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高端精品高中数学二轮专题-对数函数(带答案)教案
展开1.对数
2.对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与性质
题型一. 指、对运算
1.已知函数f(x)=lg2x,0<x≤1f(x−1),x>1,则f(20192)= ﹣1
【解答】解:函数f(x)=lg2x,0<x≤1f(x−1),x>1,
则f(20192)=f(20172)=f(20152)=…=f(12)=lg212=−1.
故答案为:﹣1.
2.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+lg123)= 643 .
【解答】解:∵函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;
当x<4时f(x)=f(x+1),
又∵2+lg123∈(0,1),
∴f(2+lg123)=f[4+(2+lg123)]=f(2+lg123)=f(lg2643)=2lg2643=643,
故答案为:643
3.已知a>b>1,若lgab+lgba=52,ab=ba,则a,b的值分别为( )
A.a=5,b=2B.a=4,b=2C.a=8,b=4D.a=2,b=2
【解答】解:由lgab+lgba=52,得lgba=2⇒b2=a,
从而b2b=ba⇒a=2b,则b=2,a=4.
故选:B.
4.设a=lg0.20.3,b=lg20.3,则( )
A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b
【解答】解:∵a=−lg5,b=lg20.3=lg0.3lg2,
∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5,
ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5,
∵lg103>lg52,lg0.3lg2lg5<0,
∴ab<a+b<0.
故选:B.
题型二. 比较大小
1.设a=lg32,b=ln2,c=512,则a、b、c三个数的大小关系是( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a
【解答】解:∵0<ln2<lne=1,ln3>1,
∴lg32=ln2ln3<ln2,
∴a<b<1,
∵c=512>50=1,
∴c>b>a,
故选:D.
2.已知a=lg36,b=lg510,c=lg714,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c
【解答】解:a=lg36=1+lg32,b=lg510=1+lg52,c=lg714=1+lg72,
而lg32>lg52>lg72,
∴c<b<a.
故选:B.
3.若a>b>1,0<c<1,则( )
A.ac<bcB.abc<bac
C.algbc<blgacD.lgac<lgbc
【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,
∴函数f(x)=xc在(0,+∞)上为增函数,故ac>bc,故A错误;
函数f(x)=xc﹣1在(0,+∞)上为减函数,故ac﹣1<bc﹣1,故bac<abc,即abc>bac;故B错误;
lgac<0,且lgbc<0,lgab<1,即lgcblgca=lgaclgbc<1,即lgac>lgbc.故D错误;
0<﹣lgac<﹣lgbc,故﹣blgac<﹣algbc,即blgac>algbc,即algbc<blgac,故C正确;
故选:C.
4.已知55<84,134<85.设a=lg53,b=lg85,c=lg138,则( )
A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b
【解答】解:由34lg55=34lg88,
∵lg5534>lg53,而lg8834<lg85
∴lg53<lg85,
即a<b;
∵55<84,∴5<4lg58,∴lg58>1.25,∴b=lg85<0.8;
∵134<85,∴4<5lg138,∴c=lg138>0.8,∴c>b,
综上,c>b>a.
故选:A.
5.若a=ln22,b=ln33,c=ln55,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c
【解答】解:令f(x)=lnxx,f'(x)=1−lnxx2,
∴x>e时,f′(x)<0,
∴f(x)在(e,+∞)上单调递减,
又a=ln22=ln44=f(4),b=ln33=f(3),c=ln55=f(5),
∴f(3)>f(4)>f(5),
∴b>a>c.
故选:D.
6.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
【解答】解:x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
∴3y=lgklg33,2x=lgklg2,5z=lgklg55.
∵33=69>68=2,2=1032>1025=55.
∴lg33>lg2>lg55>0.
∴3y<2x<5z.
另解:x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,可得2x>3y,
5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1.可得5z>2x.
综上可得:5z>2x>3y.
解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.
故选:D.
