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    高端精品高中数学二轮专题-对数函数(带答案)教案

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    这是一份高端精品高中数学二轮专题-对数函数(带答案)教案,共15页。

    1.对数
    2.对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)的图象与性质
    题型一. 指、对运算
    1.已知函数f(x)=lg2x,0<x≤1f(x−1),x>1,则f(20192)= ﹣1
    【解答】解:函数f(x)=lg2x,0<x≤1f(x−1),x>1,
    则f(20192)=f(20172)=f(20152)=…=f(12)=lg212=−1.
    故答案为:﹣1.
    2.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+lg123)= 643 .
    【解答】解:∵函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;
    当x<4时f(x)=f(x+1),
    又∵2+lg123∈(0,1),
    ∴f(2+lg123)=f[4+(2+lg123)]=f(2+lg123)=f(lg2643)=2lg2643=643,
    故答案为:643
    3.已知a>b>1,若lgab+lgba=52,ab=ba,则a,b的值分别为( )
    A.a=5,b=2B.a=4,b=2C.a=8,b=4D.a=2,b=2
    【解答】解:由lgab+lgba=52,得lgba=2⇒b2=a,
    从而b2b=ba⇒a=2b,则b=2,a=4.
    故选:B.
    4.设a=lg0.20.3,b=lg20.3,则( )
    A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b
    【解答】解:∵a=−lg5,b=lg20.3=lg0.3lg2,
    ∴a+b=lg0.3lg2−lg0.3lg5=lg0.3(lg5−lg2)lg2lg5=lg0.3lg52lg2lg5,
    ab=−lg0.3lg2⋅lg0.3lg5=lg0.3⋅lg103lg2lg5,
    ∵lg103>lg52,lg0.3lg2lg5<0,
    ∴ab<a+b<0.
    故选:B.
    题型二. 比较大小
    1.设a=lg32,b=ln2,c=512,则a、b、c三个数的大小关系是( )
    A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a
    【解答】解:∵0<ln2<lne=1,ln3>1,
    ∴lg32=ln2ln3<ln2,
    ∴a<b<1,
    ∵c=512>50=1,
    ∴c>b>a,
    故选:D.
    2.已知a=lg36,b=lg510,c=lg714,则a,b,c的大小关系是( )
    A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c
    【解答】解:a=lg36=1+lg32,b=lg510=1+lg52,c=lg714=1+lg72,
    而lg32>lg52>lg72,
    ∴c<b<a.
    故选:B.
    3.若a>b>1,0<c<1,则( )
    A.ac<bcB.abc<bac
    C.algbc<blgacD.lgac<lgbc
    【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,
    ∴函数f(x)=xc在(0,+∞)上为增函数,故ac>bc,故A错误;
    函数f(x)=xc﹣1在(0,+∞)上为减函数,故ac﹣1<bc﹣1,故bac<abc,即abc>bac;故B错误;
    lgac<0,且lgbc<0,lgab<1,即lgcblgca=lgaclgbc<1,即lgac>lgbc.故D错误;
    0<﹣lgac<﹣lgbc,故﹣blgac<﹣algbc,即blgac>algbc,即algbc<blgac,故C正确;
    故选:C.
    4.已知55<84,134<85.设a=lg53,b=lg85,c=lg138,则( )
    A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b
    【解答】解:由34lg55=34lg88,
    ∵lg5534>lg53,而lg8834<lg85
    ∴lg53<lg85,
    即a<b;
    ∵55<84,∴5<4lg58,∴lg58>1.25,∴b=lg85<0.8;
    ∵134<85,∴4<5lg138,∴c=lg138>0.8,∴c>b,
    综上,c>b>a.
    故选:A.
    5.若a=ln22,b=ln33,c=ln55,则a,b,c的大小关系为( )
    A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c
    【解答】解:令f(x)=lnxx,f'(x)=1−lnxx2,
    ∴x>e时,f′(x)<0,
    ∴f(x)在(e,+∞)上单调递减,
    又a=ln22=ln44=f(4),b=ln33=f(3),c=ln55=f(5),
    ∴f(3)>f(4)>f(5),
    ∴b>a>c.
    故选:D.
    6.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )
    A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
    【解答】解:x、y、z为正数,
    令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
    则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
    ∴3y=lgklg33,2x=lgklg2,5z=lgklg55.
    ∵33=69>68=2,2=1032>1025=55.
    ∴lg33>lg2>lg55>0.
    ∴3y<2x<5z.
