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专题02：28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册
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这是一份专题02：28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题02：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
2．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
3．已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
6．下列式子正确的是（ ）
A．tan60°﹣＝0 B．cos60°+tan45°＝1
C．cos60°＝ D．sin230°+cos230°＝
7．冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（ ）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）
A．15.9 B．16.4 C．24.5 D．16.0
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 海里．
12．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为 ．
13．如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为 cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为 ．
15．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝ ．（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
16．高新一中初中校区九年级（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为 米．（结果保留根号）
17．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 nmile（结果保留根号）．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为 ．
19．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ．
20．如图，在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则sin∠1是 ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin60°•tan30°+．
22．在△ABC中，AD⊥BC，tan∠B＝cos∠CAD，求证：AC＝BD．
23．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）
24．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
25．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）
26．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
27．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值．
29．2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：EF是水平线，AB＝2400mm，ED＝2100mm，AB、DE的仰角分别是30°和10°，BC＝700mm，CD＝812mm，且CD⊥EF．
（1）求点A的铅直高度；
（2）求A，E两点的水平距离．
（结果精确到1mm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，≈1.73）
30．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
专题02：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：2sin30°﹣2cos60°+tan45°
＝2×﹣2×+1
＝1﹣1+1
＝1．
故选：D．
2．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
【解答】解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角30°，
∴乙处看甲处为：仰角为30°．
故选：C．
3．已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，α是锐角，
∴α＝32°．
故选：A．
4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【解答】解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
6．下列式子正确的是（ ）
A．tan60°﹣＝0 B．cos60°+tan45°＝1
C．cos60°＝ D．sin230°+cos230°＝
【解答】解：A．tan60°﹣＝tan60°﹣tan（90°﹣30°）＝0，因此选项A符合题意；
B．cos60°+tan45°＝+1＝≠1，因此选项B不符合题意；
C．cos60°＝sin30°＝≠，因此选项C不符合题意；
D．sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝1≠，因此选项D不符合题意；
故选：A．
7．冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（ ）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）
A．15.9 B．16.4 C．24.5 D．16.0
【解答】解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，
在Rt△AFB中，sinα＝，
∴AF＝AB•sinα≈3.36，
设DH＝x米，
∵DE的坡度为i＝1：2.4，
∴HE＝2.4x，
由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，
解得，x＝7.5，
∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），
故选：B．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝＝，故A选项错误；
cosA＝＝，故B选项错误；
tanA＝＝，故C选项错误；
cotA＝＝，故D选项正确；
故选：D．
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故选：C．
10．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 20 海里．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：
∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20海里，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝20×＝10（海里），
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝20（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离AD为20海里．
