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2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（，3） D．（﹣3，﹣）
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
3．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
4．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．不能确定
5．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
10．（3分）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为 ．
12．（3分）已知方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2016＝ ．
13．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 ．
14．（3分）已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
15．（3分）甲、乙两地的实际距离为540km，在某地图上量得这两地的距离为18cm，则该地图的比例尺为 ．
16．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（2，1），BO＝2，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 ．
17．（3分）如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
18．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣2＝0．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
22．（8分）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2＝OE•OF．
23．（8分）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
24．（8分）我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出：若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出 间．
（2）当每问商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为286万元，且使租客获得实惠？（收益＝租金﹣物业费）
25．（10分）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：DE⊥CF；
（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA．
26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（，3） D．（﹣3，﹣）
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【解答】解：A、k＝5×1＝5，故在函数图象上；
B、k＝﹣1×5＝﹣5≠5，故不在函数图象上；
C、k＝×3＝5，故在函数图象上；
D、k＝﹣3×（﹣）＝5，故在函数图象上．
故选：B．
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
【分析】根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
4．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．不能确定
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10．
故选：A．
5．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+\;x4{2}^{2}＝（x＜sub＞2＜/sub＞+x＜sub＞1＜/sub＞）＜sup＞2＜/sup＞﹣x＜sub＞1＜/sub＞x＜sub＞2＜/sub＞＝3m＜sup＞2＜/sup＞﹣3m+2，利用配方法得到原式＝3（m﹣\frac{1}{2}）＜sup＞2＜/sup＞+\frac{5}{4}．
【解答】解：根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤
x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+3m﹣2，
x1（x2+x1）+\;x4{2}^{2}＝（x＜sub＞2＜/sub＞+x＜sub＞1＜/sub＞）＜sup＞2＜/sup＞﹣x＜sub＞1＜/sub＞x＜sub＞2＜/sub＞＜br/＞＝4m＜sup＞2＜/sup＞﹣（m＜sup＞2＜/sup＞+3m﹣2）＜br/＞＝3m＜sup＞2＜/sup＞﹣3m+2＜br/＞＝3（m﹣\frac{1}{2}）＜sup＞2＜/sup＞+\frac{5}{4}，＜br/＞所以m＝\frac{1}{2}．
故选：D．
6．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
【分析】首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．
【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，
∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
【分析】根据平行四边形的性质可知BO＝DO，又因为E为OD的中点，所以DE：BE＝1：3，根据相似三角形的性质可求出S△DEF：S△BAE．然后根据＝，即可得到结论．
【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
∴DE：EB＝1：3，
又∵AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝（）2＝，
∴S△DEF＝S△BAE，
∵＝，
∴S△AOB＝S△BAE，
∴S△DEF：S△AOB＝＝1：6，
故选：C．
10．（3分）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据比例的基本性质解答即可．
【解答】解：根据比例的性质，
由原式得，＝，
整理得，＝，
2（m+n）＝14，
m+n＝7．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为 1 ．
【分析】反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
12．（3分）已知方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2016＝ 1 ．
【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2016＝1，
故答案为1．
13．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 ．
【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196，
故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
14．（3分）已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣4 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由此可得|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，求解即可．
【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，
∴|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，
解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（3分）甲、乙两地的实际距离为540km，在某地图上量得这两地的距离为18cm，则该地图的比例尺为 1：3000000 ．
【分析】先把540km化成54000000cm，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，即可得出答案．
【解答】解：∵540km＝54000000cm，
∴该地图的比例尺为：18：54000000＝1：3000000；
故答案为：1：3000000．
16．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（2，1），BO＝2，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】根据∠AOB＝90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA＝∠BDO＝90°，
∴∠DBO+∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴，
∵点A的坐标为（2，1），
∴AC＝1，OC＝2，
∴AO＝＝，
∴，即BD＝4，DO＝2，
∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴k的值为﹣2×4＝﹣8．
故答案为：﹣8
17．（3分）如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 1.4m ．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，＝，
即＝，
解得h＝1.4m．
故答案为：1.4m．
18．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是 ．
【分析】根据题意在AD上截取AH＝AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．
【解答】解：如图，在AD上取点H，使，连接BH交AC于O，
则，即，
又△AOH∽△COB，所以，，
所以＝．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣x﹣2＝0
∴x＝2或x＝﹣1