    另解:x、y、z为正数,
    令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
    则x=lgklg2,y=lgklg3,z=lgklg5.
    ∴2x3y=23×lg3lg2=lg9lg8>1,可得2x>3y,
    5z2x=52×lg2lg5=lg25lg52>1.可得5z>2x.
    综上可得:5z>2x>3y.
    解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.
    故选:D.
    题型三. 对数函数的图像与性质
    1.已知函数f(x)=lg(ax2+3x+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(98,+∞) .
    【解答】解:根据条件可知ax2+3x+2>0恒成立,
    则a>0,且△=9﹣8a<0,解得a>98,
    故a的取值范围是(98,+∞).
    故答案为:(98,+∞).
    2.已知函数f(x)=lgm(2﹣x)+1(m>0,且m≠1)的图象恒过点P,且点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,那么ab的( )
    A.最大值为14B.最小值为14C.最大值为12D.最小值为12
    【解答】解:当2﹣x=1,即x=1时,y=f(1)=lgm(2﹣1)+1=1,
    ∴函数f(x)的图象恒过点P(1,1);
    又点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,
    ∴a+b=1,
    ∴ab≤(a+b2)2=14,
    当且仅当a=b=12时,“=”成立.
    故选:A.
    3.函数y=|lg(x+1)|的图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到,函数y=lgx的图象与X轴的交点是(1,0),
    故函数y=lg(x+1)的图象与X轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与X轴的公共点是(0,0),
    考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
    故选:A.
    4.已知函数f(x)=lga(2x+b﹣1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
    A.0<a﹣1<b<1B.0<b<a﹣1<1
    C.0<b﹣1<a<1D.0<a﹣1<b﹣1<1
    【解答】解:∵函数f(x)=lga(2x+b﹣1)是增函数,
    令t=2x+b﹣1,必有t=2x+b﹣1>0,
    t=2x+b﹣1为增函数.
    ∴a>1,∴0<1a<1,
    ∵当x=0时,f(0)=lgab<0,
    ∴0<b<1.
    又∵f(0)=lgab>﹣1=lga1a,
    ∴b>1a,
    ∴0<a﹣1<b<1.
    故选:A.
    5.已知函数f(x)=lgex−e−x2,则f(x)是( )
    A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
    B.奇函数,且在R上单调递增
    C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
    D.偶函数,且在R上单调递减
    【解答】解:根据题意,函数f(x)=lgex−e−x2,有ex−e−x2>0,即ex﹣e﹣x>0,解可得x>0,
    即函数的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,是非奇非偶函数,
    设t=ex−e−x2,其导数t′=ex+e−x2>0,则t=ex−e−x2在区间(0,+∞)上为增函数,
    则y=lgt,在(0,+∞)上为增函数,
    故f(x)在(0,+∞)上单调递增,
    故选:A.
    题型四. 复合函数的单调性与值域
    1.已知函数y=lga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,则a的取值范围是( )
    A.(1,2)B.[1,2]C.(0,12)D.(0,12]
    【解答】解:∵a>0且a≠1,
    ∴内层函数t=1﹣ax为减函数,
    要使函数y=lga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,
    则0<a<11−2a≥0,解得0<a≤12.
    ∴a的取值范围是(0,12].
    故选:D.
    2.若函数y=lga(x2﹣ax+2)在区间(﹣∞,1]上为减函数,则a的取值范围是 [2,3) .
    【解答】解:令g(x)=x2﹣ax+2(a>0,且a≠1),
    ①当a>1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,
    ∴a2≥112−a+2>0∴2≤a<3;
    ②当0<a<1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,此时不成立.
    综上所述:2≤a<3.
    故答案为:[2,3).
    3.已知函数f(x)=lg4(ax2﹣4x+a)(a∈R),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是( )
    A.[0,2]B.(2,+∞)C.(0,2]D.(﹣2,2)
    【解答】解:函数f(x)=lg4(ax2﹣4x+a)(a∈R),
    f(x)的值域为R,
    只需保证函数y=ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数.
    当a=0时,函数y值域能取到大于等于0的数,
    当a≠0时,要使函数y值域能取到大于等于0的数,
    则需满足a>04ac−b24a≤0,解得:0<a≤2.
    综上所得:实数a的取值范围是[0,2].
    故选:A.
    4.设a>0,a≠1,函数f(x)=lga(x2﹣2x+3)有最小值,则不等式lga(x﹣1)<0的解集( )
    A.(﹣∞,2)B.(1,2)
    C.(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)
    【解答】解:当a>0,a≠1时,函数f(x)=lga(x2﹣2x+3)有最小值,
    ∴a>1,
    ∵不等式lga(x﹣1)<0,
    ∴0<x﹣1<1,
    解得1<x<2.