故答案为：20．
12．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为 ．
【解答】解：设AD＝x，则CD＝2x，BD＝4x，
∵CD为高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵＝＝2，
∴△ADC∽△CBD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，
∵AG＝GE，
∴CG＝AG＝GE，
∵EF⊥EA，
∴∠EFA+∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠EFA，
在Rt△AGD中，设DG＝t，则AG＝CG＝2x﹣t，
∵x2+t2＝（2x﹣t）2，
∴t＝x，
∴tan∠AGD＝＝＝，
∴tan∠EFA＝．
故答案为．
13．如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为 223 cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【解答】解：如图，连接FA，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED，AO＝200﹣20＝180（cm），∠AFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FAO中，tan46°＝，
∴FO＝＝≈173（cm），
∴CE＝CD+DE＝50+173＝223（cm）．
故答案为：223．
14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为 ．
【解答】解：由图可得，
AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝，
故答案为：．
15．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝ 37.8m ．（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，BC＝45m，
∴tanC＝，
∴AB＝BC•tanC≈45×0.84＝37.8（m）．
故答案为：37.8m．
16．高新一中初中校区九年级（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为 （6+1.5） 米．（结果保留根号）
【解答】解：由题意可得：AC＝DE＝6米，
则tan60°＝＝＝，
解得：BC＝6（米），
则BE＝（6+1.5）米．
故答案为：（6+1.5）．
17．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 20 nmile（结果保留根号）．
【解答】解：作AC⊥BD于点C，
由已知可得，∠BAC＝45°，∠DAC＝60°，AB＝20nmile，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AC＝AB•cos45°＝20×＝10（nmile），
∴AD＝＝＝20（nmile），
故答案为：20．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为 12 ．
【解答】解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ADC中，
∵cosC＝＝，AC＝6，
∴CD＝3，AD＝＝3．
在Rt△ADB中，
BD＝
＝
＝
＝9．
BC＝BD+CD＝9+3＝12．
故答案为：12．
19．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： 等腰直角三角形 ．
【解答】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，
即cosA＝，tanB＝1，
所以∠A＝45°，∠B＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
20．如图，在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则sin∠1是 ．
【解答】解：作CE∥BD，连接AE，如右图所示，
由题意可得，
AE＝＝，AC＝＝，EC＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
∴AE2+AC2＝EC2，
∴△EAC是直角三角形，∠EAC＝90°，
∴sin∠ACE＝＝，
∵BD∥EE，
∴∠1＝∠ACE，
∴sin∠1＝，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin60°•tan30°+．
【解答】解：原式＝
＝+
＝1．
22．在△ABC中，AD⊥BC，tan∠B＝cos∠CAD，求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠B＝
在Rt△ADC中，cos∠CAD＝，
∵tan∠B＝cos∠CAD，
∴＝，
∴AC＝BD．
23．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）
【解答】解：过E点作EG⊥BC于G，过F点作FH⊥BC于H，
设BC＝xm，则CG＝（x﹣1.85）m，CH＝（x﹣1.5）m，
在Rt△CHF中，FH＝＝，
Rt△CGE中，EG＝＝（x﹣1.85）m，
∵EG﹣FH＝10，
∴（x﹣1.85）﹣＝10，
解得x≈26．
故塔高BC大约26m高．
24．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82（米），
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68（米），
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88（米），
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．
25．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）
【解答】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，
∴AD：DB＝1：即DB＝AD．
在Rt△ADB中，
∵AD2+DB2＝AB2，
∴AD2+3AD2＝102
解得AD＝±5．
因为﹣5不合题意，
所以AD＝5．
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝≈≈19.2（m）
答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．
26．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
由题意得，AB＝40×＝20，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴CB＝AB＝20，
在Rt△CBD中，sin∠CBD＝，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝20×＝10，
∵10＜18，
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，有着弹危险．
27．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
【解答】解：（1）
＝（2×﹣）+
＝2﹣+
＝2；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
＝×﹣×+（）2+（）2
＝﹣1++