原式＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，
当x＝2时
原式＝1．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 2：1 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 （﹣2a，2b） ．
【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
【解答】解：（1））△A1B1C1与△ABC的位似比等于＝＝＝2；
（2）如图所示
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．
故答案为：2：1，（﹣2a，2b）．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由Δ＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝4可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为4．
当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4．
当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
∵3、4、4能围成等腰三角形，
∴k＝3符合题意；
当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意．
综上所述：k的值为3或4．
22．（8分）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2＝OE•OF．
【分析】（1）由EC∥AB可得出∠EDA＝∠DAB，结合∠EDA＝∠ABF可得出∠DAB＝∠ABF，根据“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC，再结合DC∥AB即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由EC∥AB可得出△OAB∽△OED，根据相似三角形的性质可得出＝，同理可得出＝，进而即可得出＝，即OA2＝OE•OF．
【解答】证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA＝∠DAB．
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠ABF，
∴AD∥BC．
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴＝．
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴＝，
∴＝，
∴OA2＝OE•OF．
23．（8分）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数y＝，求出m，将点B的坐标代入反比例函数求出n，利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB，进行计算即可．
【解答】解：（1）将点（2，1）代入y＝，得：1＝，
解得：m＝2，
则反比例函数解析式为：y＝；
将点B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得：，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝x﹣1．
（2）一次函数解析式为：y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴OC＝1，
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×1×1+×1×2＝．
24．（8分）我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出：若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出 24 间．
（2）当每问商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为286万元，且使租客获得实惠？（收益＝租金﹣物业费）
【分析】（1）根据“租出商铺数＝商铺总数﹣未租出的商铺数”即可列式计算得出结论；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益＝租金﹣各种费用＝286万元作为等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）30﹣×1＝24（间），
∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．
故答案是：24；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为（10+x）万元，
依题意有：（30﹣×1）×（10+x）﹣（30﹣×1）×1＝286，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵使租客获得实惠，
∴x1＝2符合题意，
∴每间商铺的年租金定为12万元．
答：当每间商铺的年租金定为12万元时，该公司的年收益为286万元．
25．（10分）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：DE⊥CF；
（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA．
【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，根据相似三角形的性质得到∠CFD＝∠AED，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△DFG∽△DEA，推出，根据△CGD∽△CDF，得到，等量代换即可得到结论；
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵AD•DF＝AE•DC，
∴，
∴△AED∽△DFC，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，
∴DE⊥CF；
（2）证明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AED＝∠EDC，
∴∠B＝∠ADC，
∵△DFG∽△DEA，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠DFC＝∠GDC，
∵∠DCG＝∠FCD，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴DE•CD＝CF•DA．
26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ 4 ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；
（2）连接AC，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，得到，证明△BDE∽△BCA，进而证得DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式，列出，即＝，从而求出（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，即可求出x值，从而得到D点坐标．
【解答】解：（1）连接OE，如图1，
∵Rt△AOE的面积为2，
∴k＝2×2＝4．
（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，
＝，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED＝∠BAC，
∴DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，
BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．
作EF⊥OC，垂足为F，如图2，
易证△B′CD∽△EFB′，
∴，即＝，
∴B′F＝，
∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，
∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，
在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，
由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，
（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，
解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，
∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．
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一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（，3） D．（﹣3，﹣）
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
3．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
4．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．不能确定
5．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
10．（3分）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为 ．
12．（3分）已知方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2016＝ ．
13．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 ．
14．（3分）已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
15．（3分）甲、乙两地的实际距离为540km，在某地图上量得这两地的距离为18cm，则该地图的比例尺为 ．
16．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（2，1），BO＝2，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 ．