    ∴不等式lga(x﹣1)<0的解集为(1,2).
    故选:B.
    5.已知函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1,则使得f(x)>f(2x﹣1)的x的取值范围是( )
    A.(13,1)B.(−∞,13)∪(1,+∞)
    C.(1,+∞)D.(−∞,13)
    【解答】解:∵函数f(x)=ln(|x|+1)+x2+1为定义域R上的偶函数,
    且在x≥0时,函数单调递增,
    ∴f(x)>f(2x﹣1)等价为f(|x|)>f(|2x﹣1|),
    即|x|>|2x﹣1|,
    两边平方得x2>(2x﹣1)2,
    即3x2﹣4x+1<0,
    解得13<x<1;
    ∴使得f(x)>f(2x﹣1)的x的取值范围是(13,1).
    故选:A.
    题型五.等高线
    1.已知函数f(x)=|lgx|(0<x≤10)−12x+6(x>10),若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
    A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)
    【解答】解:作出函数f(x)的图象如图,
    不妨设a<b<c,则﹣lga=lgb=−12c+6∈(0,1),
    ab=1,0<−12c+6<1,则abc=c∈(10,12),
    故选:C.
    2.已知函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lgx|,x>0,若关于x的方程f(x)=a有四个根x1,x2,x3,x4,则这四个根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是 (0,8110) .
    【解答】解:作函数f(x)=−x2−2x,x≤0|lgx|,x>0的图象如下,,
    结合图象可知,
    当0<a<1时,方程有四个不同的解,
    如图中的四个交点,
    故x1+x2=﹣2,x3x4=1且1<x4<10;
    故2<x3+x4<10+110,
    故0<x1+x2+x3+x4<8+110,
    即x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,8110),
    故答案为:(0,8110).
    题型六.反函数
    1.设常数a>0且a≠1,函数f(x)=lgax,若f(x)的反函数图象经过点(1,2),则a= 2 .
    【解答】解:∵常数a>0且a≠1,函数f(x)=lgax,f(x)的反函数的图象经过点(1,2),
    ∴函数f(x)=lgax的图象经过点(2,1),
    ∴lga2=1,
    解得a=2.
    故答案为:2.
    2.设f(x)=lg2(1x+a+1)是奇函数,若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称,则g(x)的值域为( )
    A.(−∞,−12)∪(12,+∞)B.(−12,12)
    C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣2,2)
    【解答】解:因为f(x)=lg2(1x+a+1),
    所以f(x)的定义域为{x|x<﹣a﹣1或x>﹣a},
    因为f(x)是奇函数,
    所以﹣a﹣1=a,解得a=−12,
    因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y=x对称,
    所以g(x)与f(x)互为反函数,
    故g(x)的值域为(−∞,−12)∪(12,+∞).
    故选:A.
    3.若x1满足2x=5﹣x,x2满足x+lg2x=5,则x1+x2等于( )
    A.2B.3C.4D.5
    【解答】解:由题意 x1+2x1=5①,x2+lg2x2=5 ②,所以 5﹣x1=2x1,故有 5﹣x2=lg2x2.
    故 x1和 x2是直线y=5﹣x和曲线y=2x、曲线y=lg2x交点的横坐标.
    再根据函数y=2x 和函数y=lg2x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,
    故曲线y=2x 和曲线y=lg2x的图象交点关于直线y=x对称.
    即点( x1,5﹣x1)和点( x2,5﹣x2)构成的线段的中点在直线y=x上,
    即x1+x22=5−x1+5−x22,求得x1+x2=5,
    故选:D.
    课后作业.基本初等函数
    1.已知x=lnπ,y=lg12π,z=e﹣2,则( )
    A.x<y<zB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x
    【解答】解:∵x=lnπ>1,y=lg12π<0,0<z=e﹣2<e0=1,
    ∴y<z<x.
    故选:C.
    2.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=lga(|x|﹣1)的图象可以是( )
    A.B.
    C.D.
    【解答】解:由函数f(x)=ax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在R上为减函数,
    故0<a<1.函数y=lga(|x|﹣1)是偶函数,定义域为{x|x>1或x<﹣1},
    函数y=lga(|x|﹣1)的图象,x>1时是把函数y=lgax的图象向右平移1个单位得到的,
    故选:D.
