专题04 27.2 相似三角形- 期末复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册

专题04 ：2022年人教新版九年级（下册）27.2 相似三角形- 期末复习专题训练

一、选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

2．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）

A．2处 B．3处 C．4处 D．5处

3．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．

4．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（　　）

A．40m B．60m C．120m D．180m

5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（　　）

A．2 B．4 C． D．

6．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°

7．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．

8．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．8

9．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（　　）

A．360步 B．270步 C．180步 D．90步

10．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（　　）

A．4：25 B．2：5 C．5：2 D．25：4

二、填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　                　．

12．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的　              　．

13．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　   　．

14．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为　   　米．

15．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　               　．

三、解答题（共5小题）

16．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．

17．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC＝4，BC＝3．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）当DE＝DC时，求AD的长．

19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．

（1）在图①中，PC：PB＝　    　．

（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．

②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

20．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，

（1）求EF的长；

（2）求EA的长．

专题04 ：2022年人教新版九年级（下册）27.2 相似三角形- 期末复习专题训练

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【解答】解：∵DE∥BC，

∴＝，即＝，

∴AE＝6，

∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．

故选：C．

2．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）

A．2处 B．3处 C．4处 D．5处

【解答】

解：∵截得的小三角形与△ABC相似，

∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，

则D点的位置最多有3处，

故选：B．

3．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝，AC＝3，则CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴＝，即＝，

∴CD＝2，

故选：C．

4．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（　　）

A．40m B．60m C．120m D．180m

【解答】解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，

∴RQ∥TS，

∴△PQR∽△PST，

∴＝，即＝，

∴PQ＝120（m）．

故选：C．

5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（　　）

A．2 B．4 C． D．

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴＝，即＝，

∴BC＝，

∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．

故选：C．

6．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．28° B．32° C．42° D．52°

【解答】解：∵∠A＝110°，∠C＝28°，

∴∠B＝42°，

∵△ABC∽△DEF，

∴∠B＝∠E．

∴∠E＝42°．

故选：C．

7．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）

A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．

【解答】解：（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；

（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，

∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；

（D）∵＝，∠A＝∠A，

∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；

故选：C．

8．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．8

【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，

∴∠BAD＝∠ADE＝90°，

∴DE∥AB，

∴∠CED＝∠CAB，

∵∠C＝∠C，

∴△CED∽△CAB，

∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，

∴S△DEC：S△ACB＝1：4，

∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，

∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×2×2+×2×1＝2+1＝3，

∴S△ACB＝4，

故选：B．

9．《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（　　）

A．360步 B．270步 C．180步 D．90步

【解答】解：如图，设正方形城池的边长为x步，则AE＝CE＝x，

∵AE∥CD，

∴∠BEA＝∠EDC，

∴Rt△BEA∽Rt△EDC，

∴＝，即＝，

∴x＝360，

即正方形城池的边长为360步．

故选：A．

10．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF周长之比为（　　）

A．4：25 B．2：5 C．5：2 D．25：4

【解答】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，

∴它们的相似比为2：5，

∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．

故选：B．

二、填空题（共5小题）

11．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为　∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝　．

【解答】解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED，

故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．

同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；

故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝．

12．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的　　．

【解答】解：∵AB被截成三等分，

∴△AEH∽△AFG∽△ABC，

∴，，

∴S△AFG：S△ABC＝4：9，

S△AEH：S△ABC＝1：9，

∴S阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△ABC＝S△ABC．

故答案为．

13．如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　10　．

【解答】解：∵AB∥CD∥EF，

∴＝＝，

∴DF＝2BD＝2×5＝10．

故答案为10．

14．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为　10　米．

【解答】解：∵＝＝，

∵CE＝2，

∴CD＝4，

∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．

∴AB＝BD＝×20＝10米．

故应填10．

15．如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝　　．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，

由射影定理得，AC2＝AD•AB，

∴AD＝＝，

故答案为：．

三、解答题（共5小题）

16．如图，AB•AE＝AD•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．

【解答】证明：如图，∵AB•AE＝AD•AC，

∴＝．

又∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，

∴△ABC∽△ADE．

17．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．

【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D

∴△DEF∽△DCB

∴，

∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，

∴，

∴BC＝7.5米，

∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．

18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC上的一点，DE⊥AB于点E，AC＝4，BC＝3．

（1）求证：△ADE∽△ABC；

（2）当DE＝DC时，求AD的长．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB

∴∠DEA＝∠ACB＝90°

而∠A＝∠A

∴△ADE∽△ABC

即得证．

（2）设AD＝x，则由题意知DC＝DE＝4﹣x，

∵AC＝4，BC＝3

∴AB＝5

由△ADE∽△ABC

可得＝

于是有＝

可解得x＝

故当DE＝DC时，AD的长为．

19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．

（1）在图①中，PC：PB＝　1：3　．

（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．

①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．

②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．

【解答】解：（1）图1中，

∵AB∥CD，

∴＝＝，

故答案为1：3．

（2）

①如图2所示，点P即为所要找的点；

②如图3所示，作点A的对称点A′，

连接A′C，交BD于点P，

点P即为所要找的点，

∵AB∥CD，

∴△APB∽△CPD．

20．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，

（1）求EF的长；

（2）求EA的长．

【解答】解：（1）∵DF∥AE，

∴＝，即＝，

解得，EF＝4；

（2）∵DF∥AE，

∴△BDF∽△BAE，

∴＝，即＝，

解得，EA＝．