17．（3分）如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 ．
18．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣2＝0．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
22．（8分）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2＝OE•OF．
23．（8分）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
24．（8分）我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出：若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出 间．
（2）当每问商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为286万元，且使租客获得实惠？（收益＝租金﹣物业费）
25．（10分）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：DE⊥CF；
（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA．
26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个点中，有三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个函数图象上的点是（ ）
A．（5，1） B．（﹣1，5） C．（，3） D．（﹣3，﹣）
【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．
【解答】解：A、k＝5×1＝5，故在函数图象上；
B、k＝﹣1×5＝﹣5≠5，故不在函数图象上；
C、k＝×3＝5，故在函数图象上；
D、k＝﹣3×（﹣）＝5，故在函数图象上．
故选：B．
2．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（ ）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
【分析】根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3，
故选：A．
3．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x﹣3）2＝4 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14
【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣6x＝5，
x2﹣6x+9＝5+9，
（x﹣3）2＝14，
故选：D．
4．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长是（ ）
A．10 B．8 C．8或10 D．不能确定
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0，得x1＝2，x2＝4，
当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2＝10．
故选：A．
5．（3分）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据判别式的意义得到m≤，再利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+3m﹣2，所以x1（x2+x1）+\;x4{2}^{2}＝（x＜sub＞2＜/sub＞+x＜sub＞1＜/sub＞）＜sup＞2＜/sup＞﹣x＜sub＞1＜/sub＞x＜sub＞2＜/sub＞＝3m＜sup＞2＜/sup＞﹣3m+2，利用配方法得到原式＝3（m﹣\frac{1}{2}）＜sup＞2＜/sup＞+\frac{5}{4}．
【解答】解：根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）≥0，解得m≤
x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+3m﹣2，
x1（x2+x1）+\;x4{2}^{2}＝（x＜sub＞2＜/sub＞+x＜sub＞1＜/sub＞）＜sup＞2＜/sup＞﹣x＜sub＞1＜/sub＞x＜sub＞2＜/sub＞＜br/＞＝4m＜sup＞2＜/sup＞﹣（m＜sup＞2＜/sup＞+3m﹣2）＜br/＞＝3m＜sup＞2＜/sup＞﹣3m+2＜br/＞＝3（m﹣\frac{1}{2}）＜sup＞2＜/sup＞+\frac{5}{4}，＜br/＞所以m＝\frac{1}{2}．
故选：D．
6．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3
【分析】首先确定反比例函数的系数与0的大小关系，然后根据题意画出图形，再根据其增减性解答即可．
【解答】解：∵﹣a2﹣1＜0，
∴反比例函数图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
7．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．
【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加＝，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
故选：D．
8．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
9．（3分）如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（ ）
A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11
【分析】根据平行四边形的性质可知BO＝DO，又因为E为OD的中点，所以DE：BE＝1：3，根据相似三角形的性质可求出S△DEF：S△BAE．然后根据＝，即可得到结论．
【解答】解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO＝BO，
又∵E为OD的中点，
∴DE＝DB，
∴DE：EB＝1：3，
又∵AB∥DC，
∴△DFE∽△BAE，
∴＝（）2＝，
∴S△DEF＝S△BAE，
∵＝，
∴S△AOB＝S△BAE，
∴S△DEF：S△AOB＝＝1：6，
故选：C．
10．（3分）如果实数m≠n，且＝，则m+n＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据比例的基本性质解答即可．
【解答】解：根据比例的性质，
由原式得，＝，
整理得，＝，
2（m+n）＝14，
m+n＝7．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为 1 ．
【分析】反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象在第一，三象限，则k＞0，符合上述条件的k的一个值可以是1．（正数即可，答案不唯一）
【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴k＞0，
只要是大于0的所有实数都可以．
例如：1．
故答案为：1．
12．（3分）已知方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，则（m﹣n）2016＝ 1 ．
【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．
【解答】解：由（x+m）2＝3，得：
x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2016＝1，
故答案为1．
13．（3分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是 50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 ．
【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．
【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，
∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196，
故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．
14．（3分）已知（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，则m＝ ﹣4 ．
【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由此可得|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，求解即可．
【解答】解：∵（4﹣m）x|m|﹣2+3＝9是关于x的一元二次方程，
∴|m|﹣2＝2且4﹣m≠0，
解得m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（3分）甲、乙两地的实际距离为540km，在某地图上量得这两地的距离为18cm，则该地图的比例尺为 1：3000000 ．
【分析】先把540km化成54000000cm，再根据比例尺＝图上距离：实际距离，即可得出答案．
【解答】解：∵540km＝54000000cm，
∴该地图的比例尺为：18：54000000＝1：3000000；
故答案为：1：3000000．
16．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，点A的坐标为（2，1），BO＝2，反比例函数y＝的图象经过点B，则k的值为 ﹣8 ．
【分析】根据∠AOB＝90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA＝∠BDO＝90°，
∴∠DBO+∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴，
∵点A的坐标为（2，1），
∴AC＝1，OC＝2，
∴AO＝＝，
∴，即BD＝4，DO＝2，
∴B（﹣2，4），
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴k的值为﹣2×4＝﹣8．
故答案为：﹣8
