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2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
4．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
5．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
9．（3分）若＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为 ．
12．（3分）反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝ cm．
14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ．
15．（3分）已知△ABC的两边AB，AC的长关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k＝ ，△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
17．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝ ．
18．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
21．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）（x+2）（x+3）＝6x+7．
22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，求k的取值范围．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
24．（8分）如图，△ABC中，D、E是AB上的两点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°．求证：
（1）△ABC∽△ACD；
（2）△ACD∽△CBE；
（3）DE2＝AD•BE．
25．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】根据DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE＝BC，从而得出△ADE∽△ABC，即可解决问题．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△ADC：S四边形DBCE＝1：3，
故选：B．
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确．
【解答】解：当m＜0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，的图象在第二、四象限，故选项A错误、选项D正确；
当m＞0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限，的图象在第一、三象限，故选项B错误；
当m＞0，n＜0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，的图象在第二、四象限，故选项C错误；
故选：D．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数的性质可知无论B点怎样变化△OBD的面积不变，当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，故△ABD的面积减小，所以△OAB的面积将会减小．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B是双曲线y＝上的点，
∴无论B点怎样变化△OBD的面积不变，
∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，
∴△ABD的面积减小，
∴△OAB的面积将会减小．
故选：C．
4．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量×（1+增长率）2＝2021年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
5．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用k＜0，得到反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；于是y1＞0，y2＜0，y3＜0．利用在第四象限内y随x的增大而增大，根据1＜2，可得y2＜y3＜0．最终结论可得．
【解答】解：在反比例函数中，∵k＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（1，y2），C（2，y3）在第四象限．
∴y1＞0，y2＜0，y3＜0．
又∵1＜2，
∴y2＜y3＜0．
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
若，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵，∠DAE＝∠BAC，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
9．（3分）若＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：C．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为 ﹣6 ．
【分析】根据两根x1＝﹣1，x2＝6，得出两根之积求出c的值即可．
【解答】解：解方程x2﹣5x+c＝0得x1＝﹣1，x2＝6，
∴x1x2＝c＝﹣1×6，
∴c＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．（3分）反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ﹣3 ．
【分析】此题可以直接将P（a+1，4）代入y＝﹣即可求得a的值．
【解答】解：将点P（a+1，4）代入y＝﹣，解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝ 7 cm．
【分析】根据△CBF∽△CDE，相似三角形对应边的比相等，求得BF，就可求得AF的长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点．则BC＝AD＝4cm．DE＝2cm．CD＝AB＝8cm．
∵△CBF∽△CDE
∴＝．即＝
∴BF＝1
∴AF＝AB﹣BF＝8﹣1＝7cm．
14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ﹣2 ．
【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，代入到原式＝计算可得．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）已知△ABC的两边AB，AC的长关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k＝ 2或3 ，△ABC的周长为 11或13 ．
【分析】先求出方程的两根x＝k+1或x＝k+2，再分三种情况计算即可得出结论．
【解答】解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∴x1＝k+1，x2＝k+2，
∵△ABC是等腰三角形，
①k+1＝k+2，不成立，
②k+1＝4，∴k＝3，∴k+2＝5，周长为4+4+5＝13，
③k+2＝4，∴k＝2，∴k+1＝3，周长为3+4+4＝11，
故答案为：2或3，11或13．
16．（3分）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出＝，由GH∥CD，得出＝，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：∵AB∥GH，
∴＝，即＝①，
∵GH∥CD，
∴＝，即＝②，
①+②，得+＝+＝＝1，
∴+＝1，
解得GH＝．
故答案为．