＝．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA•cosA＝×＝．
答：sinA•cosA的值为．
29．2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：EF是水平线，AB＝2400mm，ED＝2100mm，AB、DE的仰角分别是30°和10°，BC＝700mm，CD＝812mm，且CD⊥EF．
（1）求点A的铅直高度；
（2）求A，E两点的水平距离．
（结果精确到1mm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，≈1.73）
【解答】解：（1）如图，作AG⊥EF，CH⊥AG，DM⊥EF，垂足分别为点G，H，M．
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝30°，AC＝AB﹣BC＝1700，
∴，
∴AH＝850，
在Rt△DEM中，，
∴DM≈357，
∴AG＝AH+CD+DM≈850+812+357＝2019，
∴点A的铅直高度是2019mm．
（2）∵在Rt△ACH中，，
∴CH≈1471，
∵在Rt△DEM中，，
∴EM≈2058，
∴EG＝EM+CH≈3529，
∴A，E两点的水平距离约为3529mm．
30．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示：
∵i＝5：12，
∴＝，
∵AB＝26米，
∴BM＝10米，AM＝24米，
∴DF＝BM＝10米，
设EF为x米，则BF＝（6+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（6+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
即＝，
解得：x＝3+3，
∴CF＝（9+3）米，
∴CD＝CF+DF＝（9+3+10）米＝（19+3）米≈24.2米，
答：教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD约为24.2米．
专题02：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
2．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
3．已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
6．下列式子正确的是（ ）
A．tan60°﹣＝0 B．cos60°+tan45°＝1
C．cos60°＝ D．sin230°+cos230°＝
7．冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（ ）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）
A．15.9 B．16.4 C．24.5 D．16.0
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 海里．
12．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为 ．
13．如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为 cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为 ．
15．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝ ．（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
16．高新一中初中校区九年级（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为 米．（结果保留根号）
17．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 nmile（结果保留根号）．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为 ．
19．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： ．
20．如图，在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则sin∠1是 ．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin60°•tan30°+．
22．在△ABC中，AD⊥BC，tan∠B＝cos∠CAD，求证：AC＝BD．
23．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）
24．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
25．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）
26．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
27．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值．
29．2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：EF是水平线，AB＝2400mm，ED＝2100mm，AB、DE的仰角分别是30°和10°，BC＝700mm，CD＝812mm，且CD⊥EF．
（1）求点A的铅直高度；
（2）求A，E两点的水平距离．
（结果精确到1mm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，≈1.73）
30．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
专题02：2022年人教新版九年级（下册）28.1 锐角三角函数-期末考复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（ ）
A．2 B． C． D．1
【解答】解：2sin30°﹣2cos60°+tan45°
＝2×﹣2×+1
＝1﹣1+1
＝1．
故选：D．
2．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（ ）
A．俯角30°方向 B．俯角60°方向
C．仰角30°方向 D．仰角60°方向
【解答】解：如图所示：∵甲处看乙处为俯角30°，
∴乙处看甲处为：仰角为30°．
故选：C．
3．已知：sin232°+cos2α＝1，则锐角α等于（ ）
A．32° B．58°
C．68° D．以上结论都不对
【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，α是锐角，
∴α＝32°．
故选：A．
4．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【解答】解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
5．已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0.9816，
∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
6．下列式子正确的是（ ）
A．tan60°﹣＝0 B．cos60°+tan45°＝1
C．cos60°＝ D．sin230°+cos230°＝
【解答】解：A．tan60°﹣＝tan60°﹣tan（90°﹣30°）＝0，因此选项A符合题意；
B．cos60°+tan45°＝+1＝≠1，因此选项B不符合题意；
C．cos60°＝sin30°＝≠，因此选项C不符合题意；