17．（3分）如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为 1.4m ．
【分析】判断出△ABC和△AED相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，DE∥BC，
所以，△ABC∽△AED，
所以，＝，
即＝，
解得h＝1.4m．
故答案为：1.4m．
18．（3分）在平行四边形ABCD的边AB和AD上分别取点E和F，使，，连接EF交对角线AC于G，则的值是 ．
【分析】根据题意在AD上截取AH＝AD，得到AG与OC的关系，然后由相似三角形得到OC与AO的关系，代入求出比值．
【解答】解：如图，在AD上取点H，使，连接BH交AC于O，
则，即，
又△AOH∽△COB，所以，，
所以＝．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足方程x2﹣x﹣2＝0．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣x﹣2＝0
∴x＝2或x＝﹣1
原式＝•
＝•
＝，
由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，
当x＝2时
原式＝1．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．
（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是 2：1 ；
（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 （﹣2a，2b） ．
【分析】（1）根据位似图形可得位似比即可；
（2）根据轴对称图形的画法画出图形即可；
（3）根据三次变换规律得出坐标即可．
【解答】解：（1））△A1B1C1与△ABC的位似比等于＝＝＝2；
（2）如图所示
（3）点P（a，b）为△ABC内一点，依次经过上述两次变换后，点P的对应点的坐标为（﹣2a，2b）．
故答案为：2：1，（﹣2a，2b）．
21．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由Δ＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝4可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵△＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC中有一个数为4．
当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0，
即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4．
当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4．
∵3、4、4能围成等腰三角形，
∴k＝3符合题意；
当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能围成等腰三角形，
∴k＝4符合题意．
综上所述：k的值为3或4．
22．（8分）如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）求证：OA2＝OE•OF．
【分析】（1）由EC∥AB可得出∠EDA＝∠DAB，结合∠EDA＝∠ABF可得出∠DAB＝∠ABF，根据“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC，再结合DC∥AB即可得出四边形ABCD是平行四边形；
（2）由EC∥AB可得出△OAB∽△OED，根据相似三角形的性质可得出＝，同理可得出＝，进而即可得出＝，即OA2＝OE•OF．
【解答】证明：（1）∵EC∥AB，
∴∠EDA＝∠DAB．
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠ABF，
∴AD∥BC．
∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）∵EC∥AB，
∴△OAB∽△OED，
∴＝．
∵AD∥BC，
∴△OBF∽△ODA，
∴＝，
∴＝，
∴OA2＝OE•OF．
23．（8分）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数y＝，求出m，将点B的坐标代入反比例函数求出n，利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB，进行计算即可．
【解答】解：（1）将点（2，1）代入y＝，得：1＝，
解得：m＝2，
则反比例函数解析式为：y＝；
将点B（﹣1，n）代入y＝，得：n＝﹣2，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得：，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝x﹣1．
（2）一次函数解析式为：y＝x﹣1，
令y＝0，则x＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴OC＝1，
∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB＝×1×1+×1×2＝．
24．（8分）我市城建公司新建了一个购物中心，共有商铺30间，据调查分析，当每间的年租金为10万元时，可全部租出：若每间的年租金每增加0.5万元，则少租出商铺一间，为提供优质服务，城建公司引入物业公司代为管理，租出的商铺每间每年需向物业公司缴纳物业费1万元，未租出的商铺不需要向物业公司缴纳物业费．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出 24 间．
（2）当每问商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为286万元，且使租客获得实惠？（收益＝租金﹣物业费）
【分析】（1）根据“租出商铺数＝商铺总数﹣未租出的商铺数”即可列式计算得出结论；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益＝租金﹣各种费用＝286万元作为等量关系列方程求解即可．
【解答】解：（1）30﹣×1＝24（间），
∴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出24间．
故答案是：24；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则每间商铺的年租金为（10+x）万元，
依题意有：（30﹣×1）×（10+x）﹣（30﹣×1）×1＝286，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵使租客获得实惠，
∴x1＝2符合题意，
∴每间商铺的年租金定为12万元．
答：当每间商铺的年租金定为12万元时，该公司的年收益为286万元．
25．（10分）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．
（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：DE⊥CF；
（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA．
【分析】（1）根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到∠A＝∠FDC＝90°，根据相似三角形的性质得到∠CFD＝∠AED，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据已知条件得到△DFG∽△DEA，推出，根据△CGD∽△CDF，得到，等量代换即可得到结论；
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵AD•DF＝AE•DC，
∴，
∴△AED∽△DFC，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∴∠DGF＝90°，
∴DE⊥CF；
（2）证明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠AED＝∠EDC，
∴∠B＝∠ADC，
∵△DFG∽△DEA，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠DFC＝∠GDC，
∵∠DCG＝∠FCD，
∴△CGD∽△CDF，
∴，
∴，
∴DE•CD＝CF•DA．
26．（10分）如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．
（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k＝ 4 ；
（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；
（2）连接AC，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，得到，证明△BDE∽△BCA，进而证得DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．作EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式，列出，即＝，从而求出（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，即可求出x值，从而得到D点坐标．
【解答】解：（1）连接OE，如图1，
∵Rt△AOE的面积为2，
∴k＝2×2＝4．
（2）连接AC，如图1，设D（x，5），E（3，），则BD＝3﹣x，BE＝5﹣，
＝，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BED＝∠BAC，
∴DE∥AC．
（3）假设存在点D满足条件．设D（x，5），E（3，），则CD＝x，
BD＝3﹣x，BE＝5﹣，AE＝．
作EF⊥OC，垂足为F，如图2，
易证△B′CD∽△EFB′，
∴，即＝，
∴B′F＝，
∴OB′＝B′F+OF＝B′F+AE＝+＝，
∴CB′＝OC﹣OB′＝5﹣，
在Rt△B′CD中，CB′＝5﹣，CD＝x，B′D＝BD＝3﹣x，
由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，
（5﹣）2+x2＝（3﹣x）2，
解这个方程得，x1＝1.5（舍去），x2＝0.96，
∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（0.96，5）．
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