17．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝ 4 ．
【分析】设D的坐标是（a，b），则B的坐标是（a，2b），根据D在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（a，b），则B的坐标是（a，2b），2ab＝8，
∵D在y＝上，
∴k＝ab＝×8＝4．
故答案是：4．
18．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【分析】将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，即可求出反比例函数的解析式；再求出点P关于直线x＝2的对称点为P′的坐标，进而求出一次函数的解析式．
【解答】解：将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数y＝中，得：m＝8，n＝4．
即反比例函数的表达式为y＝；
由于∠PBC＝∠ABC，
则点P关于直线x＝2的对称点P′在直线AB上，
易求点P关于直线x＝2的对称点为P′（﹣4，1）
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，
解得：，
即一次函数的表达式为y＝x+3．
20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【分析】（1）由B点在反比例函数y＝上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
21．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）（x+2）（x+3）＝6x+7．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2＝25，
开方得：x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
解得：x1＝7，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）≥0，
解得：k≥．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF；
（2）由ED∥BG可得，根据DF＝DC可得ED＝2，CG＝6，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
24．（8分）如图，△ABC中，D、E是AB上的两点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°．求证：
（1）△ABC∽△ACD；
（2）△ACD∽△CBE；
（3）DE2＝AD•BE．
【分析】（1）先判断出∠CDE＝60°，进而得出∠ADC＝120°＝∠ACB，即可得出结论；
（2）先判断出∠CDE＝60°＝∠CED，得出∠ADC＝120°＝∠CEB，再判断出∠ACD＝∠B，即可得出结论；
（3）先判断出，再判断出CD＝CE＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝120°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠CED，
∴∠ADC＝120°＝∠CEB；
又∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CEB；
（3）∵△ACD∽△CEB，
∴，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
∴，
∴DE2＝AD•BE．
25．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）先由运动知，AP＝2t，CQ＝t，得出CP＝8﹣2t，最后用三角形的面积公式，即可得出结论；
（2）先求出CP＝4cm，CQ＝2cm，最后用勾股定理求解，即可得出结论；
（3）分Rt△CPQ∽Rt△CAB或Rt△CPQ∽Rt△CBA两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∴Rt△CPQ的面积为S＝CP×CQ＝（0≤t≤4）；
（2）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
当t＝2秒时，CP＝8﹣2t＝4cm，CQ＝2cm．
在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ＝；
（3）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠ABC＝∠PCQ＝90°，
∴分Rt△CPQ∽Rt△CAB或Rt△CPQ∽Rt△CBA两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，则，
∴，
解得：t＝秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，则，
∴，
解得：t＝秒；
因此t＝秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
2021-2022学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
4．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
5．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
9．（3分）若＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为 ．
12．（3分）反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝ cm．
14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ．
15．（3分）已知△ABC的两边AB，AC的长关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k＝ ，△ABC的周长为 ．
16．（3分）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
17．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝ ．
18．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
21．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）（x+2）（x+3）＝6x+7．
22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，求k的取值范围．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
24．（8分）如图，△ABC中，D、E是AB上的两点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°．求证：
（1）△ABC∽△ACD；
（2）△ACD∽△CBE；
（3）DE2＝AD•BE．
25．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，则S△ADE：S四边形DBCE＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【分析】根据DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DE＝BC，从而得出△ADE∽△ABC，即可解决问题．
【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△ADC：S四边形DBCE＝1：3，
故选：B．
2．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确．
【解答】解：当m＜0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、四象限，的图象在第二、四象限，故选项A错误、选项D正确；
