2021-2022学年九年级数学上学期期末测试卷（北师大版）02（含试卷+答案解析）

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2021–2022学年上学期期末测试卷02
九年级数学·全解全析
1．【答案】C
【分析】
易得这个几何体共有3层，由俯视图可知第一层正方体的个数为4，由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可.
【详解】
由主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可知第一层正方体的个数为4，
由主视图可知第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多为3+4+1=8个
最少为2+4+1=7个
故选C
【点睛】
本题考查由三视图判断几何体，熟练掌握立体图形的三视图是解题关键.
2．【答案】B
【分析】
把x=1代入方程计算即可求出a的值．
【详解】
解：把x=1代入方程得：，
解得：a=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，即一元二次方程的根，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=1代入原方程即可求得a的值．
3．【答案】C
【分析】
根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案．
【详解】
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键．
4．【答案】C
【分析】
先判断出反比例函数图象所在的象限，再由各点横坐标的大小判断出各点所在的象限，进而可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数中，
∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大，
∵2＞1＞0，-1＜0，
∴B（1，y2），C（2，y3）位于第四象限，点A（-1，y1）位于第二象限，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．【答案】D
【分析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【详解】
解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B.2：3≠5：8，故四条线段不成比例，不符合题意；
C.2：≠3：，故四条线段不成比例，不合题意；
D.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
6．【答案】A
【分析】
根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．
【详解】
解：①▱ABCD中，AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故①正确；
②▱ABCD中，∠BAD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故②错误；
③▱ABCD中，AB＝BC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD是菱形；故③正确；
④▱ABCD中，AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD是矩形，而不能判定▱ABCD是菱形；故④错误．
故正确的为①③
故选：A．
【点睛】
此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．
7．【答案】A
【分析】
由没有一个数的平方是个负数可判断A，利用一元二次方程根的判别式可判断B，D，利用因式分解的方程解方程可判断C，从而可得答案.
【详解】
解：可得 方程没有实数根，故A符合题意；
可得 方程有两个相等的实数根，故B不符合题意；
的两个根为： 故C不符合题意；
可得 方程有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，掌握“灵活判断一元二次方程是否有实数根”是解题的关键.
8．【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，AB=CD，AD=BC，推出∠ABG=∠G，∠AFB=∠CBG，由角平分线推出∠ABG=∠CBG，由此推出BC=CG，AF=AB，DF=DG，设DF=DG=x，则AF=AB=CD=2x，CG =3x，证明△ABE∽△CGE，即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB=CD，AD=BC，
∴∠ABG=∠G，∠AFB=∠CBG，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠G=∠CBG，∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G，
∴BC=CG，AF=AB，DF=DG，
∵，
∴设DF=DG=x，则AF=AB=CD=2x，
∴CG=CD+DG=3x，
∵∠ABE=∠G，∠AEB=∠CEG，
∴△ABE∽△CGE，
∴，
故选：C．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，熟记平行四边形的性质及相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．【答案】A
【分析】
过点B作BM⊥x轴，根据菱形的性质得OB=2OD=6，从而求出B（9，3），D（，），进而即可求解．
【详解】
解：过点B作BM⊥x轴，

∵菱形OABC的边在x轴上，点，，
∴∠AOD=30°，AC⊥OB，OA=6，
∴AD=3，OD=，
∴OB=2OD=6，
∴BM= OB=3，OM=，
∴B（9，3），
∵D是OB的中点，
∴D（，）
∴k=×=，
故选A．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，含20°角的直角三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的待定系数法，掌握菱形的性质是解题的关键．
10．【答案】B
【分析】
①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BFA=∠ABC，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE=AD=BC，又AD∥BC，所以=，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到=，求出S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD，S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF=5S△AEF，故④错误．
【详解】
解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴=，
∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD
∴S△AEF=S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF=5S△AEF故④错误；
故选：B．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．【答案】
【分析】
根据根与系数关系，求出两根之和、两根之积，代入求值即可．
【详解】
解：方程的两根为，
所以，，，
，
把，代入得，
原式=，
故答案为：-4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确一元二次方程根与系数关系，求出两根之和、两根之积，把所求式子变形，整体代入求值．
12． 【答案】
【分析】
由于BE固定，要求△PBE周长的最小值，即为求PE+PB长度的最小值，根据正方形的性质推出PB=PD，当D、P、E三点共线时，PD+PE最小，也即是PE+PB最小，此时利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵BE＝，△PBE周长=PB+PE+BE，
∴要求△PBE周长的最小值，即为求PE+PB长度的最小值，
如图所示，连接PD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴PB=PD，
∴求PD+PE的最小值即可，
显然，当D、P、E三点共线时，PD+PE最小，也即是PE+PB最小，
此时，PD+PE=DE，
∵BE＝，AE＝3BE，
∴AE=，AD=AB=4BE=，
此时，在Rt△ADE中，，
∴PD+PE最小值为，
即：PB+PE最小值为，
∴△PBE周长的最小值为，
故答案为：．