    3.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1−4m)x在[0,+∞)上是增函数,则a=( )
    A.14B.13C.12D.32
    【解答】解:①若a>1,则函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上单调递增,
    则由f(2)=4,得a2=4,解得a=2.此时最小值m=f(﹣1)=2−1=12.
    ②若0<a<1,则函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[﹣1,2]上单调递减,
    则由f(﹣1)=4,得a﹣1=4,解得a=14.此时最小值m=f(2)=(14)2=116.
    ∴m=12或116.
    ∵函数g(x)=(1−4m)x在[0,+∞)上是增函数,
    ∴1﹣4m>0,解得m<14.
    综上:m=116,此时a=14.
    故选:A.
    4.已知定义在R上的函数f(x)=2|x﹣m|﹣1(m为实数)为偶函数,记a=f(lg0.53),b=f(lg25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为( )
    A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a
    【解答】解:∵函数f(x)是偶函数,
    ∴f(x)=f(﹣x)在R上恒成立,∴m=0,
    ∴当x≥0时,易得f(x)=2|x|﹣1为增函数,
    ∴a=f(lg0.53)=f(lg23)
    ∵lg23<2<lg25,∴a<c<b,
    故选:B.
    5.已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围为 (3,+∞) .
    【解答】解:画出y=|lgx|的图象如图:
    ∵0<a<b,且f(a)=f(b),
    ∴|lga|=|lgb|且0<a<1,b>1
    ∴﹣lga=lgb
    即ab=1
    ∴y=a+2b=a+2a,a∈(0,1)
    ∵y=a+2a在(0,1)上为减函数,
    ∴y>1+2=3
    ∴a+2b的取值范围是(3,+∞)
    故答案为:(3,+∞)
    6.已知函数f(x)=lga(x+1),g(x)=lga(1﹣x)(a>0,a≠1),则( )
    A.函数f(x)+g(x)的定义域为(﹣1,1)
    B.函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称
    C.函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0
    D.函数f(x)﹣g(x)在区间(0,1)上是减函数
    【解答】解:f(x)+g(x)=lga(x+1)+lga(1﹣x)
    所以x+1>01−x>0,解得﹣1<x<1,
    函数f(x)+g(x)的定义域为(﹣1,1),故A正确,
    f(﹣x)+g(﹣x)=lga(﹣x+1)+lga(1+x),
    所以f(x)+g(x)=f(﹣x)+g(﹣x),
    所以函数f(x)+g(x) 是偶函数,图象关于y轴对称,故B正确,
    f(x)+g(x)=lga(x+1)+lga(1﹣x)=lga(x+1)(1﹣x)=lga(﹣x2+1)
    令t=﹣x2+1,则y=lgat,
    在x∈(﹣1,0)上,t=﹣x2+1单调递增,
    在x∈(0,1)上,t=﹣x2+1单调递减,
    当a>1时,y=lgat单调递增,
    所以在x∈(﹣1,0)上,f(x)+g(x)单调递增,
    在x∈(0,1)上,f(x)+g(x)单调递减,
    所以函数f(x)+g(x)没有最小值,
    当0<a<1时,y=lgat单调递减,
    所以在x∈(﹣1,0)上,f(x)+g(x)单调递减,
    在x∈(0,1)上,f(x)+g(x)单调递增,
    所以函数f(x)+g(x)有最小值为f(0)+g(0)=0,故C错.
    f(x)﹣g(x)=lga(x+1)﹣lga(1﹣x)=lgax+11−x=lga(﹣1+21−x)
    令t=﹣1+21−x,y=lgat
    在x∈(﹣1,1)上,t=﹣1+21−x单调递增,
    当a>1时,f(x)+g(x)在(﹣1,1)单调递增,
    当0<a<1时,f(x)+g(x)在(﹣1,1)单调递减,故D错.
    故选:AB.
    概念
    如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底数N的对数,记作x=lgaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,lgaN叫做对数式
    性质
    对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=lgaN(a>0,且a≠1)
    lga1=0,lgaa=1,algaN=N(a>0,且a≠1)
    运算法则
    lga(M·N)=lgaM+lgaN
    a>0,且a≠1,M>0,N>0
    lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN
    lgaMn=nlgaM(n∈R)
    换底公式
    lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0)
    底数
    a>1
    0



    定义域:(0,+∞)
    值域:R
    图象过定点(1,0),即恒有lga1=0
    当x>1时,恒有y>0;
    当0当x>1时,恒有y<0;
    当00
    在(0,+∞)上是增函数
    在(0,+∞)上是减函数
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