当m＞0，n＞0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限，的图象在第一、三象限，故选项B错误；
当m＞0，n＜0时，函数y＝mx+n的图象经过第一、三、四象限，的图象在第二、四象限，故选项C错误；
故选：D．
3．（3分）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，由反比例函数的性质可知无论B点怎样变化△OBD的面积不变，当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，故△ABD的面积减小，所以△OAB的面积将会减小．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵B是双曲线y＝上的点，
∴无论B点怎样变化△OBD的面积不变，
∵当点B的横坐标逐渐增大时纵坐标减小，
∴△ABD的面积减小，
∴△OAB的面积将会减小．
故选：C．
4．（3分）随着全球能源危机的逐渐加重，太阳能发电行业发展迅速．全球太阳能光伏应用市场持续稳步增长，2019年全球装机总量约600GW，预计到2021年全球装机总量达到864GW．设全球新增装机量的年平均增长率为x，则可列的方程为（ ）
A．600（1+2x）＝864 B．600+2x＝864
C．（600+x）2＝864 D．600（1+x）2＝864
【分析】根据题意可得等量关系：2019年的装机总量×（1+增长率）2＝2021年的装机总量，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：设全球新增装机量的年平均增长率为x，
由题意得：600（1+x）2＝864，
故选：D．
5．（3分）已知：点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数图象上（k＜0），则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】利用k＜0，得到反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；于是y1＞0，y2＜0，y3＜0．利用在第四象限内y随x的增大而增大，根据1＜2，可得y2＜y3＜0．最终结论可得．
【解答】解：在反比例函数中，∵k＜0，
∴反比例函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），
∴A（﹣1，y1）在第二象限，B（1，y2），C（2，y3）在第四象限．
∴y1＞0，y2＜0，y3＜0．
又∵1＜2，
∴y2＜y3＜0．
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
6．（3分）如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．＝ B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D．＝
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠BAC，
若，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意；
若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D，
∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意；
若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC，
∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意；
∵，∠DAE＝∠BAC，
∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意；
故选：D．
7．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故选：B．
8．（3分）如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA'＝2：3，则四边形ABCD与A'B'C'D'的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．：
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（）2＝，
故选：A．
9．（3分）若＝，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件得出a＝b，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴a＝b，
∴＝＝．
故选：C．
10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）小军同学在解一元二次方程x2﹣5x+c＝0时，正确解得x1＝﹣1，x2＝6，则c的值为 ﹣6 ．
【分析】根据两根x1＝﹣1，x2＝6，得出两根之积求出c的值即可．
【解答】解：解方程x2﹣5x+c＝0得x1＝﹣1，x2＝6，
∴x1x2＝c＝﹣1×6，
∴c＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．（3分）反比例函数y＝﹣的图象经过点P（a+1，4），则a＝ ﹣3 ．
【分析】此题可以直接将P（a+1，4）代入y＝﹣即可求得a的值．
【解答】解：将点P（a+1，4）代入y＝﹣，解得a＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则AF＝ 7 cm．
【分析】根据△CBF∽△CDE，相似三角形对应边的比相等，求得BF，就可求得AF的长．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm，E为AD的中点．则BC＝AD＝4cm．DE＝2cm．CD＝AB＝8cm．
∵△CBF∽△CDE
∴＝．即＝
∴BF＝1
∴AF＝AB﹣BF＝8﹣1＝7cm．
14．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ﹣2 ．
【分析】由根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，代入到原式＝计算可得．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
则原式＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（3分）已知△ABC的两边AB，AC的长关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，则k＝ 2或3 ，△ABC的周长为 11或13 ．
【分析】先求出方程的两根x＝k+1或x＝k+2，再分三种情况计算即可得出结论．
【解答】解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∴x1＝k+1，x2＝k+2，
∵△ABC是等腰三角形，
①k+1＝k+2，不成立，
②k+1＝4，∴k＝3，∴k+2＝5，周长为4+4+5＝13，
③k+2＝4，∴k＝2，∴k+1＝3，周长为3+4+4＝11，
故答案为：2或3，11或13．
16．（3分）如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出＝，由GH∥CD，得出＝，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】解：∵AB∥GH，
∴＝，即＝①，
∵GH∥CD，
∴＝，即＝②，
①+②，得+＝+＝＝1，
∴+＝1，
解得GH＝．
故答案为．
17．（3分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k＝ 4 ．
【分析】设D的坐标是（a，b），则B的坐标是（a，2b），根据D在反比例函数图象上，即可求得ab的值，从而求得k的值．
【解答】解：设D的坐标是（a，b），则B的坐标是（a，2b），2ab＝8，
∵D在y＝上，
∴k＝ab＝×8＝4．
故答案是：4．