【点睛】
本题考查正方形的基本性质，以及最短路径问题，理解正方形的基本性质，熟练掌握最短路径问题的处理方法是解题关键．
13． 【答案】3
【分析】
根据反比例函数k的几何意义计算即可；
【详解】
∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在一三象限，
∴；
故答案是3．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，反比例函数k的几何意义，准确计算是解题的关键．
14．【答案】6
【分析】
根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】
解：∵l1l2l3，
∴，
∴，
∴EF＝6，
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查平行线之间的线段关系，解题的关键是熟知平行线分线段成比例，列出比例式求解．
15．【答案】
【分析】
根据矩形的性质得到CD=AB=6，设AD=x（x>0），则DM=x，根据相似的性质得到，得到，由此求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，
设AD=x（x>0），则DM=x，
∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
解得，即AD=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查矩形的性质，相似多边形的性质，熟记相似多边形的性质设AD=x（x>0）是解题的关键．
16．【答案】
【分析】
先根据矩形的性质、勾股定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，同样的方法可得出，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
解：在矩形中，，
，
在和中，，
，
，即，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
17．【答案】，
【分析】
直接利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握公式法．
18．【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）设小路的宽为，则大长方形的长和宽分别为，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，解方程求解即可；
（2）根据题意，设每次降价的百分率，列出一元二次方程，解方程求解即可．
【详解】
（1）设小路的宽为，则大长方形的长和宽分别为，根据题意得，

解得（舍）
答：小路的宽为2m．
（2）设每次降价的百分率，根据题意得，

解得（舍）
答：每次降价的百分率．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
19．【答案】（1）见解析（2）
【分析】
（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论；
（2）根据直角三角形的性质求出BD，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解．
【详解】
（1）证明：∵ADBC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BC
∴△BDE是直角三角形，
∵四边形ABCD是菱形
∴O点是BD的中点
∴BD=2OE=6
∴DE= ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．【答案】（1）100，5，见解析；（2）400人；（3）．
【分析】
（1）先根据篮球30人占30%可求得总人数m，然后根据排球的人数计算出n，再求出足球人数，最后补全条形统计图即可；
（2）用样本估计总体的思想解答即可；
（3）画出树状图，共有12种可能出现的结果，同时选中甲、乙的结果有2种，最后根据概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）由题意m=30÷30%=100，
选择排球的人数所占的百分比为：5÷100×100%=5%，即n=5，
选择足球的人数为：100-30-20-10-5=35（人），
故填100、5；
补全条形统计图如图所示：

（2）由乒乓球所占的百分比为：20÷100×100%=20%
则该校喜欢乒乓球的大约约有2000×20%=400名；
答：该校喜欢乒乓球的大约约有400名学生；
（3）由题意可得树状图如下：

由树状图可知：共有12种可能出现的结果，同时选中甲、乙的结果有2种，则同时选中甲、乙的概率为=．
【点睛】
本题主要考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，申清题意、找出所求问题需要的条件并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
21．【答案】（1）y=，y=x-1；（2）x>2或-1＜x＜0．
【分析】
（1）将点A代入可得反比例函数解析式，将点B（-1，n）代入可得n的值，即可得点B的坐标，由A、B坐标可得直线的解析式；
（2）利用图象法，写出一次函数的图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可；
【详解】
解：（1）把A（2，1）代入，得：m=2，
∴反比例函数的解析式为y=，
把B（-1，n）代入y=，得：n=-2，即B（-1，-2）．
将点A（2，1）、B（-1，-2）代入y=kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x-1；
（2）由图象可知，当x>2或-1＜x＜0时，．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．【答案】（1）当或时，△ABC与△AQP相似；（2）当或2时，△AQP的面积为0.8．
【分析】
（1）先用含有t的式子表示AP和AQ，然后利用相似三角形的性质进行分类讨论，分①△ABC∽△AQP；②△ABC∽△APQ进行求解即可；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，然后利用相似三角形的性质表示PE，再求△AQP的面积为0.8时的t值．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝5，
由可知，△ABC与△AQP相似时，存在以下两种情况：
①当△ABC∽△AQP时，则有：
，即，
解得：；
②当△ABC∽△APQ时，则有：
，即，
解得：；
综上所述：当或时，△ABC与△AQP相似；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图所示：

∴PE∥BC，
∴△ABC∽△AEP，
∴，即，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
∴当或2时，△AQP的面积为0.8．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
23．【答案】（1）；（2），，；（3）
【分析】
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）证明，则，故，然后利用射影定理的进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（3）由图观察到反比例函数图象在一次函数图象下方即可．
【详解】
解：（1）一次函数的图象与轴交于点，
与轴交于点，，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）作轴于，

，点坐标，，
，，
四边形是矩形，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式，
，
且，
，
，
，
，
设，
四边形是矩形，
，
在和，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍去），
，
；
（3）由图象可知在第三象限内，使＜ax+b成立的取值范围，

即反比例函数图象在一次函数图象下方，
，
故取值范围为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形全等、矩形的判定及性质，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，解题的关键是利用数形结合的思想来解决，综合性较强．
24． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；
（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．
【详解】
（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO•AF．
∵，
∴；
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵，
∴，整理得：FG2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵
∴
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．