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2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．（3分）下列图形中不一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
3．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1 B．（x﹣1）（x+2）＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
4．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
5．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（3分）关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b2＝ ．
10．（3分）已知，则k的值是 ．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
12．（3分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 个．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 ．
三、解答题
14．（5分）解方程：x2﹣2x+2＝0．
15．（5分）解方程：x（5x+4）＝5x+4．
16．（5分）已知a：b：c＝3：2：1，且a﹣2b+3c＝4，求2a+3b﹣4c的值．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
19．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．
20．（5分）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
22．（7分）汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元？
23．（7分）小明想给小东打电话，但忘记了电话号码中的一位数字，只记得号码是284口9456（口表示忘记的数字）．
（1）若小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，求他正确拨打小东电话的概率；
（2）若口位置的数字是不等式组的整数解，求口可能表示的数字．
24．（8分）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
25．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝ ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．
【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列图形中不一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B．所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1 B．（x﹣1）（x+2）＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2进行判断．
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．
【解答】解：如图，∵菱形的边长为6，一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
5．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，则求得原方程的根．
【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．
故选：C．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，DE＝1，
∴＝，
∴EF＝，
故选：B．
7．（3分）关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，根据树状图求得所有等可能的结果与能得到四边形ABCD是菱形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，
能得到四边形ABCD是菱形的有①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，
∴能得到四边形ABCD是菱形的概率是：＝．
故选：A．
8．（3分）七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】由七巧板的性质可得BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，由数量关系可求解．
【解答】解：∵平行四边形BGFE是七巧板中的平行四边形，
∴BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，
∵平行四边形BEFG的周长等于10，
∴2（BE+BG）＝10，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝2BG+2BG+4BE＝4（BE+BG）＝20，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b2＝ 10 ．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
10．（3分）已知，则k的值是 2或﹣1 ．
【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值；
【解答】解：①a+b+c≠0时，
∵，
∴，
∴k＝2．
②a+b+c＝0时，a+b＝﹣c
∴k＝﹣1
故答案为：2或﹣1．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 2 cm2．
【分析】因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE＝1cm，根据勾股定理可求出DE的长，菱形的面积＝底边×高，从而可求出解．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴AE＝1cm，
∵DE丄AB，
∴DE＝＝cm．
∴菱形的面积为：2×＝2cm2．
故答案为：2．
12．（3分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 15 个．
【分析】先求出试验200次摸到黄球的频率，再乘以总球的个数即可．
【解答】解：∵口袋里有25个球，试验200次，其中有120次摸到黄球，
∴摸到黄球的频率为：＝，∴袋中的黄球有25×＝15个．
故估计袋中的黄球有15个．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 （﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3） ．
【分析】先由矩形的性质求出OD＝5，分情况讨论：（1）当OP＝OD＝5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；
（2）当PD＝OD＝5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；
②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．
【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），
∴OA＝10，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝3，
∵D是OA的中点，
∴AD＝OD＝5，
分情况讨论：
（1）当OP＝OD＝5时，根据勾股定理得：PC＝＝4，
∴点P的坐标为：（﹣4，3）；
（2）当PD＝OD＝5时，分两种情况讨论：
①如图1所示：作PE⊥OA于E，
则∠PED＝90°，DE＝＝4，
∴PC＝OE＝5﹣4＝1，
∴点P的坐标为：（﹣1，3）；
②如图2所示：作PF⊥OA于F，
则DF＝＝4，
∴PC＝OF＝5+4＝9，
∴点P的坐标为：（﹣9，3）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；
故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
三、解答题
14．（5分）解方程：x2﹣2x+2＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：x2﹣2x+2＝0，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2＝12，
x＝，
x1＝+，x2＝﹣．
15．（5分）解方程：x（5x+4）＝5x+4．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（5x+4）＝5x+4，
∴x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
则（5x+4）（x﹣1）＝0，