题型三. 对数函数的图像与性质
1.已知函数f(x)=lg(ax2+3x+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(98,+∞) .
【解答】解:根据条件可知ax2+3x+2>0恒成立,
则a>0,且△=9﹣8a<0,解得a>98,
故a的取值范围是(98,+∞).
故答案为:(98,+∞).
2.已知函数f(x)=lgm(2﹣x)+1(m>0,且m≠1)的图象恒过点P,且点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,那么ab的( )
A.最大值为14B.最小值为14C.最大值为12D.最小值为12
【解答】解:当2﹣x=1,即x=1时,y=f(1)=lgm(2﹣1)+1=1,
∴函数f(x)的图象恒过点P(1,1);
又点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,
∴a+b=1,
∴ab≤(a+b2)2=14,
当且仅当a=b=12时,“=”成立.
故选:A.
3.函数y=|lg(x+1)|的图象是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到,函数y=lgx的图象与X轴的交点是(1,0),
故函数y=lg(x+1)的图象与X轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与X轴的公共点是(0,0),
考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
故选:A.
4.已知函数f(x)=lga(2x+b﹣1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0<a﹣1<b<1B.0<b<a﹣1<1
C.0<b﹣1<a<1D.0<a﹣1<b﹣1<1
【解答】解:∵函数f(x)=lga(2x+b﹣1)是增函数,
令t=2x+b﹣1,必有t=2x+b﹣1>0,
t=2x+b﹣1为增函数.
∴a>1,∴0<1a<1,
∵当x=0时,f(0)=lgab<0,
∴0<b<1.
又∵f(0)=lgab>﹣1=lga1a,
∴b>1a,
∴0<a﹣1<b<1.
故选:A.
5.已知函数f(x)=lgex−e−x2,则f(x)是( )
A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.奇函数,且在R上单调递增
C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.偶函数,且在R上单调递减
【解答】解:根据题意,函数f(x)=lgex−e−x2,有ex−e−x2>0,即ex﹣e﹣x>0,解可得x>0,
即函数的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,是非奇非偶函数,
设t=ex−e−x2,其导数t′=ex+e−x2>0,则t=ex−e−x2在区间(0,+∞)上为增函数,
则y=lgt,在(0,+∞)上为增函数,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
故选:A.
题型四. 复合函数的单调性与值域
1.已知函数y=lga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,则a的取值范围是( )
A.(1,2)B.[1,2]C.(0,12)D.(0,12]
【解答】解:∵a>0且a≠1,
∴内层函数t=1﹣ax为减函数,
要使函数y=lga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,
则0<a<11−2a≥0,解得0<a≤12.
∴a的取值范围是(0,12].
故选:D.
2.若函数y=lga(x2﹣ax+2)在区间(﹣∞,1]上为减函数,则a的取值范围是 [2,3) .
【解答】解:令g(x)=x2﹣ax+2(a>0,且a≠1),
①当a>1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,
∴a2≥112−a+2>0∴2≤a<3;
②当0<a<1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,此时不成立.
综上所述:2≤a<3.
故答案为:[2,3).
3.已知函数f(x)=lg4(ax2﹣4x+a)(a∈R),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2]B.(2,+∞)C.(0,2]D.(﹣2,2)
【解答】解:函数f(x)=lg4(ax2﹣4x+a)(a∈R),
f(x)的值域为R,
只需保证函数y=ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数.
当a=0时,函数y值域能取到大于等于0的数,
当a≠0时,要使函数y值域能取到大于等于0的数,
则需满足a>04ac−b24a≤0,解得:0<a≤2.
综上所得:实数a的取值范围是[0,2].
故选:A.
4.设a>0,a≠1,函数f(x)=lga(x2﹣2x+3)有最小值,则不等式lga(x﹣1)<0的解集( )
A.(﹣∞,2)B.(1,2)
C.(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)
【解答】解:当a>0,a≠1时,函数f(x)=lga(x2﹣2x+3)有最小值,
∴a>1,
∵不等式lga(x﹣1)<0,
∴0<x﹣1<1,
解得1<x<2.