D．sin230°+cos230°＝（）2+（）2＝1≠，因此选项D不符合题意；
故选：A．
7．冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（ ）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）
A．15.9 B．16.4 C．24.5 D．16.0
【解答】解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，
在Rt△AFB中，sinα＝，
∴AF＝AB•sinα≈3.36，
设DH＝x米，
∵DE的坡度为i＝1：2.4，
∴HE＝2.4x，
由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，
解得，x＝7.5，
∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），
故选：B．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝＝，故A选项错误；
cosA＝＝，故B选项错误；
tanA＝＝，故C选项错误；
cotA＝＝，故D选项正确；
故选：D．
9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝，即sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，∵sin∠ADC＝，即sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故选：C．
10．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
二、填空题（共10小题）
11．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 20 海里．
【解答】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
根据题意可知：
∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20海里，
在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝20×＝10（海里），
在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，
∴AD＝2AC＝20（海里）．
答：此时轮船与小岛的距离AD为20海里．
故答案为：20．
12．如图，已知CD是△ABC的高，BD＝4AD，CD＝2AD，点E是BC上一点，EF⊥EA，AG＝EG，tan∠EFA的值为 ．
【解答】解：设AD＝x，则CD＝2x，BD＝4x，
∵CD为高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵＝＝2，
∴△ADC∽△CBD，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°，
∵AG＝GE，
∴CG＝AG＝GE，
∵EF⊥EA，
∴∠EFA+∠DAE＝90°，
∵∠DAE+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠EFA，
在Rt△AGD中，设DG＝t，则AG＝CG＝2x﹣t，
∵x2+t2＝（2x﹣t）2，
∴t＝x，
∴tan∠AGD＝＝＝，
∴tan∠EFA＝．
故答案为．
13．如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为 223 cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【解答】解：如图，连接FA，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED，AO＝200﹣20＝180（cm），∠AFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△FAO中，tan46°＝，
∴FO＝＝≈173（cm），
∴CE＝CD+DE＝50+173＝223（cm）．
故答案为：223．
14．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为 ．
【解答】解：由图可得，
AC＝＝，AB＝＝，BC＝＝2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴sin∠ABC＝＝，
故答案为：．
15．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝ 37.8m ．（精确到0.1m）
（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝40°，BC＝45m，
∴tanC＝，
∴AB＝BC•tanC≈45×0.84＝37.8（m）．
故答案为：37.8m．
16．高新一中初中校区九年级（一）班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的A处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°，如图所示，则旗杆的高度为 （6+1.5） 米．（结果保留根号）
【解答】解：由题意可得：AC＝DE＝6米，
则tan60°＝＝＝，
解得：BC＝6（米），
则BE＝（6+1.5）米．
故答案为：（6+1.5）．
17．如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为 20 nmile（结果保留根号）．
【解答】解：作AC⊥BD于点C，
由已知可得，∠BAC＝45°，∠DAC＝60°，AB＝20nmile，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AC＝AB•cos45°＝20×＝10（nmile），
∴AD＝＝＝20（nmile），
故答案为：20．
18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，cosC＝，AB＝6，AC＝6，则BC的长为 12 ．
【解答】解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ADC中，
∵cosC＝＝，AC＝6，
∴CD＝3，AD＝＝3．
在Rt△ADB中，
BD＝
＝
＝
＝9．
BC＝BD+CD＝9+3＝12．
故答案为：12．
19．在△ABC中，（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，则△ABC一定是： 等腰直角三角形 ．
【解答】解：因为（2cosA﹣）2+|1﹣tanB|＝0，
所以2cosA﹣＝0，且1﹣tanB＝0，
即cosA＝，tanB＝1，
所以∠A＝45°，∠B＝45°，
所以△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
20．如图，在边长为1的3×5正方形网格中，点A、B、C、D都在格点上，则sin∠1是 ．
【解答】解：作CE∥BD，连接AE，如右图所示，
由题意可得，
AE＝＝，AC＝＝，EC＝＝，
∵（）2+（）2＝（）2，
∴AE2+AC2＝EC2，
∴△EAC是直角三角形，∠EAC＝90°，
∴sin∠ACE＝＝，
∵BD∥EE，
∴∠1＝∠ACE，
∴sin∠1＝，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．计算：sin60°•tan30°+．
【解答】解：原式＝
＝+
＝1．
22．在△ABC中，AD⊥BC，tan∠B＝cos∠CAD，求证：AC＝BD．
【解答】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠B＝
在Rt△ADC中，cos∠CAD＝，