则5x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1．
16．（5分）已知a：b：c＝3：2：1，且a﹣2b+3c＝4，求2a+3b﹣4c的值．
【分析】根据题意，设a＝3k，b＝2k，c＝k．又因为a﹣2b+3c＝4，则可得k的值，从而求得a、b、c的值，再代入2a+3b﹣4c计算即可．
【解答】解：∵a：b：c＝3：2：1，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝k，
∵a﹣2b+3c＝4，
∴3k﹣4k+3k＝4，
∴k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝2，
∴2a+3b﹣4c＝12+12﹣8＝16．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】根据垂直的定义求出∠QPC＝90°，求出∠QPA+∠BPC＝90°，求出∠BPC+∠PCB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠B＝90°，再根据矩形的判定得出即可．
【解答】证明：∵PQ⊥CP，
∴∠QPC＝90°，
∴∠QPA+∠BPC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠QPA＝∠PCB，
∴∠BPC+∠PCB＝90°，
∴∠B＝180°﹣（∠BPC+∠PCB）＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
19．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．
【分析】作BC的垂直平分线得到BC的中点O，再在垂直平分线上截取OE＝OB，OF＝OB，则四边形BECF为正方形．
【解答】解：如图，正方形BECF为所作．
20．（5分）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．
【分析】根据a为方程的解，将x＝a代入方程求出a2﹣a的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意将x＝a代入方程得：a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，
则原式＝＝．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，则BO＝CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
又∵∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE＝CF．
22．（7分）汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元？
【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解．
【解答】解：设每千克水果涨了x元，
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得x1＝5或x2＝10．
因为得到最大优惠，所以应该上涨5元．
23．（7分）小明想给小东打电话，但忘记了电话号码中的一位数字，只记得号码是284口9456（口表示忘记的数字）．
（1）若小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，求他正确拨打小东电话的概率；
（2）若口位置的数字是不等式组的整数解，求口可能表示的数字．
【分析】（1）根据0至9有10个数字，然后即可写出他正确拨打小东电话的概率；
（2）先求出不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解，从而可以写出口可能表示的数字．
【解答】解：（1）由题意可得，
小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，他正确拨打小东电话的概率是；
（2），
由不等式①，得
x＞5.5，
由不等式②，得
x≤8，
故原不等式组的解集为5.5＜x≤8，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，
∵口位置的数字是不等式组的整数解，
∴口可能表示的数字是6或7或8．
24．（8分）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
【分析】（1）根据4位选手中女选手只有1位，求出第一位出场是女选手的概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出第一、二位出场都为男选手的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）P（第一位出场是女选手）＝；
（2）列表得：
女
男
男
男
女
﹣﹣﹣
（男，女）
（男，女）
（男，女）
男
（女，男）
﹣﹣﹣
（男，男）
（男，男）
男
（女，男）
（男，男）
﹣﹣﹣
（男，男）
男
（女，男）
（男，男）
（男，男）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种，
则P（第一、二位出场都是男选手）＝＝．
25．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
【分析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）连接DG，求出∠DGC＝90°，求出DF＝GF，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝AG，DF＝DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD＝CG，
∵G为BC中点，
∴BG＝CG＝AD，
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵∠B＝90°，
∴∠DGC＝∠B＝90°，
∵F为CD中点，
∴GF＝DF＝CF，
即GF＝DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ t ，AP＝ 40﹣2t ，PM＝ t ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由PB＝2PM则可得出答案；
（2）证明四边形AQMP是平行四边形，当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，可得出40﹣2t＝t，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，
∴AQ＝t，
∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝40，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝90°，
∴PM＝PB＝t．
故答案为：t，40﹣2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知：AQ＝PM，
∵AC⊥BC，PM⊥BC，
∴AQ∥PM，
∴四边形AQMP是平行四边形，
当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，
即40﹣2t＝t，
解得t＝，
则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．
2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．（3分）下列图形中不一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
3．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1 B．（x﹣1）（x+2）＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
4．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
5．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（3分）关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b2＝ ．
10．（3分）已知，则k的值是 ．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 cm2．
12．（3分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 个．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 ．
三、解答题
14．（5分）解方程：x2﹣2x+2＝0．
15．（5分）解方程：x（5x+4）＝5x+4．
16．（5分）已知a：b：c＝3：2：1，且a﹣2b+3c＝4，求2a+3b﹣4c的值．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
19．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．
