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x＝；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x＝．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
所以这个多边形的内角和为：（7﹣2）•180°＝900°．
16．（6分）如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，再连接AC′，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
17．（5分）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据相等的和差得到BC＝EF，证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即：BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D．
18．（6分）一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
【分析】（1）设设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，
x+3x+3x＝28，
解得：x＝4，所以3x＝12（cm），
故，该等腰三角形的各边长为：4cm，12cm，12cm；
（2）若底边长为6cm，设腰长为ycm，
则：6+2y＝28，
得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，
若腰长为6cm，设底边长为acm，
则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．
19．（6分）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
21．（7分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 12 厘米；
②BP＝ 4t 厘米；
③CP＝ （16﹣4t） 厘米；
④CQ＝ at 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；
（2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
【解答】解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则，
∴，
∴，
②若△DBP≌△PCQ，
则，
∴，
∴．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
23．（10分）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】：
（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：（1）在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
3．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
4．（3分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
5．（3分）已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法：①DE＝DF，②AE＝AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图中共有3对全等三角形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（3分）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜5 B．x＜3 C．5＜x D．﹣5＜x＜3
7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是 ．
10．（3分）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 ．
11．（3分）如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 度．
12．（3分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 ．
13．（3分）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内．
14．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
16．（6分）如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
17．（5分）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
18．（6分）一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
19．（6分）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
21．（7分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 厘米；
②BP＝ 厘米；
③CP＝ 厘米；
④CQ＝ 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
23．（10分）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】：
（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
2021-2022学年云南省昆明市西山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意；
故选：C．
2．（3分）如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A．AE＝CE B．∠ADC＝90° C．∠CAD＝∠CBE D．∠ACB＝2∠ACF
【分析】根据三角形的高、中线和角平分线的定义即可求解．
【解答】解：A、BE是△ABC的中线，所以AE＝CE，故本表达式正确；
B、AD是△ABC的高，所以∠ADC＝90，故本表达式正确；
C、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∠CAD＝∠CBE，故本表达式错误；
D、CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB＝2∠ACF，故本表达式正确．
故选：C．
3．（3分）若一个正多边形的一个内角是140°，则这个多边形是（ ）
A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
边数n＝360°÷40°＝9．
故选：C．
4．（3分）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和．
【解答】解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故选：C．
5．（3分）已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法：①DE＝DF，②AE＝AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图中共有3对全等三角形．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意可以推出DE＝DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．
【解答】解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，AD平分∠EDF．
故选：B．
6．（3分）在平面直角坐标系内，P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，则x的取值范围为（ ）
A．3＜x＜5 B．x＜3 C．5＜x D．﹣5＜x＜3
【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．
【解答】解：∵P（2x﹣6，5﹣x）关于x轴对称的对称点在第四象限，
∴点P（2x﹣6，x﹣5）在第一象限，
∴，
解得：3＜x＜5．
故选：A．
7．（3分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【分析】根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故选：C．
8．（3分）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）图①是将木条用钉子钉成的四边形和三角形木架，拉动木架，观察图②中的变动情况，说一说，其中所蕴含的数学原理是 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．
【解答】解：由图示知，四边形变形了，而三角形没有变形，其中所蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
故答案是：三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．
10．（3分）如图，小林从P点向西直走8米后，向左转，转动的角度为α，再走8米，如此重复，小林共走了72米回到点P，则α为 40° ．
【分析】根据题意可知，小林走的是正多边形，先求出边数，然后再利用外角和等于360°，除以边数即可求出α的值．
【解答】解：设边数为n，根据题意，
n＝72÷8＝9，
则α＝360°÷9＝40°．
故答案为：40°．
11．（3分）如图，点O在△ABC内且到三边的距离相等．若∠A＝58°，则∠BOC＝ 119 度．
【分析】利用角平分线的性质定理得逆定理得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，则∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理可得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝58°代入计算即可．
【解答】解：∵点O在△ABC内且到三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A），
＝90°+∠A
＝90°+×58°
＝119°．
故答案为：119．
12．（3分）如图，AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，则∠B的度数是 48° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，AE＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠AEC＝∠ACE，求出∠AEC的度数，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵∠BAC＝28°，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝76°，
∵△ABC≌△ADE，∠BAC＝28°，
∴∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC＝28°，
∴∠B＝∠D＝∠AEC﹣∠DAE＝76°﹣28°＝48°，
故答案为：48°．
13．（3分）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 3 的格子内．
【分析】从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案．
【解答】解：如图所示，
把阴影涂在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形，
故答案为：3．
14．（3分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝ 或 s时，△PBQ为直角三角形．
【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，
∴BP＝2BQ．
∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，
∴6﹣2x＝2x，
解得x＝；
当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，
∴BQ＝2PB，
∴x＝2（6﹣2x），
解得x＝．
答：或秒时，△BPQ是直角三角形．
故答案为或．
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
15．（4分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
所以这个多边形的内角和为：（7﹣2）•180°＝900°．
16．（6分）如图所示，
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在x轴上确定一点P，使得PA+PC最小．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，再连接AC′，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求．
17．（5分）已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据相等的和差得到BC＝EF，证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即：BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D．
18．（6分）一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
【分析】（1）设设底边长为xcm，则腰长是3xcm，代入求出即可；
（2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．
【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是3xcm，
x+3x+3x＝28，
解得：x＝4，所以3x＝12（cm），
故，该等腰三角形的各边长为：4cm，12cm，12cm；
（2）若底边长为6cm，设腰长为ycm，
则：6+2y＝28，
得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，
若腰长为6cm，设底边长为acm，
则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．
19．（6分）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．
（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△ECF中
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣40°）＝70°
∴∠1+∠2＝110°
∴∠3+∠2＝110°
∴∠DEF＝70°
21．（7分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．
【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
∴PA＝PB，
∴∠B＝∠BAP，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠APC＝2∠B；
（2）根据题意可知BA＝BQ，
∴∠BAQ＝∠BQA，
∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，
∴∠BQA＝2∠B，
∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．
（1）直接写出：
①BD＝ 12 厘米；
②BP＝ 4t 厘米；
③CP＝ （16﹣4t） 厘米；
④CQ＝ at 厘米；
（可用含t、a的代数式表示）
（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值．
【分析】（1）根据速度与时间可得路程BP和CQ，根据边长和中点定义可得BD和CP的长；
（2）根据∠B＝∠C，可知：分两种情况：①若△DBP≌△QCP，②若△DBP≌△PCQ，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．
【解答】解（1）由题意得：①BD＝12，②BP＝4t；③CP＝16﹣4t，④CQ＝at，
（2）∵BP＝4t，BD＝12，CP＝16﹣4t，CQ＝at，
∵∠B＝∠C，
∴分两种情况：
①若△DBP≌△QCP，
则，
∴，
∴，
②若△DBP≌△PCQ，
则，
∴，
∴．
，综上所述，a的值为6、t的值为2或a的值为4、t的值为1．
故答案为：12，4t，（16﹣4t），at．
23．（10分）阅读下面材料：
【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．
【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
【问题解答】：
（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；
（2）拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；
（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：（1）在△ACD与△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，
∵∠A＝2∠B，
∴∠DEC＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，
∴BC的长为5.8；
（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，
在△DEB和△DBC中，
，
∴△DEB≌△DBC（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，
∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
同理可得△BDE≌△FDE，
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，
∵∠A＝20°，
∴∠6＝20°，
∴AF＝EF＝2，
∵BD＝DF＝2.3，
∴AD＝BD+BC＝4.3．
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