18．（3分）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝ ．
【分析】直接利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，
∴＝，
则＝＝．
故答案为：．
三、解答题（第19-25小题每题8分，26小题10分，共66分）
19．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC＝∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【分析】将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数解析式中，即可求出m和n的值，即可求出反比例函数的解析式；再求出点P关于直线x＝2的对称点为P′的坐标，进而求出一次函数的解析式．
【解答】解：将B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数y＝中，得：m＝8，n＝4．
即反比例函数的表达式为y＝；
由于∠PBC＝∠ABC，
则点P关于直线x＝2的对称点P′在直线AB上，
易求点P关于直线x＝2的对称点为P′（﹣4，1）
将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：，
解得：，
即一次函数的表达式为y＝x+3．
20．（8分）如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）连接AO，求△AOC的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（直接写出答案）
【分析】（1）由B点在反比例函数y＝上，可求出m，再由A点在函数图象上，由待定系数法求出函数解析式；
（2）由上问求出的函数解析式联立方程求出A，B，C三点的坐标，从而求出△AOC的面积；
（3）由图象观察函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，对应的x的范围．
【解答】解：（1）∵B（1，4）在反比例函数y＝上，
∴m＝4，
又∵A（n，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2，
又∵A（﹣2，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的上的点，联立方程组解得，
k＝2，b＝2，
∴，y＝2x+2；
（2）过点A作AD⊥CD，
∵一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点为A，B，联立方程组解得，
A（﹣2，﹣2），B（1，4），C（0，2），
∴AD＝2，CO＝2，
∴△AOC的面积为：S＝AD•CO＝×2×2＝2；
（3）由图象知：当0＜x＜1和﹣2＜x＜0时函数y＝的图象在一次函数y＝kx+b图象的上方，
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为：0＜x＜1或x＜﹣2．
21．（8分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣25＝0；
（2）（x+2）（x+3）＝6x+7．
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2＝25，
开方得：x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
解得：x1＝7，x2＝﹣3；
（2）方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
22．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，求k的取值范围．
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）≥0，
解得：k≥．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF；
（2）由ED∥BG可得，根据DF＝DC可得ED＝2，CG＝6，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴，
∵DF＝DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF＝DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10．
24．（8分）如图，△ABC中，D、E是AB上的两点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°．求证：
（1）△ABC∽△ACD；
（2）△ACD∽△CBE；
（3）DE2＝AD•BE．
【分析】（1）先判断出∠CDE＝60°，进而得出∠ADC＝120°＝∠ACB，即可得出结论；
（2）先判断出∠CDE＝60°＝∠CED，得出∠ADC＝120°＝∠CEB，再判断出∠ACD＝∠B，即可得出结论；
（3）先判断出，再判断出CD＝CE＝DE，即可得出结论．
【解答】（1）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝120°＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°＝∠CED，
∴∠ADC＝120°＝∠CEB；
又∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CEB；
（3）∵△ACD∽△CEB，
∴，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，
∴，
∴DE2＝AD•BE．
25．（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分
根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）＝2240． …4分
化简，得 x2﹣10x+24＝0 解得x1＝4，x2＝6．…6分
答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6＝54（元），
设按原售价的m折出售，则有：60×＝54，
解得m＝9
答：该店应按原售价的九折出售．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是2cm/秒，点Q的速度是1cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t＝2秒时，P，Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
【分析】（1）先由运动知，AP＝2t，CQ＝t，得出CP＝8﹣2t，最后用三角形的面积公式，即可得出结论；
（2）先求出CP＝4cm，CQ＝2cm，最后用勾股定理求解，即可得出结论；
（3）分Rt△CPQ∽Rt△CAB或Rt△CPQ∽Rt△CBA两种情况，利用相似三角形的性质得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∴Rt△CPQ的面积为S＝CP×CQ＝（0≤t≤4）；
（2）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
当t＝2秒时，CP＝8﹣2t＝4cm，CQ＝2cm．
在Rt△CPQ中，由勾股定理得：PQ＝；
（3）由题意得：AP＝2t，CQ＝t，则CP＝8﹣2t，
∵以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，且∠ABC＝∠PCQ＝90°，
∴分Rt△CPQ∽Rt△CAB或Rt△CPQ∽Rt△CBA两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，则，
∴，
解得：t＝秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，则，
∴，
解得：t＝秒；
因此t＝秒或t＝秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
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