∵tan∠B＝cos∠CAD，
∴＝，
∴AC＝BD．
23．清代《修武县志》有胜果寺的记载，“康熙五十二年三月十七日，塔顶现青白二气如云，越二日乃止”，此文中的塔即为“胜果寺塔”．是修武作为“千年古县”的标志性古建筑，为了测量塔的高度，某校数学兴趣小组的两名同学采用了如下方式进行测量．如图，小明站在A处，眼睛E距离地面的高度为1.85m，测得塔顶C的仰角为45°，小红站在距离小明10m的D处，眼睛F距离地面的高度为1.5m，测得塔顶C的仰角为60°，已知A，D，塔底B在同一水平面上，由此即可求出塔高BC．你知道是怎么求的吗？请写出解题过程．（结果精确到1m．参考数据：＝1.732）
【解答】解：过E点作EG⊥BC于G，过F点作FH⊥BC于H，
设BC＝xm，则CG＝（x﹣1.85）m，CH＝（x﹣1.5）m，
在Rt△CHF中，FH＝＝，
Rt△CGE中，EG＝＝（x﹣1.85）m，
∵EG﹣FH＝10，
∴（x﹣1.85）﹣＝10，
解得x≈26．
故塔高BC大约26m高．
24．如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图，图2是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方，AB与水平线AD之间的夹角是5°，卸货时，车厢与水平线AD成60°，此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°，若AC＝2米，求BC的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41）
【解答】方法一：解：如图1，过点C作CF⊥AB于点F，
在Rt△ACF中，
∵sin∠CAB＝sin（60°+5°）＝sin65°＝，
∴CF＝AC•sin65°≈2×0.91＝1.82（米），
在Rt△BCF中，
∵∠ABC＝45°，
∴CF＝BF，
∴BC＝CF＝1.41×1.82＝2.5662≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．
方法二：解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，∵∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°，
∴cosC＝cos70°＝，
即CE＝AC×cos70°≈2×0.34＝0.68（米），
sinC＝sin70°＝，
即AE＝AC×sin70°≈2×0.94＝1.88（米），
又∵在Rt△AEB中，∠ABC＝45°，
∴AE＝BE，
∴BC＝BE+CE＝0.68+1.88＝2.56≈2.6（米），
答：所求BC的长度约为2.6米．
25．若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．
（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）
【解答】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，
∴AD：DB＝1：即DB＝AD．
在Rt△ADB中，
∵AD2+DB2＝AB2，
∴AD2+3AD2＝102
解得AD＝±5．
因为﹣5不合题意，
所以AD＝5．
在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，
∴AC＝≈≈19.2（m）
答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．
26．如图，一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向；半小时后，渔船到达B处，此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围18海里以内为军事演习着弹危险区．如果这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有着弹危险？
【解答】解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
由题意得，AB＝40×＝20，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝∠CAB，
∴CB＝AB＝20，
在Rt△CBD中，sin∠CBD＝，
∴CD＝BC•sin∠CBD＝20×＝10，
∵10＜18，
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，有着弹危险．
27．计算下列各题：
（1）；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
【解答】解：（1）
＝（2×﹣）+
＝2﹣+
＝2；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
＝×﹣×+（）2+（）2
＝﹣1++
＝．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求sinA•cosA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，
所以sinA•cosA＝×＝．
答：sinA•cosA的值为．
29．2019年10月1日，是新中国70周年的生日，在首都北京天安门广场举行了盛大的建国70周年大阅兵，接受国家主席习近平的检阅，令国人振奋，令世界瞩目．在李克强总理庄严的指令下，56门礼炮，70响轰鸣，述说着56个民族，70载春华秋实的拼搏！下图1是礼炮图片，图2是礼炮抽象示意图．已知：EF是水平线，AB＝2400mm，ED＝2100mm，AB、DE的仰角分别是30°和10°，BC＝700mm，CD＝812mm，且CD⊥EF．
（1）求点A的铅直高度；
（2）求A，E两点的水平距离．
（结果精确到1mm，参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，≈1.73）
【解答】解：（1）如图，作AG⊥EF，CH⊥AG，DM⊥EF，垂足分别为点G，H，M．
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝30°，AC＝AB﹣BC＝1700，
∴，
∴AH＝850，
在Rt△DEM中，，
∴DM≈357，
∴AG＝AH+CD+DM≈850+812+357＝2019，
∴点A的铅直高度是2019mm．
（2）∵在Rt△ACH中，，
∴CH≈1471，
∵在Rt△DEM中，，
∴EM≈2058，
∴EG＝EM+CH≈3529，
∴A，E两点的水平距离约为3529mm．
30．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处有一个平台BF，BF∥AD，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，在离B点6米远的E处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CEF＝60°，已知CD⊥AD，垂足为D，求教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示：
∵i＝5：12，
∴＝，
∵AB＝26米，
∴BM＝10米，AM＝24米，
∴DF＝BM＝10米，
设EF为x米，则BF＝（6+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（6+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
即＝，
解得：x＝3+3，
∴CF＝（9+3）米，
∴CD＝CF+DF＝（9+3+10）米＝（19+3）米≈24.2米，
答：教学楼CF的楼顶C到地面AD的高度CD约为24.2米．
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