∴不等式lga(x﹣1)<0的解集为(1,2).
故选:B.
5.已知函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1,则使得f(x)>f(2x﹣1)的x的取值范围是( )
A.(13,1)B.(−∞,13)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)D.(−∞,13)
【解答】解:∵函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1为定义域R上的偶函数,
且在x≥0时,函数单调递增,
∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|),
即|x|>|2x﹣1|,
两边平方得x2>(2x﹣1)2,
即3x2﹣4x+1<0,
解得13<x<1;
∴使得f(x)>f(2x﹣1)的x的取值范围是(13,1).
故选:A.
题型五.等高线
1.已知函数f(x)=|lgx|(0<x≤10)−12x+6(x>10),若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)
【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,
不妨设a<b<c,则﹣lga=lgb=−12c+6∈(0,1),
ab=1,0<−12c+6<1,则abc=c∈(10,12),
故选:C.
2.已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lgx|,x>0,若关于x的方程f(x)=a有四个根x1,x2,x3,x4,则这四个根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是 (0,8110) .
【解答】解:作函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lgx|,x>0的图象如下,,
结合图象可知,
当0<a<1时,方程有四个不同的解,
如图中的四个交点,
故x1+x2=﹣2,x3x4=1且1<x4<10;
故2<x3+x4<10+110,
故0<x1+x2+x3+x4<8+110,
即x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,8110),
故答案为:(0,8110).
题型六.反函数
1.设常数a>0且a≠1,函数f(x)=lgax,若f(x)的反函数图象经过点(1,2),则a= 2 .
【解答】解:∵常数a>0且a≠1,函数f(x)=lgax,f(x)的反函数的图象经过点(1,2),
∴函数f(x)=lgax的图象经过点(2,1),
∴lga2=1,
解得a=2.
故答案为:2.
2.设f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数,若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称,则g(x)的值域为( )
A.(−∞,−12)∪(12,+∞)B.(−12,12)
C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣2,2)
【解答】解:因为f(x)=lg2(1x+a+1),
所以f(x)的定义域为{x|x<﹣a﹣1或x>﹣a},
因为f(x)是奇函数,
所以﹣a﹣1=a,解得a=−12,
因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称,
所以g(x)与f(x)互为反函数,
故g(x)的值域为(−∞,−12)∪(12,+∞).
故选:A.
3.若x1满足2x=5﹣x,x2满足x+lg2x=5,则x1+x2等于( )
A.2B.3C.4D.5
【解答】解:由题意 x1+2x1=5①,x2+lg2x2=5 ②,所以 5﹣x1=2x1,故有 5﹣x2=lg2x2.
故 x1和 x2是直线y=5﹣x和曲线y=2x、曲线y=lg2x交点的横坐标.
再根据函数y=2x 和函数y=lg2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,
故曲线y=2x 和曲线y=lg2x的图象交点关于直线y=x对称.
即点( x1,5﹣x1)和点( x2,5﹣x2)构成的线段的中点在直线y=x上,
即x1+x22=5−x1+5−x22,求得x1+x2=5,
故选:D.
课后作业.基本初等函数
1.已知x=lnπ,y=lg12π,z=e﹣2,则( )
A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x
【解答】解:∵x=lnπ>1,y=lg12π<0,0<z=e﹣2<e0=1,
∴y<z<x.
故选:C.
2.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=lga(|x|﹣1)的图象可以是( )
A.B.
C.D.
【解答】解:由函数f(x)=ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在R上为减函数,
故0<a<1.函数y=lga(|x|﹣1)是偶函数,定义域为{x|x>1或x<﹣1},
函数y=lga(|x|﹣1)的图象,x>1时是把函数y=lgax的图象向右平移1个单位得到的,
故选:D.