20．（5分）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
22．（7分）汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元？
23．（7分）小明想给小东打电话，但忘记了电话号码中的一位数字，只记得号码是284口9456（口表示忘记的数字）．
（1）若小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，求他正确拨打小东电话的概率；
（2）若口位置的数字是不等式组的整数解，求口可能表示的数字．
24．（8分）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
25．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ ，AP＝ ，PM＝ ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
2021-2022学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共8小题，每小题3分，计24分）
1．（3分）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．
【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列图形中不一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个圆
C．两个正方形 D．两个等边三角形
【分析】对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似图形，依此对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A．所有的矩形，对应边不一定成比例，对应角一定相等，故不一定相似，故本选项符合题意；
B．所有的圆，一定相似，故本选项不合题意；
C．所有的正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意；
D．所有的等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项不合题意．
故选：A．
3．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2+＝1 B．（x﹣1）（x+2）＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．3x2﹣5xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2进行判断．
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（ ）
A． B． C．3 D．6
【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解．
【解答】解：如图，∵菱形的边长为6，一个内角为60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6，
∴AO＝AC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，
∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6．
故选：B．
5．（3分）一元二次方程x2＝2x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
【分析】利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）＝0，即可得x＝0或x﹣2＝0，则求得原方程的根．
【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴一元二次方程x2＝2x的根x1＝0，x2＝2．
故选：C．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE＝1，则EF的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝2，BC＝3，DE＝1，
∴＝，
∴EF＝，
故选：B．
7．（3分）关于四边形ABCD有以下4个条件：①两组对边分别平行；②两条对角线互相平分；③两条对角线互相垂直；④一组邻边相等．从中任取2个条件，能得到四边形ABCD是菱形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，根据树状图求得所有等可能的结果与能得到四边形ABCD是菱形的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，
能得到四边形ABCD是菱形的有①③，①④，②③，②④，③①，③②，④①，④②，
∴能得到四边形ABCD是菱形的概率是：＝．
故选：A．
8．（3分）七巧板是我国古代的一种拼板玩具，它已经有两千五百多年的历史了．如图所示的七巧板中，若平行四边形BEFG的周长等于10，则△BCD的周长等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】由七巧板的性质可得BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，由数量关系可求解．
【解答】解：∵平行四边形BGFE是七巧板中的平行四边形，
∴BC＝2BG，BD＝4BE，BC＝CD，
∵平行四边形BEFG的周长等于10，
∴2（BE+BG）＝10，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝2BG+2BG+4BE＝4（BE+BG）＝20，
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）若a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b2＝ 10 ．
【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝2，ab＝﹣3，再把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，然后利用整体代入思想计算．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴a+b＝2，ab＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
故答案为：10．
10．（3分）已知，则k的值是 2或﹣1 ．
【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值；
【解答】解：①a+b+c≠0时，
∵，
∴，
∴k＝2．
②a+b+c＝0时，a+b＝﹣c
∴k＝﹣1
故答案为：2或﹣1．
11．（3分）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为 2 cm2．
【分析】因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE＝1cm，根据勾股定理可求出DE的长，菱形的面积＝底边×高，从而可求出解．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴AE＝1cm，
∵DE丄AB，
∴DE＝＝cm．
∴菱形的面积为：2×＝2cm2．
故答案为：2．
12．（3分）一个口袋里有25个球，其中红球、黑球、黄球若干个，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 15 个．
【分析】先求出试验200次摸到黄球的频率，再乘以总球的个数即可．
【解答】解：∵口袋里有25个球，试验200次，其中有120次摸到黄球，
∴摸到黄球的频率为：＝，∴袋中的黄球有25×＝15个．
故估计袋中的黄球有15个．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（﹣10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 （﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3） ．
【分析】先由矩形的性质求出OD＝5，分情况讨论：（1）当OP＝OD＝5时；根据勾股定理求出PC，即可得出结果；
（2）当PD＝OD＝5时；①作PE⊥OA于E，根据勾股定理求出DE，得出PC，即可得出结果；
②作PF⊥OA于F，根据勾股定理求出DF，得出PC，即可得出结果．
【解答】解：∵A（﹣10，0），C（0，3），
∴OA＝10，OC＝3，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝3，
∵D是OA的中点，
∴AD＝OD＝5，
分情况讨论：
（1）当OP＝OD＝5时，根据勾股定理得：PC＝＝4，
∴点P的坐标为：（﹣4，3）；
（2）当PD＝OD＝5时，分两种情况讨论：
①如图1所示：作PE⊥OA于E，
则∠PED＝90°，DE＝＝4，
∴PC＝OE＝5﹣4＝1，
∴点P的坐标为：（﹣1，3）；
②如图2所示：作PF⊥OA于F，
则DF＝＝4，
∴PC＝OF＝5+4＝9，
∴点P的坐标为：（﹣9，3）；
综上所述：点P的坐标为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）；