3.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1−4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a=( )
A.14B.13C.12D.32
【解答】解:①若a>1,则函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上单调递增,
则由f(2)=4,得a2=4,解得a=2.此时最小值m=f(﹣1)=2−1=12.
②若0<a<1,则函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上单调递减,
则由f(﹣1)=4,得a﹣1=4,解得a=14.此时最小值m=f(2)=(14)2=116.
∴m=12或116.
∵函数g(x)=(1−4m)x在[0,+∞)上是增函数,
∴1﹣4m>0,解得m<14.
综上:m=116,此时a=14.
故选:A.
4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(lg0.53),b=f(lg25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a
【解答】解:∵函数f(x)是偶函数,
∴f(x)=f(﹣x)在R上恒成立,∴m=0,
∴当x≥0时,易得f(x)=2|x|﹣1为增函数,
∴a=f(lg0.53)=f(lg23)
∵lg23<2<lg25,∴a<c<b,
故选:B.
5.已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围为 (3,+∞) .
【解答】解:画出y=|lgx|的图象如图:
∵0<a<b,且f(a)=f(b),
∴|lga|=|lgb|且0<a<1,b>1
∴﹣lga=lgb
即ab=1
∴y=a+2b=a+2a,a∈(0,1)
∵y=a+2a在(0,1)上为减函数,
∴y>1+2=3
∴a+2b的取值范围是(3,+∞)
故答案为:(3,+∞)
6.已知函数f(x)=lga(x+1),g(x)=lga(1﹣x)(a>0,a≠1),则( )
A.函数f(x)+g(x)的定义域为(﹣1,1)
B.函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称
C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
D.函数f(x)﹣g(x)在区间(0,1)上是减函数
【解答】解:f(x)+g(x)=lga(x+1)+lga(1﹣x)
所以x+1>01−x>0,解得﹣1<x<1,
函数f(x)+g(x)的定义域为(﹣1,1),故A正确,
f(﹣x)+g(﹣x)=lga(﹣x+1)+lga(1+x),
所以f(x)+g(x)=f(﹣x)+g(﹣x),
所以函数f(x)+g(x) 是偶函数,图象关于y轴对称,故B正确,
f(x)+g(x)=lga(x+1)+lga(1﹣x)=lga(x+1)(1﹣x)=lga(﹣x2+1)
令t=﹣x2+1,则y=lgat,
在x∈(﹣1,0)上,t=﹣x2+1单调递增,
在x∈(0,1)上,t=﹣x2+1单调递减,
当a>1时,y=lgat单调递增,
所以在x∈(﹣1,0)上,f(x)+g(x)单调递增,
在x∈(0,1)上,f(x)+g(x)单调递减,
所以函数f(x)+g(x)没有最小值,
当0<a<1时,y=lgat单调递减,
所以在x∈(﹣1,0)上,f(x)+g(x)单调递减,
在x∈(0,1)上,f(x)+g(x)单调递增,
所以函数f(x)+g(x)有最小值为f(0)+g(0)=0,故C错.
f(x)﹣g(x)=lga(x+1)﹣lga(1﹣x)=lgax+11−x=lga(﹣1+21−x)
令t=﹣1+21−x,y=lgat
在x∈(﹣1,1)上,t=﹣1+21−x单调递增,
当a>1时,f(x)+g(x)在(﹣1,1)单调递增,
当0<a<1时,f(x)+g(x)在(﹣1,1)单调递减,故D错.
故选:AB.
概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底数N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,lgaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=lgaN(a>0,且a≠1)
lga1=0,lgaa=1,algaN=N(a>0,且a≠1)
运算法则
lga(M·N)=lgaM+lgaN
a>0,且a≠1,M>0,N>0
lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN
lgaMn=nlgaM(n∈R)
换底公式
lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
底数
a>1
0图
象
性
质
定义域:(0,+∞)
值域:R
图象过定点(1,0),即恒有lga1=0
当x>1时,恒有y>0;
当0
当0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
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