故答案为：（﹣4，3），或（﹣1，3），或（﹣9，3）．
三、解答题
14．（5分）解方程：x2﹣2x+2＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
【解答】解：x2﹣2x+2＝0，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2＝12，
x＝，
x1＝+，x2＝﹣．
15．（5分）解方程：x（5x+4）＝5x+4．
【分析】先移项，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：∵x（5x+4）＝5x+4，
∴x（5x+4）﹣（5x+4）＝0，
则（5x+4）（x﹣1）＝0，
则5x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣，x2＝1．
16．（5分）已知a：b：c＝3：2：1，且a﹣2b+3c＝4，求2a+3b﹣4c的值．
【分析】根据题意，设a＝3k，b＝2k，c＝k．又因为a﹣2b+3c＝4，则可得k的值，从而求得a、b、c的值，再代入2a+3b﹣4c计算即可．
【解答】解：∵a：b：c＝3：2：1，
∴设a＝3k，b＝2k，c＝k，
∵a﹣2b+3c＝4，
∴3k﹣4k+3k＝4，
∴k＝2，
∴a＝6，b＝4，c＝2，
∴2a+3b﹣4c＝12+12﹣8＝16．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．求证：四边形ABCD是矩形．
【分析】根据垂直的定义求出∠QPC＝90°，求出∠QPA+∠BPC＝90°，求出∠BPC+∠PCB＝90°，根据三角形内角和定理求出∠B＝90°，再根据矩形的判定得出即可．
【解答】证明：∵PQ⊥CP，
∴∠QPC＝90°，
∴∠QPA+∠BPC＝180°﹣90°＝90°，
∵∠QPA＝∠PCB，
∴∠BPC+∠PCB＝90°，
∴∠B＝180°﹣（∠BPC+∠PCB）＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
18．（5分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为0，求m的值是多少？
【分析】常数项为零即m2﹣1＝0，再根据二次项系数不等于0，即可求得m的值．
【解答】解：一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的常数项为m2﹣1＝0，所以m＝±1，
又因为二次项系数不为0，m﹣1≠0，m≠1，
所以m＝﹣1．
19．（5分）如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．
【分析】作BC的垂直平分线得到BC的中点O，再在垂直平分线上截取OE＝OB，OF＝OB，则四边形BECF为正方形．
【解答】解：如图，正方形BECF为所作．
20．（5分）已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，求的值．
【分析】根据a为方程的解，将x＝a代入方程求出a2﹣a的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由题意将x＝a代入方程得：a2﹣a﹣1＝0，即a2﹣a＝1，
则原式＝＝．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
求证：BE＝CF．
【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，则BO＝CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°．
又∵∠BOE＝∠COF，
∴△BOE≌△COF．
∴BE＝CF．
22．（7分）汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果涨了多少元？
【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了20x千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解．
【解答】解：设每千克水果涨了x元，
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得x1＝5或x2＝10．
因为得到最大优惠，所以应该上涨5元．
23．（7分）小明想给小东打电话，但忘记了电话号码中的一位数字，只记得号码是284口9456（口表示忘记的数字）．
（1）若小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，求他正确拨打小东电话的概率；
（2）若口位置的数字是不等式组的整数解，求口可能表示的数字．
【分析】（1）根据0至9有10个数字，然后即可写出他正确拨打小东电话的概率；
（2）先求出不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解，从而可以写出口可能表示的数字．
【解答】解：（1）由题意可得，
小明从0至9的自然数中随机选取一个数字放在口位置，他正确拨打小东电话的概率是；
（2），
由不等式①，得
x＞5.5，
由不等式②，得
x≤8，
故原不等式组的解集为5.5＜x≤8，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，
∵口位置的数字是不等式组的整数解，
∴口可能表示的数字是6或7或8．
24．（8分）为弘扬“东亚文化”，某单位开展了“东亚文化之都”演讲比赛，在安排1位女选手和3位男选手的出场顺序时，采用随机抽签方式．
（1）请直接写出第一位出场是女选手的概率；
（2）请你用画树状图或列表的方法表示第一、二位出场选手的所有等可能结果，并求出他们都是男选手的概率．
【分析】（1）根据4位选手中女选手只有1位，求出第一位出场是女选手的概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出第一、二位出场都为男选手的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）P（第一位出场是女选手）＝；
（2）列表得：
女
男
男
男
女
﹣﹣﹣
（男，女）
（男，女）
（男，女）
男
（女，男）
﹣﹣﹣
（男，男）
（男，男）
男
（女，男）
（男，男）
﹣﹣﹣
（男，男）
男
（女，男）
（男，男）
（男，男）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中第一、二位出场都是男选手的情况有6种，
则P（第一、二位出场都是男选手）＝＝．
25．（8分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．
（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；
（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．
【分析】（1）求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）连接DG，求出∠DGC＝90°，求出DF＝GF，根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝DC，
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝AG，DF＝DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形；
（2）连接DG，
∵四边形AGCD是平行四边形，
∴AD＝CG，
∵G为BC中点，
∴BG＝CG＝AD，
∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵∠B＝90°，
∴∠DGC＝∠B＝90°，
∵F为CD中点，
∴GF＝DF＝CF，
即GF＝DF，
∵四边形DEGF是平行四边形，
∴四边形DEGF是菱形．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．
（1）请用含有t的式子填空：AQ＝ t ，AP＝ 40﹣2t ，PM＝ t ；
（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由PB＝2PM则可得出答案；
（2）证明四边形AQMP是平行四边形，当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，可得出40﹣2t＝t，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，
∴AQ＝t，
∵∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝40，
∴AP＝AB﹣BP＝40﹣2t，
∵PM⊥BC，
∴∠PMB＝90°，
∴PM＝PB＝t．
故答案为：t，40﹣2t，t；
（2）存在，理由如下：
由（1）知：AQ＝PM，
∵AC⊥BC，PM⊥BC，
∴AQ∥PM，
∴四边形AQMP是平行四边形，
当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，
即40﹣2t＝t，
解得t＝，
则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．
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